基于強跟蹤平方根容積卡爾曼濾波的GNSS信號跟蹤環(huán)路設(shè)計

程向紅，張晶晶

（1. 微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，南京 210096；2. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

隨著全球衛(wèi)星導(dǎo)航技術(shù)（GNSS）的不斷發(fā)展，GNSS已被應(yīng)用到諸多領(lǐng)域。而接收機是應(yīng)用層面的核心環(huán)節(jié)，主要完成衛(wèi)星信號捕獲、跟蹤和導(dǎo)航解算（PVT）三個重要任務(wù)。其中，跟蹤環(huán)路通過對本地數(shù)控振蕩器（NCO）持續(xù)不斷地動態(tài)調(diào)整，使跟蹤通道保持對已捕獲信號的持續(xù)鎖定。穩(wěn)定跟蹤后，從接收機解調(diào)的數(shù)據(jù)比特中提取的偽距和多普勒頻率等觀測量，是PVT解算模塊的直接信息來源。因此，跟蹤環(huán)路是接收機的核心環(huán)節(jié)，與接收機的性能指標(biāo)如靈敏度、動態(tài)性以及定位精度等密切相關(guān)。目前，常用的跟蹤算法多應(yīng)用在中低動態(tài)場景。對高動態(tài)載體而言，和衛(wèi)星之間的相對高速運動使得接收到的衛(wèi)星信號具有較大的多普勒頻移及其變化率，傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路極易失鎖。研究如何在高動態(tài)環(huán)境下實現(xiàn)接收機魯棒而精確地跟蹤是GNSS接收機技術(shù)領(lǐng)域的一大難點。

傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路一般采用鎖頻環(huán)（FLL）輔助鎖相環(huán)（PLL）的結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)結(jié)合了FLL動態(tài)應(yīng)力容忍性能好和PLL跟蹤精度高的優(yōu)點[1]。隨著信號參數(shù)估計理論在信號處理領(lǐng)域的應(yīng)用，基于卡爾曼濾波的跟蹤環(huán)路引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注，它能夠根據(jù)環(huán)路噪聲統(tǒng)計特性自適應(yīng)地調(diào)節(jié)環(huán)路增益和帶寬[2]，兼具動態(tài)性和跟蹤精度，估計出碼相位誤差、載波相位誤差和多普勒頻率等。而鑒別器線性工作區(qū)間有限，考慮到高動態(tài)場景下引入的非線性噪聲，可采用非線性濾波方法替代標(biāo)量跟蹤環(huán)路中的鑒別器，如擴展卡爾曼濾波（EKF）[3]、無跡卡爾曼濾波（UKF）等。

Spilker提出的矢量跟蹤環(huán)路不同于常見的標(biāo)量跟蹤環(huán)路，它耦合了各個跟蹤通道的內(nèi)在信息，并且把信號跟蹤和PVT過程結(jié)合，被認(rèn)為是高動態(tài)場景跟蹤環(huán)路的解決方案之一[4]。但在實際應(yīng)用中，矢量跟蹤環(huán)路的初始化仍需要用到標(biāo)量跟蹤環(huán)路的結(jié)果，并且矢量跟蹤環(huán)路在工作時需要標(biāo)量跟蹤環(huán)路能夠輸出導(dǎo)航電文比特，即標(biāo)量跟蹤環(huán)路穩(wěn)定[5-7]。因此本文旨在設(shè)計一種高動態(tài)條件下的標(biāo)量跟蹤環(huán)路，采用精度較高、濾波過程穩(wěn)定且計算量較少的平方根容積卡爾曼濾波（Square Root Cubature Kalman Filter, SRCKF）[8]，并針對高動態(tài)場景可能出現(xiàn)的模型失配問題，引入強跟蹤濾波的漸消因子，以提高跟蹤環(huán)路的魯棒性[9]。通過試驗驗證該跟蹤環(huán)路可為后續(xù)PVT解算模塊或矢量跟蹤環(huán)路提供可靠信息來源。

