碰摩轉(zhuǎn)子—油膜軸承系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)研究

曾旭焱，侍玉青，劉軍，郭遙

碰摩轉(zhuǎn)子—油膜軸承系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)研究

曾旭焱1, 2，侍玉青1, 2，劉軍1, 2，郭遙3

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2. 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070；3. 湖南工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

考慮滑動(dòng)軸承的非線性油膜力和轉(zhuǎn)定子的碰摩力，建立了含碰摩故障的單盤轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。運(yùn)用四階變步長(zhǎng)的龍格-庫塔-基爾法獲得系統(tǒng)的非線性響應(yīng)，利用Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了全局動(dòng)力學(xué)分析。研究結(jié)果表明：隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)存在多個(gè)周期解共存以及周期解與混沌解共存現(xiàn)象。最后列舉了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不良參數(shù)條件下，通過合理控制系統(tǒng)的初值條件而獲得理想系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)用。

轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)；滑動(dòng)軸承；轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)；碰摩；吸引域

隨著我國(guó)高速列車的快速發(fā)展，旋轉(zhuǎn)設(shè)備正不斷朝著高速化、精密化的方向發(fā)展，要求轉(zhuǎn)定子之間的間隙越來越小，這使得碰摩成為了轉(zhuǎn)子研究的熱點(diǎn)問題[1]，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)轉(zhuǎn)子碰摩課題已經(jīng)做了大量基礎(chǔ)性研究，取得了一系列的研究成果。WANG等[2?3]以油膜軸承支撐的Jeffcott 轉(zhuǎn)子為研究對(duì)象，分別在對(duì)稱和非對(duì)稱油膜力下研究了碰摩轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的影響，結(jié)果表明在非對(duì)稱油膜力作用下，系統(tǒng)響應(yīng)的混沌區(qū)域明顯更寬，且混沌運(yùn)動(dòng)的演化規(guī)律將更加復(fù)雜。李同杰等[4]考慮齒輪副齒側(cè)間隙以及滑動(dòng)軸承的油膜力建立了滑動(dòng)軸承?雙轉(zhuǎn)子?齒輪耦合系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究發(fā)現(xiàn)滑動(dòng)軸承的油膜對(duì)系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)具有鎮(zhèn)定作用，滑動(dòng)軸承間隙和轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心如果設(shè)計(jì)不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)齒輪副產(chǎn)生單邊沖擊現(xiàn)象。目前轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)分析方法可以分為解析方法和數(shù)值方法。其中對(duì)于解析方法比較著名的有Melnikov方法，JIANG[5]以一個(gè)含碰摩故障的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型為研究對(duì)象，提出了首先分段對(duì)系統(tǒng)各段方程的典型解及其穩(wěn)態(tài)解和存在區(qū)域進(jìn)行分析，然后在參數(shù)空間中將所得的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)區(qū)域進(jìn)行“拼裝”而得到其共存特性的研究方法。但是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)屬于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，其故障類型多、求解難度大，目前尚未有統(tǒng)一的解析求解方法。而數(shù)值方法由于具有更強(qiáng)大的直觀性和適用性，一直是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)分析的研究重點(diǎn)。數(shù)值方法主要包括直接模擬法(點(diǎn)映射法)和胞映射法[6]，但點(diǎn)映射法需計(jì)算很長(zhǎng)的時(shí)間才能得到系統(tǒng)中的全局動(dòng)力學(xué)特性，而且計(jì)算精度低，因此亟需一些高效的數(shù)值方法來研究轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，而胞映射方法就是一種有效的分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全局動(dòng)力學(xué)特性的方法。胞映射方法最先由Hsu[7]在20世紀(jì)80 年代初提出，但應(yīng)用在較高維動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)，“胞”的數(shù)量非常大，占用內(nèi)存空間大，計(jì)算速度慢。為此Levitas等[8?9]引入空間Poincaré截面映射，通過在狀態(tài)空間的定相位面中形成胞空間，并在此空間運(yùn)用簡(jiǎn)單胞映射方法對(duì)原動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行研究，發(fā)展出了Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射法。周杜等[10]利用簡(jiǎn)單胞映射方法對(duì)一兩自由度齒輪進(jìn)行全局動(dòng)力學(xué)分析，研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨著激振頻率的變化存在多個(gè)周期運(yùn)動(dòng)共存以及周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)共存現(xiàn)象。饒曉波[11]應(yīng)用GPU并行計(jì)算方法，研究了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在故障參數(shù)平面中的動(dòng)力學(xué)行為及其參數(shù)關(guān)聯(lián)關(guān)系，并利用簡(jiǎn)單胞映射方法探究了系統(tǒng)多吸引子共存現(xiàn)象。本文建立了一個(gè)非線性油膜力支撐含碰摩故障的單盤轉(zhuǎn)子?滑動(dòng)軸承耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，采用四階變步長(zhǎng)的龍格?庫塔?基爾法對(duì)系統(tǒng)的分岔和混沌等非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究，并利用Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射法分析轉(zhuǎn)速對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)的影響，通過合理控制系統(tǒng)的初值條件而獲得良好的系統(tǒng)響應(yīng)，為轉(zhuǎn)子的優(yōu)化設(shè)計(jì)和良好運(yùn)行奠定了基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為含有碰摩故障的簡(jiǎn)化對(duì)稱剛性支承轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)模型示意圖，其中，轉(zhuǎn)子的兩端的處和處采用對(duì)稱結(jié)構(gòu)的滑動(dòng)軸承支撐，轉(zhuǎn)子在軸承處的集中質(zhì)量為1，在轉(zhuǎn)盤處的集中質(zhì)量為2，1和2分別為轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)盤處和轉(zhuǎn)子在軸承處的阻尼；

