撥動擴(kuò)散思維之弦 探究數(shù)學(xué)奇幻之美
——對初中數(shù)學(xué)中“多做少想”現(xiàn)象的思考

■郝云鳳

當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)存在著學(xué)生做題目的時間多，想題目的時間少這樣的問題。換言之，就是學(xué)生只是在埋頭做題，沒有真正地去思考與題目相關(guān)的一系列問題。這樣的模式會導(dǎo)致學(xué)生做了許多題目，卻不知道題目的內(nèi)核是什么，在遇到新的題目的時候，不能從做過的題目中汲取方法與思路。因此，教師要加強(qiáng)解題教學(xué)中的過程性引導(dǎo)，幫助學(xué)生的思維品質(zhì)在一題多想的過程中得到改善，在學(xué)習(xí)上達(dá)到事半功倍的效果。提升思維的邏輯性，思考題目之間的聯(lián)系；提升思維的廣闊性，思考更多的思路；提升思維的深刻性，思考問題的內(nèi)核是什么；提升思維的獨(dú)立性，思考這道題目的不同之處在哪兒；提升思維的靈活性，思考有沒有更多的解法；提升思維的敏捷性，思考有沒有更簡單、更快捷的方法；提升思維的批判性，思考別人做題的優(yōu)點(diǎn)與不足。

一、培養(yǎng)學(xué)生的生活意識

數(shù)學(xué)與生活總是有一定聯(lián)系的，在生活中隨處可見數(shù)學(xué)的影子，在數(shù)學(xué)原理與公式中也能發(fā)現(xiàn)生活中的例子。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生將題目與生活聯(lián)系起來，從而讓他們的思維得到轉(zhuǎn)化，將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維。因此，在學(xué)生遇到某一題目時，要讓他們多想一想生活中有沒有相似的情境。當(dāng)學(xué)生能將題目融入生活，他們就會對題目多一份親切感，少一份生疏感，進(jìn)而更容易想出解決的路徑。學(xué)生將題目和生活聯(lián)系起來，在某種意義上也說明他們看懂了題目。

以實(shí)際問題與一元一次方程等相關(guān)問題為例，筆者設(shè)置了這樣一道題：某地的A、B兩家工廠急需煤90噸和60噸，該地的C、D兩家煤場分別有100噸、50噸，全部調(diào)配到A、B兩家工廠，已知C、D兩個煤場運(yùn)到A、B兩家工廠的運(yùn)費(fèi)（元/噸）如下表所示：

目的地出發(fā)地A B C D 35 40 30 45

運(yùn)送完畢后，A、B兩家工廠共付運(yùn)費(fèi)5200元，問煤場C、D各有多少噸煤運(yùn)往A工廠。對于這樣的題目，學(xué)生很快就能想出解題的思路。他們先設(shè)C運(yùn)給A廠x噸，那么C運(yùn)給B廠就是（100-x）噸，D運(yùn)給A廠就是（90-x）噸，D運(yùn)給B廠就是（x-40）噸。同時他們由題意得出35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）=5200，進(jìn)而求得x=40，所以煤場C、D有40噸和50噸煤運(yùn)往A工廠。

解答完這樣的題目，學(xué)生就在想：這不就是用數(shù)學(xué)來解決生活中的問題嗎？生活中像這樣的例子不是還有很多嗎？教師再引導(dǎo)學(xué)生想一想生活中有沒有數(shù)學(xué)的影子，其實(shí)就是通過生活實(shí)際將數(shù)學(xué)中的認(rèn)知以更直觀的方式展示出來，這也是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效方式。

二、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識

在預(yù)習(xí)的過程中，教師問什么問題學(xué)生就思考什么問題，將相關(guān)的問題弄懂，預(yù)習(xí)也就結(jié)束；在互學(xué)的過程中，教師會拋給學(xué)生一些問題，他們會圍繞問題展開討論，以得出一些結(jié)論；在展學(xué)的過程中，教師會設(shè)置一些問題，讓學(xué)生將認(rèn)知轉(zhuǎn)化為解題的能力，提升素養(yǎng)。明顯地，在這種模式下，教師成為課堂的主體，掌控著整個課堂的節(jié)奏，學(xué)生只是在被動地接受。在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，比解決問題更重要。學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，首先，要有一定的識記能力，要能記得相關(guān)的原理與定律；其次，需要一定的推理能力，即由這些定律會發(fā)現(xiàn)題目中存在的問題；最后，還要有一定的分析能力，即要分析這些問題是否真的成立，并找到解決方案。因此，在解答一道題之后，教師可以讓學(xué)生的思維保持繼續(xù)發(fā)展的態(tài)勢，讓他們想一想有沒有新的問題。

