“工程數(shù)值計(jì)算與有限元”課程建設(shè)

張一鳴 王雪雅

[摘 要] “工程數(shù)值計(jì)算與有限元”是一門(mén)理論—應(yīng)用結(jié)合緊密的工科研究生課程，與其他研究生課程相比，該課程有如下特點(diǎn)：首先，該課程與本科課程高等數(shù)學(xué)、矩陣論、彈性力學(xué)、現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算、程序設(shè)計(jì)等存在關(guān)聯(lián)，需要一定的知識(shí)廣度，部分知識(shí)點(diǎn)理論性強(qiáng)，也要求一定的知識(shí)深度;其次，該課程為研究生后續(xù)掌握有限元軟件操作、分析工程案例甚至開(kāi)發(fā)軟件奠定良好的基礎(chǔ)，可以幫助學(xué)生“知其所以然”，體現(xiàn)出了應(yīng)用性與可擴(kuò)展性。從工科人才培養(yǎng)角度看，課程有著重要的承上啟下作用，日益受到學(xué)界與科研界重視。該作者基于自己的海外課程經(jīng)歷，結(jié)合過(guò)去數(shù)年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在文中提出了“工程數(shù)值計(jì)算與有限元”課程的一般建設(shè)思路，結(jié)合了理論授課與案例教學(xué)模式，并討論了課程未來(lái)發(fā)展方向。

[關(guān)鍵詞] 工科;研究生課程;數(shù)值計(jì)算;有限元

[中圖分類(lèi)號(hào)] G643? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2021）01-0033-04? ? [收稿日期] 2020-10-30

一、前言

世界范圍內(nèi)新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革加速進(jìn)行，人才培養(yǎng)是提高國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力的必然要求。2010年，教育部召開(kāi)“卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃”啟動(dòng)會(huì)并提出了“新工科”概念，確立了以培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型和復(fù)合型高素質(zhì)工程人才為教育發(fā)展目標(biāo)。另一方面，2015年國(guó)務(wù)院提出《中國(guó)制造2025》，再一次把提高創(chuàng)新能力、產(chǎn)業(yè)質(zhì)量與信息化程度，從而提升制造業(yè)戰(zhàn)略支撐作用作為近階段的新型制造業(yè)發(fā)展方向。新形勢(shì)下的新型人才培養(yǎng)是高校的重要任務(wù)，順應(yīng)時(shí)代要求開(kāi)展教學(xué)改革是提高學(xué)生素質(zhì)的基本手段。

我國(guó)傳統(tǒng)工科人才培養(yǎng)過(guò)程中，存在“重兩頭，輕過(guò)渡”的現(xiàn)象，即強(qiáng)調(diào)理論基礎(chǔ)與具體操作，而忽視了理論—實(shí)踐的平滑過(guò)渡。反映到實(shí)際中，學(xué)生感覺(jué)理論課程“用不上”，而實(shí)踐課程“只會(huì)用”。以目前作為“智能制造”“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”“數(shù)字孿生”等關(guān)鍵技術(shù)基石的計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）技術(shù)相關(guān)課程為例，學(xué)生多數(shù)未能建立這些課程與基礎(chǔ)課程之間的聯(lián)系，往往學(xué)會(huì)了軟件操作，但不理解計(jì)算全流程，對(duì)于中間過(guò)程似懂非懂，存在盲目性。