圖1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1，2和3分別為軸瓦幾何中心、轉(zhuǎn)子幾何中心和轉(zhuǎn)子質(zhì)心，1為轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量偏心距；為轉(zhuǎn)盤和定子之間的間隙；假設(shè)軸段為無質(zhì)量的彈性軸段，為彈性剛度，k為定子徑向碰摩剛度。

1.1 碰摩力

圖2所示為碰摩示意圖。圖2中，為摩擦點(diǎn)法向與軸方向的夾角；為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)盤中心的徑向位移；P和P分別為法向碰摩力和切向摩擦力。

當(dāng)大于等于時(shí)(即≥)，系統(tǒng)發(fā)生碰摩，此時(shí)P和P可以表示為：

假設(shè)摩擦符合庫倫摩擦定律，將碰摩力分解到直角坐標(biāo)系軸方向和軸方向，可以得到碰摩力在軸方向和軸方向的分量P和P，即：

圖2 碰摩示意圖

1.2 油膜力

本文所研究的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸承的油膜力模型采用Capone短軸承油膜力模型[12]，該模型計(jì)算精度高且收斂性好。油膜壓力滿足雷洛方程：

根據(jù)式(3)可得油膜壓力：

油膜力在和軸上的分量為：

式中：為Sommerfeld修正系數(shù)。

其余各參數(shù)為：

其中：為潤(rùn)滑油黏度；為軸承寬度；為軸承直徑；為油膜間隙；sign()為符號(hào)函數(shù)；1和1分別為軸承的軸瓦幾何中心在軸方向和軸方向的徑向位移。

1.3 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

引入無量綱量變換：=，x=X/，y=Y/，(=1,2)；其中，為轉(zhuǎn)子角速度。根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論可建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：為重力加速度；F, F分別為軸承油膜力在軸方向、軸方向的分量，可參照式(5)。P,P分別為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩力在軸方向、軸方向的分量，可參照式(2)。

2 Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射

簡(jiǎn)單胞映射(SCM)方法的基本思想是將維連續(xù)的狀態(tài)空間R離散化為有限個(gè)小的幾何體(胞)，狀態(tài)空間離散化而建立胞空間，而Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射(PCM)方法[13]是在狀態(tài)空間的定相位面中形成胞空間，利用Poincaré映射將系統(tǒng)進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為Poincaré截面上的點(diǎn)映射系統(tǒng)。采用Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射(PCM)方法，能夠揭示非線性系統(tǒng)在狀態(tài)空間各共存吸引子的吸引域存在范圍，以及參數(shù)平面上吸引域拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變換規(guī)律。對(duì)于深入研究系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和控制提供理論依據(jù)具有重要意義。

