拾掇“通幽曲徑”，暢游相似三角形樂(lè)園

黃志琴

親愛(ài)的同學(xué)，提起相似三角形，你首先聯(lián)想到什么？知識(shí)點(diǎn)？基本圖形？難點(diǎn)？你又經(jīng)常漏掉什么？其實(shí)我們常常遺忘，解題時(shí)屢屢受阻的，才是值得我們深思、仔細(xì)研究的。我們要剖析梳理，探尋本質(zhì)，做到曉一題而通一類(lèi)。

一、自覺(jué)聯(lián)想，挖掘?qū)毑?/p>

萬(wàn)變不離其宗，所有習(xí)題的根源都是教材知識(shí)和思想方法，另外就是一些常見(jiàn)的處理技巧。請(qǐng)迅速回憶：如圖1所示，要使△AEF一△ACB，已經(jīng)具備的條件是____，還需補(bǔ)充的條件可以是____或____或_____或______。

相似三角形的條件中，最容易聯(lián)想的應(yīng)該是“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”——簡(jiǎn)潔。這里我們重點(diǎn)梳理?xiàng)l件“兩邊夾角”及邊性質(zhì)的應(yīng)用，讓邊和角的應(yīng)用“比翼齊飛”。

圖1是最熟悉的基本圖形之一，我們不能僅限于熟悉這一種圖形，而應(yīng)把與之相關(guān)的常見(jiàn)的變式圖形一起熟練掌握，并能由圖形得到相應(yīng)結(jié)論，拾級(jí)而上。

圖2是圖1的特殊情況，兩個(gè)相似三角形有一組公共角，還多了一對(duì)公共邊，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)AB/AC= AF/AB，可得AB2=AF.AC。若AF=2，AC=3，請(qǐng)快速口答AB的長(zhǎng)度——公共邊是比例中項(xiàng)。

如圖3，若CD是Rt△ABC斜邊上的高，圖中比例中項(xiàng)有__________，請(qǐng)說(shuō)出它們分別是哪兩條邊的比例中項(xiàng)。

【特別提醒】如圖4，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一點(diǎn)D，使AD=3。如果在AB上取點(diǎn)E，使△ADE和△ABC相似，則AE的長(zhǎng)度為_(kāi)___。

【中考鏈接】（2018.汀蘇常州）如圖5，在△ABC紙板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長(zhǎng)的取值范圍是

。

二、拓展延伸，積累能量

經(jīng)過(guò)前面的梳理、串聯(lián)，親愛(ài)的同學(xué)，你有些“數(shù)感”和“直觀感受”了嗎？總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、納入自己的框架之中。

經(jīng)典應(yīng)用一：

【試一試】如圖6，在△ABC中，∠A CB=120°，BC=AC=4，以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的OB上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP、CP，則PA +1/2PC的最小值為_(kāi)______。

思路該向何方？“1/2PC”在哪里？跟相似三角形有什么關(guān)系？怎么構(gòu)造“1/2PC”呢？關(guān)鍵為什么是“1/2”？看到圖7，你明白了嗎？PD即“1/2PC”。思路：取BD=1，連接PB、PD構(gòu)造“共角共邊相似三角形”。因?yàn)椤螾BD=∠CBP，若BC= BP，則△BPD-△BCP，可得DP/PC= BP/BC=BD/BP=1/2，所以PD=1/2PC。此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成“DP+PA”的最小值，即點(diǎn)A與點(diǎn)D兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離。

【鞏固延伸】如圖8，點(diǎn)A、B在⊙0上，OA=OB=12，OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，OD=10，動(dòng)點(diǎn)P在⊙0上，則PC+1/2PD的最小值為_(kāi)______。[提示：1.轉(zhuǎn)化為求1/2（2PC+PD）的最小值;2.同圓半徑相等。]

經(jīng)典應(yīng)用二：多重相似圖形。

【試一試】如圖9，⊙0的半徑OM=1，A為⊙0上一點(diǎn)，點(diǎn)B為直徑MN延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，MB=3，連接AB，以AB為邊作等邊△ABC，A、B、C逆時(shí)針排列。連接OC，求OC的最小值。

根據(jù)整體思想構(gòu)造等邊△O'OB，則△O'OB一△CAB，畫(huà)出所有點(diǎn)C的集合即⊙0'，如圖10。連接OA、O'C，由SAS可證△O'CB≌△OAB，得O'C=OA，即⊙0與⊙0半徑相等。（OC的最小值為OC=0'O-0'C'=2-1=1。）

【變一變】如圖11，把等邊三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，其余條件不變，你可以找到哪些相似圖形？相似比為多少？（此題是根據(jù)“兩邊夾角”構(gòu)造△O'BC-△OBA。如圖12，再由相似三角形的性質(zhì)可得兩圓半徑之比為2：2，所以O(shè)'C=O'C=2。）

一、小試牛刀，嶄露鋒芒

1.如圖13，以AB為斜邊作Rt△ABC，使∠ACB=90°，tan∠CAB=3/4，A、B、C三點(diǎn)為逆時(shí)針排列。連接OC，求OC的最小值。

2.如圖14，已知A（-4，0）、B（6，0）、C（O，-3），連接AC、BC，設(shè)∠a=∠OCB-∠OAC，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，若∠CA E=∠a，求CE的長(zhǎng)。

數(shù)學(xué)知識(shí)及其應(yīng)用的梳理、串聯(lián)，經(jīng)驗(yàn)的積累是解決問(wèn)題時(shí)放飛思想的基礎(chǔ)和加速劑。相似三角形的內(nèi)容非常豐富，將其梳理積累成為自己的思維非常必要。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)）