針對(duì)上述不足，“工程數(shù)值計(jì)算與有限元”作為一門(mén)連接數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)等基礎(chǔ)理論與CAE分析實(shí)踐的過(guò)渡課程，顯得尤為必要?？紤]研究生課程要求和授課特點(diǎn)，筆者認(rèn)為“工程數(shù)值計(jì)算與有限元”作為一門(mén)研究生課程，應(yīng)滿(mǎn)足如下要求：一是由于研究生本科畢業(yè)于不同高校，知識(shí)基礎(chǔ)存在差異，因此課程設(shè)置應(yīng)深入淺出，并建立在國(guó)內(nèi)高?！霸n程”如“高等數(shù)學(xué)”“矩陣論”等基礎(chǔ)之上;二是課程課時(shí)不宜過(guò)長(zhǎng)，但應(yīng)具備一定廣度，介紹性知識(shí)不過(guò)度展開(kāi)，對(duì)于關(guān)鍵知識(shí)則應(yīng)重點(diǎn)論述;三是課程應(yīng)包含較新的領(lǐng)域內(nèi)成果，摒棄一部分過(guò)時(shí)內(nèi)容，在有限元部分，引入較新的案例方法來(lái)輔助教學(xué)。

基于上述要求與課程建設(shè)目標(biāo)，筆者在本文中對(duì)“工程數(shù)值計(jì)算與有限元”課程的課程結(jié)構(gòu)、授課內(nèi)容、組織邏輯、案例分析進(jìn)行了具體闡述與討論，在本文的論述過(guò)程中，筆者注重?cái)?shù)值計(jì)算—有限元之間的內(nèi)容過(guò)渡，從而讓學(xué)生在課程學(xué)習(xí)中能夠融會(huì)貫通，舉一反三。

二、課程建設(shè)

工程數(shù)值計(jì)算與有限元包括了數(shù)值計(jì)算與有限元兩個(gè)主題，筆者認(rèn)為，兩個(gè)主題的內(nèi)在邏輯可以簡(jiǎn)述為：“前者是后者的構(gòu)成基礎(chǔ)，后者是前者的綜合應(yīng)用?！贝颂幨紫汝U述工程數(shù)值方法的主要授課內(nèi)容，工程數(shù)值方法主要授課內(nèi)容與數(shù)值方法相關(guān)，但是與傳統(tǒng)上占據(jù)大量課時(shí)的數(shù)值方法課程相比，進(jìn)行了大幅縮減，僅保留了與有限元關(guān)聯(lián)最緊密的內(nèi)容，同時(shí)對(duì)于筆者認(rèn)為闡述不清的部分也進(jìn)行了額外補(bǔ)充。

筆者梳理的數(shù)值方法授課內(nèi)容如圖1所示，與傳統(tǒng)的課程內(nèi)容相比，大量?jī)?nèi)容被刪減，部分相關(guān)章節(jié)被合并，如插值與擬合、數(shù)值微分與積分，以此來(lái)區(qū)分和對(duì)比計(jì)算過(guò)程與步驟。所保留章節(jié)的作用是形成有限元理論所必需的關(guān)鍵“組件”，從數(shù)值計(jì)算相關(guān)理論循序漸進(jìn)獲取如下“組件”：一是多維情況下的牛頓迭代法;二是現(xiàn)代線性方程組求解器;三是形函數(shù);四是最小二乘法;五是差分法;六是多維情況下的高斯積分。具體的教授邏輯如下：

第一章節(jié)，非線性方程求解，點(diǎn)名問(wèn)題本質(zhì)為“F（x）=0，x=？”，由此以二分法做引子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入主題。雖然二分法在實(shí)踐中適用范圍極窄，應(yīng)用場(chǎng)景極為有限，但是其簡(jiǎn)單易懂，具備初中幾何知識(shí)即可理解，門(mén)檻低，在實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)授課效果極好。然后直接教授最為常用的牛頓法，與二分法相比，牛頓法需要一定的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，筆者認(rèn)為牛頓法應(yīng)充分結(jié)合梯度概念來(lái)講授，即沿著最速下降方向來(lái)搜索迭代的概念，對(duì)于傳統(tǒng)教科書(shū)中的理論背景泰勒展開(kāi)僅做簡(jiǎn)單介紹。傳統(tǒng)教材中該章節(jié)內(nèi)容往往止于一維牛頓法求解，筆者認(rèn)為不合適，有如下原因：一是一維問(wèn)題采用的是直接求導(dǎo)，而多維問(wèn)題采用偏微分，但兩者的根源都是梯度向量，進(jìn)一步講授多維問(wèn)題有助于學(xué)生理解梯度在求解過(guò)程中扮演的角色;二是一維問(wèn)題的牛頓法求解沒(méi)有引出矩陣的概念，與后續(xù)章節(jié)的線性方程系統(tǒng)求解存在跳躍，學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)章節(jié)間的關(guān)聯(lián)。此處僅需補(bǔ)充一個(gè)多維非線性方程組算例即可，筆者在課程中一般選用一個(gè)三維問(wèn)題作為算例，考慮到3×3的矩陣求逆可通過(guò)Excel軟件完成，三維問(wèn)題的門(mén)檻較低，易調(diào)錯(cuò)，因此也可作為課后習(xí)題布置。