1 跟蹤環(huán)路設(shè)計

本文設(shè)計的GNSS信號跟蹤環(huán)路如圖1所示。GNSS中頻信號經(jīng)捕獲后進入跟蹤階段，由捕獲結(jié)果初始化載波NCO和碼NCO，中頻信號與本地NCO產(chǎn)生的信號作相關(guān)運算，由六路相關(guān)器輸出作為強跟蹤平方根容積卡爾曼濾波器（Strong Tracking Square Root Cubature Kalman Filter, STSRCKF）的量測輸入。這里的量測輸入是與傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路和以卡爾曼濾波為基礎(chǔ)的跟蹤環(huán)路所不同的地方，它替代了常用的鑒相器和鑒頻器，由濾波器對碼相位誤差（Δτ）、載波相位誤差（Δθ）、載波頻率誤差（Δf）及其一階導(dǎo)數(shù)（Δα）作統(tǒng)一估計，用這些最優(yōu)估計值在每個濾波周期反饋調(diào)整本地NCO。

圖1 GNSS信號跟蹤環(huán)路設(shè)計框圖Fig.1 Design of tracking loop for GNSS signal

2 跟蹤環(huán)路系統(tǒng)模型

2.1 狀態(tài)方程

選取信號振幅A、輸入信號與本地信號的碼相位誤差Δτ、載波相位誤差Δθ、載波頻率誤差Δf及其一階導(dǎo)數(shù)Δα作為系統(tǒng)的狀態(tài)量x，系統(tǒng)模型見式(1)[4]：

其中，β表示碼頻率和載波頻率的比值（對于GPS L1碼來說，β=1/1540），T表示積分時間（即跟蹤環(huán)路周期），wk-1表示系統(tǒng)過程噪聲。

2.2 量測方程

這里的量測量為六路相關(guān)器的輸出，GNSS中頻信號與同相（I）、正交（Q）兩路本地載波信號經(jīng)相關(guān)器與本地超前（E）、即時（P）和滯后碼（L）相關(guān)，經(jīng)六路積分-清除器后的信號可以表示為[3]：

其中，R代表自相關(guān)函數(shù)，d表示中間碼相位與超前碼/滯后碼相位的差值，單位是碼片，nIP、nIE、nIL、nQP、nQE、nQL表示各支路相關(guān)噪聲，δφ為相干積分時間內(nèi)本地載波平均相位誤差，計算公式為：

其中，δφ0、δf0、 Δα0表示相干積分時間內(nèi)載波初始相位誤差、初始頻率誤差和初始頻率變化率誤差。

3 強跟蹤平方根容積卡爾曼濾波

3.1 平方根容積卡爾曼濾波

SRCKF在CKF的基礎(chǔ)上引入了正交三角分解，在每個濾波周期對協(xié)方差矩陣的平方根迭代，避免了CKF直接對協(xié)方差矩陣的開方運算，提高了濾波過程中的數(shù)值穩(wěn)定性。SRCKF算法過程如下[10]：

Step2 時間更新：

Step3 構(gòu)造并經(jīng)量測方程傳播容積點：

Step4 計算量測預(yù)測值、新息協(xié)方差和互協(xié)方差：

Step5 量測更新：

3.2 強跟蹤濾波

載體在高動態(tài)運動時，可能出現(xiàn)狀態(tài)突變的情況，此時系統(tǒng)模型并不準(zhǔn)確。可以在濾波過程中借鑒強跟蹤濾波的思想，強迫濾波過程中的殘差序列γ始終保持正交，從而達到對系統(tǒng)狀態(tài)實時跟蹤的目的。

強跟蹤濾波和KF/EKF結(jié)合時，一般在狀態(tài)誤差協(xié)方差預(yù)測矩陣中引入漸消因子，不影響殘差量，最終改變增益矩陣。而對于UKF/CKF等非線性濾波過程來說，若采用同樣的漸消因子引入方法，涉及到在對狀態(tài)作最優(yōu)估計時，殘差量是否需要隨漸消因子更新。文獻[9]中證明，在UKF中引入強跟蹤時，若在狀態(tài)估計中使用未引入漸消因子的殘差量，則無法保證對狀態(tài)量作最優(yōu)估計；若使用隨漸消因子更新后的殘差量，則無法保證殘差序列始終正交。同理，該結(jié)論的證明過程也適用于CKF中。因此，本文借鑒文獻[9]在UKF引入漸消因子的方法，給出在SRCKF引入漸消因子的過程，如圖2所示。