3 系統(tǒng)的分岔及混沌分析

圖3呈現(xiàn)了系統(tǒng)轉(zhuǎn)盤在軸方向的無量綱位移隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化(200～3 000 rad/s)的分岔圖，揭示了系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性。如圖3所示，隨著轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)經(jīng)歷了擬周期運(yùn)動(dòng)、單周期運(yùn)動(dòng)、多周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)=839 rad/s時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生跳躍，由原來的P-1(P表示周期)運(yùn)動(dòng)跳變?yōu)镻-2運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)存在P-1運(yùn)動(dòng)吸引域和P-2吸引域共存現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到=1 246 rad/s時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)周期倍化分岔由P-2運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為P-4運(yùn)動(dòng)，隨之又跳變到P-3運(yùn)動(dòng)，在此轉(zhuǎn)速區(qū)域附近系統(tǒng)存在3種運(yùn)動(dòng)吸引域的共存現(xiàn)象。轉(zhuǎn)速增加到=1 900 rad/s時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生跳變，由P-3運(yùn)動(dòng)跳變到P-4運(yùn)動(dòng)，并隨著轉(zhuǎn)速持續(xù)遞增發(fā)生倍周期分岔，由P-4運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為P-8運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)速增加到=1 972 rad/s時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)逆周期倍化分岔退化為P-4運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)速繼續(xù)遞增至=2 354 rad/s時(shí)，系統(tǒng)由P-4運(yùn)動(dòng)經(jīng)瞬態(tài)混沌運(yùn)動(dòng)過渡到P-5運(yùn)動(dòng)，此后隨著轉(zhuǎn)速遞增，系統(tǒng)存在P-5運(yùn)動(dòng)吸引域和P-chaos(混沌運(yùn)動(dòng))吸引域共存現(xiàn)象。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到=2 580 rad/s后，系統(tǒng)進(jìn)入P-chaos運(yùn)動(dòng)，并隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增加一直維持在混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖3 系統(tǒng)的全局分岔圖

4 系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)分析

4.1 系統(tǒng)在σp相平面的全局動(dòng)力學(xué)分析

在相平面σ中，為了使研究范圍竟可能較廣，同時(shí)減小初始位置即發(fā)生碰摩的情況。取感興趣的位移初態(tài)域：σ={(2,2)∈2|?1.0≤2≤1.0,?1.0≤2≤1.0}，將初態(tài)域劃分為400×400個(gè)狀態(tài)胞，對(duì)相平面σ進(jìn)行胞映射。系統(tǒng)在σ相平面隨轉(zhuǎn)速變化的全局吸引域如圖4所示，其中不同顏色表示不同的吸引域。圖4(a)為轉(zhuǎn)速839 rad/s時(shí)系統(tǒng)的吸引域，其中深色區(qū)域代表P-1運(yùn)動(dòng)吸引域，淺色區(qū)域代表P-2運(yùn)動(dòng)吸引域，由圖可知深色面積區(qū)域大于淺色面積區(qū)域，此時(shí)P-1運(yùn)動(dòng)局部穩(wěn)定性大于P-2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到=1 246 rad/s時(shí)系統(tǒng)的吸引域如圖4(b)所示，此時(shí)系統(tǒng)存在P-2運(yùn)動(dòng)吸引域、P-3運(yùn)動(dòng)吸引域和P-4運(yùn)動(dòng)吸引域共存現(xiàn)象，其中淺色P-3運(yùn)動(dòng)吸引域和灰色P-4運(yùn)動(dòng)吸引域占據(jù)了絕大部分面積。帶狀深色P-2運(yùn)動(dòng)吸引域鑲嵌在灰色P-4運(yùn)動(dòng)吸引域中，這表示系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔，由P-2運(yùn)動(dòng)倍化到了P-4運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)速增加到= 1 900 rad/s時(shí)P-2運(yùn)動(dòng)消失，此時(shí)系統(tǒng)的吸引域如圖4(c)所示，只存在淺色的P-3運(yùn)動(dòng)吸引域和深色P-4運(yùn)動(dòng)吸引域，并且P-3運(yùn)動(dòng)局部穩(wěn)定性大于P-4運(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到=2 534 rad/s時(shí)的吸引域如圖4(d)所示，P-chaos運(yùn)動(dòng)和P-5運(yùn)動(dòng)在系統(tǒng)中共存，白色的帶環(huán)狀P-5運(yùn)動(dòng)吸引域嵌套在黑色的P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域中，此時(shí)P-5運(yùn)動(dòng)對(duì)初值非常敏感，極其容易失穩(wěn)而進(jìn)入P-chaos運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加到=2 575 rad/s時(shí)，系統(tǒng)的吸引域如圖4(e)所示，環(huán)帶狀的P-5運(yùn)動(dòng)吸引域被P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域逐漸吞噬，并形成P-5運(yùn)動(dòng)吸引域島，P-5運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)一步降低，隨著轉(zhuǎn)速的繼續(xù)增加系統(tǒng)將向P-chaos運(yùn)動(dòng)過渡。