第二章節(jié)，線性方程系統(tǒng)求解，接續(xù)了上一章節(jié)內(nèi)容展開(kāi)講解。過(guò)去數(shù)十年間應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域飛速進(jìn)步，多種與求解器相關(guān)的計(jì)算方法紛紛涌現(xiàn)，例如基于圖論方法進(jìn)行前處理，基于多波前法進(jìn)行方程組并行分解等[1]。與之對(duì)比，傳統(tǒng)課程教授內(nèi)容較為滯后，應(yīng)予以更新和刪減。筆者在授課過(guò)程中僅對(duì)最為經(jīng)典的高斯消去法和分解法做簡(jiǎn)單介紹，然后直接講授現(xiàn)代求解器內(nèi)容，具體介紹多種高效直接法求解器如MUMPS，Pardiso，SPOOLES等。重點(diǎn)闡述求解器的通用輸入輸出方式，對(duì)于求解器的運(yùn)行原理推薦學(xué)生基于興趣自學(xué)。

第三章節(jié)，插值&擬合，兩個(gè)概念有共通點(diǎn)，也有明顯區(qū)別。筆者建議以插值章節(jié)作為重點(diǎn)闡述內(nèi)容，占章節(jié)總內(nèi)容的60%以上。雖然除拉格朗日插值以外，也有其他極為重要的插值方法，例如基于傅立葉變換的三角插值多項(xiàng)式，但是作為有限元形函數(shù)最為常用的格式，筆者在課程中以拉格朗日插值作為基礎(chǔ)教授內(nèi)容。然后較為自然地過(guò)渡到有限元形函數(shù)，一般以線性三角形單元和雙線性四邊形單元為具體例子，其中三角形單元需教授面積坐標(biāo)相關(guān)概念，而雙線性四邊形單元需教授ξ-η與x-y坐標(biāo)變換相關(guān)內(nèi)容，包括雅克比矩陣的推導(dǎo)等，此處可通過(guò)類(lèi)比一些日常生活的例子來(lái)強(qiáng)化學(xué)生認(rèn)識(shí)，例如筆者在教授四邊形單元形函數(shù)時(shí)會(huì)將場(chǎng)與坐標(biāo)函數(shù)的關(guān)系類(lèi)比為被子與被套的關(guān)系。擬合章節(jié)以簡(jiǎn)單算例教學(xué)為主，導(dǎo)出其“誤差最小化”的數(shù)學(xué)背景，也為有限元方法的最小能量原理進(jìn)行理論鋪墊。

第四章節(jié)，求導(dǎo)&積分，將兩者作為逆運(yùn)算展開(kāi)討論。數(shù)值求導(dǎo)應(yīng)結(jié)合數(shù)值差分，需介紹幾種常用的差分格式。而積分應(yīng)作為重點(diǎn)闡述內(nèi)容，占章節(jié)總內(nèi)容的70%以上。僅討論兩類(lèi)常用數(shù)值積分方法，包括牛頓-柯特斯積分與高斯積分，尤其是高斯積分，從一維函數(shù)積分→求曲線下面積，到二維函數(shù)→求曲面下體積，再到三維函數(shù)積→求實(shí)體密度變化總質(zhì)量，逐步深化認(rèn)識(shí)并展示高斯積分點(diǎn)在不同維度下的相對(duì)位置，結(jié)合上一章節(jié)的雙線性四邊形單元形函數(shù)格式，再一次舉例說(shuō)明四邊形單元中高斯點(diǎn)坐標(biāo)、權(quán)重，同時(shí)再次強(qiáng)化坐標(biāo)變換概念。