圖2 強跟蹤引入SRCKF過程Fig.2 Process of introducing STF into SRCKF

在量測協(xié)方差中引入漸消因子后的計算公式和在狀態(tài)誤差協(xié)方差預(yù)測公式的形式類似：

而因為量測協(xié)方差和互協(xié)方差存在以下關(guān)系：

其中，Hk是量測方程在處的雅可比矩陣。將上述關(guān)系式代入式(17)中可得：

所以在互協(xié)方差中引入漸消因子的計算公式為：

接下來進行漸消因子的計算，根據(jù)強跟蹤算法的正交性原理可以推出下面的充分條件[9]：

將式(17)代入式(19)可得：

式(23)中的ρ為遺忘因子，一般取0.95。

4 仿真試驗及分析

本文進行了靜止和動態(tài)情況下的仿真試驗，來測試所提出的跟蹤環(huán)路的性能。靜止時用中頻數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集實際衛(wèi)星中頻數(shù)據(jù)，動態(tài)情況則使用GNS8330多星座導(dǎo)航信號模擬器輸出衛(wèi)星信號，用中頻數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集衛(wèi)星模擬信號。動態(tài)情況的基本設(shè)置為：載體以10000 m為半徑，繞一固定點做勻速圓周運動，速度大小為500 m/s。載體在圓周運動過程中加速度不斷變化，接收到的衛(wèi)星信號中的多普勒頻率及其變化率也隨之不斷改變。

為了明確SRCKF和STF的作用，本文進行了五個跟蹤環(huán)路的對比實驗，仿真試驗中設(shè)置跟蹤環(huán)路的更新周期均為1 ms。因為信號跟蹤的好壞關(guān)系到最終的導(dǎo)航精度，所以比較了五個跟蹤環(huán)路的位置誤差和速度誤差。各環(huán)路采用的跟蹤方法如下：

環(huán)路1：二階FLL輔助三階PLL環(huán)路

環(huán)路2：基于EKF的跟蹤環(huán)路

環(huán)路3：基于EKF和強跟蹤的跟蹤環(huán)路（STEKF）

環(huán)路4：基于SRCKF的跟蹤環(huán)路

環(huán)路5： 基于SRCKF和強跟蹤的跟蹤環(huán)路（STSRCKF）

4.1 靜止仿真試驗結(jié)果及分析

用軟件接收機處理靜止情況下采集的中頻數(shù)據(jù)，共收集到了6顆GPS衛(wèi)星的信號，在完成星歷解調(diào)后，解算了約38 s的位置和速度信息。五種跟蹤環(huán)路對應(yīng)的位置誤差絕對值和速度誤差絕對值如圖3所示，統(tǒng)計結(jié)果見表1。

圖3 靜止情況位置、速度誤差變化Fig.3 Position and velocity errors in static case

表1 靜止情況誤差統(tǒng)計Tab.1 Position and velocity errors statistics in static case

由統(tǒng)計結(jié)果可以看出，基于卡爾曼濾波的跟蹤環(huán)路（即環(huán)路2-5）在定位和定速上有更優(yōu)異的表現(xiàn)。其中環(huán)路5精度最高，環(huán)路4比環(huán)路5效果稍差，但相差不大。這是因為SRCKF的濾波精度較高，并且在靜止情況下狀態(tài)突變的情況較少，所以在環(huán)路4基礎(chǔ)上引入了強跟蹤算法的環(huán)路5在精度上并未有太大提升。而對于環(huán)路2和3來說，因為EKF的濾波精度理論上只有一階，所以環(huán)路3相較于環(huán)路2的提升效果略明顯。環(huán)路5的定位、定速精度較環(huán)路1提高了11.4%和14%。

4.2 動態(tài)仿真試驗結(jié)果及分析

用軟件接收機處理載體做勻速圓周運動時采集的衛(wèi)星模擬信號，共收集到11顆GPS衛(wèi)星的信號，在完成星歷解調(diào)后，解算了約130 s的位置和速度信息。五種跟蹤環(huán)路對應(yīng)的位置誤差絕對值和速度誤差絕對值如圖4所示，統(tǒng)計結(jié)果見表2。

圖4 動態(tài)位置及速度誤差變化Fig.4 Position and velocity errors in dynamic case

表2 動態(tài)情況誤差統(tǒng)計Tab.2 Position and velocity errors statistics in dynamic case