在學(xué)習(xí)等邊三角形的相關(guān)知識時，筆者設(shè)置了這樣一道題：點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD、△AEC都是等邊三角形，BE交AD于點(diǎn)M，CD交AE于點(diǎn)N，如圖1所示。求證：BE＝DC。

圖1

對于這樣的問題，學(xué)生很快就能想到，因?yàn)椤鰽BD、△AEC都是等邊三角形，所以AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°。有了這些結(jié)論，他們就能通過列舉條件，進(jìn)而證得△DAC≌△BAE（SAS），所以就有了BE＝DC。之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)題目中給出的條件能得出更多的結(jié)論。他們試著證明△AMN是等邊三角形，先是利用△DAC≌△BAE這一結(jié)論，得出∠ABM=∠ADN；再從已知條件推出的∠BAD=∠EAC=60°中得出∠DAN=60°；然后又由AB=AD，得出了△ABM≌△ADN（ASA），進(jìn)而有AM=AN，同時又因?yàn)椤螹AN=60°，證得△AMN是等邊三角形。

學(xué)生充分利用條件和新結(jié)論的過程，就是他們思維向縱深發(fā)展的過程。讓學(xué)生多想問題，一方面教師能更直觀地看出學(xué)生思維的特點(diǎn)，再為他們制定更好的教學(xué)方案；另一方面學(xué)生能更主動地投入到課堂中來，成為課堂的設(shè)計者，而不僅僅是一個聽眾。

三、培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)聯(lián)意識

在教學(xué)的過程中，我們經(jīng)常會遇到這樣一種情況，一道題講了很多遍，學(xué)生在做題的時候還是會出錯?？墒窃谶@些做錯的學(xué)生當(dāng)中，有許多在聽講的時候，是明白做題思路的?？蔀槭裁磽Q道相似的題，他們就出問題了呢？這其中一個主要的原因就是學(xué)生在做題的過程中缺少思考的過程，即沒有去思考有沒有做過相似的題。他們沒有從做過的題目中找尋經(jīng)驗(yàn)和靈感，將相關(guān)認(rèn)知聯(lián)系起來。

每道題的出現(xiàn)都不是孤立存在的，從做過的題目入手，能更快地喚醒曾經(jīng)的思路，找到解題方法。例如下面這道題。如圖2，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD。若∠C＝40°，則∠B=_____。

圖2

按照通常的思路，教師會問：因?yàn)锳C是⊙O的切線，所以我們能得出什么結(jié)論呢？學(xué)生會答：OA⊥AC，∠OAC＝90°，∠AOC＝90°-∠C＝90°-40°＝50°。教師再問：因?yàn)镺B＝OD，又能得出什么結(jié)論呢？學(xué)生答：∠OBD＝∠ODB。同時他們還會補(bǔ)充說，因?yàn)椤螦OC＝∠OBD+∠ODB，所以∠OBD=∠AOC＝25°，即∠ABD的度數(shù)為25°。這樣的教學(xué)模式，只是就題論題，學(xué)生的思維沒有往更廣闊的領(lǐng)域發(fā)展。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將以往做過的題目聯(lián)系起來，既觸類旁通，又彼此補(bǔ)充，不斷深化。

學(xué)生翻看各種講義，他們發(fā)現(xiàn)這樣一題：如圖3，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)C，∠DAB=∠B=30°，問直線BD與OD形成的角是否為90°。學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題同樣是運(yùn)用有關(guān)切線的認(rèn)知求某一角的數(shù)值，在解決過程中同樣需要將角度之間的數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)換。連接OD，由∠ODA=∠DAB=∠B=30°，得∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°。可見讓學(xué)生回想做過的題目，能在鞏固認(rèn)知的同時，進(jìn)一步深化思維。

圖3

經(jīng)過筆者的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生學(xué)會了自我“搭橋造船”去解決問題，一題多想，舉一反三，提高了學(xué)習(xí)效率。當(dāng)然，筆者在教學(xué)反思中也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。例如，要結(jié)合學(xué)生實(shí)際能力，循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生這方面的能力，不能急于求成；不能兩極化，學(xué)生的練習(xí)量要適度保證。

學(xué)生才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最需要關(guān)心的主體。因此教師在教學(xué)中要時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，讓他們得到最大限度的發(fā)展。讓學(xué)生一題多想，既是在減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又是在提升他們的思維品質(zhì)和擴(kuò)散思維能力。在尊重學(xué)生身心健康的同時，給予他們最適切的教育，從而讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，發(fā)揮其主動性，探究數(shù)學(xué)的奇幻之美。