至此，數(shù)值計(jì)算課程中與有限元關(guān)聯(lián)最強(qiáng)的內(nèi)容基本教授完成，雖然還有部分其他內(nèi)容，例如特征值求解、樣條函數(shù)等，與工程中的振動(dòng)問(wèn)題及等幾何有限元分析相關(guān)，但是由于課時(shí)限制，筆者建議這些內(nèi)容由研究生自學(xué)了解。

筆者梳理的有限元方法授課內(nèi)容如圖2所示。如前所述，數(shù)值計(jì)算授課所提供的關(guān)鍵“組件”將為有限元方法提供支撐。除這些“組件”以外，為了保證理論完整性，還需額外補(bǔ)充（迦遼金）弱形式、最小能量原理、數(shù)學(xué)物理方程相關(guān)知識(shí)。（迦遼金）弱形式和最小能量原理的補(bǔ)充過(guò)程以舉例說(shuō)明為主，可討論分析一個(gè)一維變截面懸臂梁在集中荷載下的變形，教授數(shù)學(xué)物理方程相關(guān)知識(shí)內(nèi)容時(shí)，簡(jiǎn)要介紹三大方程，描述物理背景、方程初始及邊界條件，無(wú)須過(guò)度展開(kāi)。補(bǔ)充內(nèi)容教授完成后，即可開(kāi)展有限單元法案例式教學(xué)。筆者在奧地利維也納科技大學(xué)攻讀博士學(xué)位期間，修習(xí)了多個(gè)大學(xué)研究生課程，包括有限元基礎(chǔ)及多尺度理論，之后在奧地利因斯布魯克大學(xué)助理教學(xué)時(shí)輔助教授多物理場(chǎng)計(jì)算模型與方法。在這些受教與助教過(guò)程中，筆者意識(shí)到歐洲大學(xué)對(duì)于案例式教學(xué)極為看重，任課教授們往往會(huì)先提出具體問(wèn)題，深化問(wèn)題細(xì)節(jié)，再進(jìn)一步描述解決問(wèn)題的相關(guān)方法和所需的文獻(xiàn)，由于問(wèn)題相較方法更為具體，更易牢記，如此一旦時(shí)間久了產(chǎn)生知識(shí)遺忘時(shí)可通過(guò)問(wèn)題再次出發(fā)，搜尋相關(guān)文獻(xiàn)，重演邏輯過(guò)程，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)。之后當(dāng)筆者回國(guó)任教后也開(kāi)始以問(wèn)題和案例而非方法為中心，同樣收獲了良好的效果。

筆者建議案例教學(xué)應(yīng)包含至少兩個(gè)算例，第一個(gè)是一個(gè)彈性力學(xué)平面問(wèn)題，例如一個(gè)受集中荷載的懸臂深梁，首先展示該問(wèn)題的偏微分控制方程，并指出其數(shù)學(xué)物理性質(zhì)（橢圓方程），然后補(bǔ)充邊界條件，接著基于最小能量原理和弱形式，給出有限元表達(dá)式。然后將計(jì)算域剖分為1到2個(gè)單元以方便半人工計(jì)算，此處可基于對(duì)稱(chēng)性剖分從而進(jìn)一步簡(jiǎn)化問(wèn)題，接著按照有限元計(jì)算流程：積分計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒M裝成總剛度矩陣—求解線性方程組?？梢?jiàn)該算例計(jì)算過(guò)程中用到了數(shù)值計(jì)算所教授的幾大“組件”，包括形函數(shù)、多維高斯積分、求解器。類(lèi)似的，第二個(gè)算例筆者建議選用一個(gè)一維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，該問(wèn)題為拋物線偏微分方程，數(shù)值計(jì)算時(shí)在時(shí)域上采用有限差分法，在空間域上采用有限單元法，建議剖分為2到3個(gè)一維單元，然后求解2到3個(gè)時(shí)間步。該算例用到的組件包括了差分、形函數(shù)、高斯積分、多維牛頓迭代以及求解器。其他可行算例包括一維振動(dòng)問(wèn)題等，可通過(guò)與解析解對(duì)比的方式綜合驗(yàn)證。