從動態(tài)情況的誤差統(tǒng)計結(jié)果可以看出，環(huán)路5的精度最高，同環(huán)路4相比，因為動態(tài)實驗中狀態(tài)突變的情況增多，所以引入了強跟蹤算法的環(huán)路5提升效果明顯。同樣對于環(huán)路3來說，其精度提高的效果比靜止情況提升的效果明顯。雖然環(huán)路3和環(huán)路4的精度大致相同，但他們相比環(huán)路2精度提高的原因是不同的：環(huán)路3是因為在EKF中引入了強跟蹤算法，以保持對突變狀態(tài)的實時跟蹤，而環(huán)路4所用的SRCKF則是因為其濾波精度高于EKF，所以環(huán)路3和環(huán)路4的精度均高于基于EKF的跟蹤環(huán)路2。環(huán)路5的定位、定速精度較環(huán)路1提高了28.2%、26.1%。

靜止仿真所用的數(shù)據(jù)是真實情況下采集的，動態(tài)仿真所用的數(shù)據(jù)是由模擬器產(chǎn)生的。雖然模擬器在模擬信號的過程中已經(jīng)添加了一些大氣環(huán)境參數(shù)，如對流層模型和電離層模型，但相較于實際情況來說，誤差仍是偏小的，所以出現(xiàn)了靜止情況的位置誤差高于動態(tài)情況的位置誤差的現(xiàn)象。

4.3 算法代價分析

因為濾波過程相較傳統(tǒng)跟蹤環(huán)路更為復(fù)雜，所以基于卡爾曼濾波的跟蹤環(huán)路在運算量上有所增加。表3統(tǒng)計了四種基于卡爾曼濾波的跟蹤環(huán)路在濾波過程中的浮點數(shù)乘法運算量，表中的n代表狀態(tài)維數(shù)，m代表觀測維數(shù)。在統(tǒng)計的過程中已經(jīng)略去了一部分可以事先計算或存儲的先驗信息，例如EKF算法中雅可比矩陣的表達式不需通過程序調(diào)用雅可比函數(shù)確定，在每個濾波過程中僅需代入數(shù)值計算即可。同時考慮到CKF算法中涉及兩次QR分解，這也會增加環(huán)路的運算量，所以在表3中的相應(yīng)位置標(biāo)注了QR分解。

表3 濾波過程浮點數(shù)運算量統(tǒng)計Tab.3 Statistics of floating-point computation statistics in filtering process

代入實際跟蹤過程中的模型參數(shù)，令n= 5，m= 6，四種基于卡爾曼濾波的跟蹤環(huán)路的實際運算量見表4。同時對這四種跟蹤環(huán)路在相同條件下運行近1000次，表4列出了他們的平均運行時間統(tǒng)計?？梢钥闯?，各跟蹤環(huán)路所需的時間和他們的運算量是呈正相關(guān)的，STSRCKF的運算時間最長，約是EKF的3倍。但是在SRCKF中引入強跟蹤，相較于在EKF中引入強跟蹤，并未在運算時間上增加過多，因為其漸消因子的計算公式更為簡潔。

表4 實際浮點數(shù)運算量和運行時間統(tǒng)計Tab.4 Statistics of actual floating-point computation and running time

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于SRCKF和強跟蹤算法的衛(wèi)星信號跟蹤環(huán)路。SRCKF的引入可以在環(huán)路中替代鑒別器，使環(huán)路不受鑒別器線性工作區(qū)間的限制，同時它的濾波精度較高。而針對高動態(tài)情況下容易出現(xiàn)的模型失配問題，引入了強跟蹤算法的漸消因子，提高了跟蹤環(huán)路的魯棒性。

通過對靜止和動態(tài)兩種情況下的試驗驗證表明，基于STSRCKF算法的跟蹤環(huán)路位置和速度誤差估計最小，對比二階FLL輔助三階PLL，位置誤差減小了11.4%和28.2%，速度誤差減小了14.0%和26.1%，并且在動態(tài)情況下的提升效果更為顯著。因此本文提出的跟蹤環(huán)路可以為后續(xù)的PVT解算等模塊提供更為可靠的觀測量，也可為矢量跟蹤環(huán)路提供更精準(zhǔn)的信息。