算例計(jì)算過(guò)程建議采用半人工方法，結(jié)合一定的課后習(xí)題，可借助如Mathematica，Matlab等數(shù)值計(jì)算軟件及Python，C++，F(xiàn)ortran等編程軟件。另一方面，也應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生利用商用有限元軟件如Abaqus，Ansys，開(kāi)源有限元程序如Calculix等多種方式對(duì)比觀察算例的計(jì)算結(jié)果與收斂特征。

最后，課程的終末測(cè)試建議以選擇/計(jì)算題為主，主要測(cè)試有限元案例，夾雜數(shù)值計(jì)算內(nèi)容，測(cè)試?yán)}包括：提供控制方程，回答類(lèi)型及對(duì)應(yīng)弱形式;提供單元坐標(biāo)信息，計(jì)算某高斯點(diǎn)B矩陣;單元?jiǎng)偠染仃囂峁┑臈l件下寫(xiě)總剛矩陣;提供某稀疏剛度矩陣，寫(xiě)出某求解器的對(duì)應(yīng)的向量輸入格式等。

三、結(jié)論與展望

本文作者基于過(guò)去數(shù)年授課經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合了案例式教學(xué)方法，對(duì)于研究生課程“工程數(shù)值計(jì)算與有限元”建設(shè)展開(kāi)了討論。針對(duì)本課程涉及其他課程多，同時(shí)研究生基礎(chǔ)知識(shí)差異大、課時(shí)設(shè)置少的現(xiàn)狀，提出了結(jié)構(gòu)清晰、重點(diǎn)突出、可行性高的課程建設(shè)思路，對(duì)于教授流程也進(jìn)行了重點(diǎn)說(shuō)明。

另一方面，考慮到計(jì)算機(jī)、信息學(xué)等學(xué)科的飛速發(fā)展，筆者對(duì)于本課程未來(lái)建設(shè)有一些建議與展望：一是虛擬視覺(jué)技術(shù)的引入：虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）、增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（AR）等手段在教學(xué)中的使用，可以讓學(xué)生對(duì)于多維問(wèn)題和高階張量的幾何特征有更為深入的了解，深化認(rèn)識(shí);二是計(jì)算機(jī)學(xué)科相關(guān)成果的引入：近年來(lái)由于產(chǎn)業(yè)高利潤(rùn)，計(jì)算機(jī)科學(xué)尤其是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)吸引了全球范圍內(nèi)大量極高素質(zhì)跨學(xué)科科研人員，發(fā)展極為迅速，如[2-3]相關(guān)成果，此類(lèi)內(nèi)容的引入可以加深研究生對(duì)于跨學(xué)科研究的重視，拓寬視野，進(jìn)而全面發(fā)展;三是新世代計(jì)算方法的引入：目前涌現(xiàn)了深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解復(fù)雜偏微分方程甚至量子計(jì)算方法求解優(yōu)化問(wèn)題等多種突破性方法，將其納入課程教材與教學(xué)內(nèi)容可以讓學(xué)生對(duì)于下一個(gè)世代的工程數(shù)值計(jì)算有更為深刻的認(rèn)識(shí)，為有志于從事科研的研究生們指明未來(lái)方向。

參考文獻(xiàn)

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