(a) ω=839 rad/s；(b) ω=1 246 rad/s；(c) ω=1 900 rad/s；(d) ω=2 534 rad/s；(e) ω=2 575 rad/s

4.2 系統(tǒng)在σq相平面的全局動(dòng)力學(xué)分析

在相平面σ中，取感興趣的速度初態(tài)域：，將初態(tài)域劃分為400×400個(gè)狀態(tài)胞，對(duì)相平面σ進(jìn)行胞映射。系統(tǒng)在σ相平面隨轉(zhuǎn)速變化的全局吸引域如圖5所示，其中不同顏色表代表的吸引域與在σ相平面一致。圖5(a)為轉(zhuǎn)速839rad/s時(shí)系統(tǒng)的吸引域，與在σ相平面相比，淺色區(qū)域代表的P-2運(yùn)動(dòng)吸引域面積超過深色區(qū)域代表的P-1運(yùn)動(dòng)吸引域面積，這表示此時(shí)在σ相平面，系統(tǒng)的P-2運(yùn)動(dòng)的局部穩(wěn)定性將超過P-1運(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到=1 246 rad/s時(shí)系統(tǒng)的吸引域如圖5(b)所示，與在σ相平面相比，大部分淺色的P-3運(yùn)動(dòng)吸引域被灰色的P-4運(yùn)動(dòng)吸引域吞噬。轉(zhuǎn)速增加到=1 900 rad/s時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的吸引域如圖5(c)所示，與在σ相平面相比，增加了黑色的P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域。這表示與在σ相平面相比，速度對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響更大，在系統(tǒng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速接近1的區(qū)域，為維持系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速的初值以避開P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域區(qū)域。當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到= 2 534 rad/s時(shí)的吸引域如圖5(d)所示，與在σ相平面相比，白色的P-5運(yùn)動(dòng)吸引域面積被壓縮到相平面的左下角與黑色的P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域面積交織呈一圓盤狀。轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加到=2 575 rad/s時(shí)，系統(tǒng)的吸引域如圖5(e)所示，P-5運(yùn)動(dòng)吸引域面積被P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域逐漸吞噬，呈散狀分布于P-chaos運(yùn)動(dòng)吸引域面積中。

(a) ω=839 rad/s；(b) ω=1 246 rad/s；(c) ω=1 900 rad/s；(d) ω=2 534 rad/s；(e) ω=2 575 rad/s

(a) Poincaré截面圖；(b) 軸心軌跡圖

5 應(yīng)用舉例

(a) Poincaré截面圖；(b) 軸心軌跡圖

6 結(jié)論

1) 建立了一個(gè)非線性油膜力支撐含碰摩故障的單盤轉(zhuǎn)子?滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，利用Poincaré型的簡(jiǎn)單胞映射方法研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在單周期運(yùn)動(dòng)與多周期運(yùn)動(dòng)共存，多周期運(yùn)動(dòng)與多周期運(yùn)動(dòng)共存，以及多周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)共存。

2) 分析了系統(tǒng)在2個(gè)感興趣相平面內(nèi)各種運(yùn)動(dòng)吸引域的位置，并通過應(yīng)用舉例說明，在系統(tǒng)理想運(yùn)動(dòng)的吸引域范圍內(nèi)選擇系統(tǒng)的初值條件，可以獲得理想的系統(tǒng)響應(yīng)。這為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)，對(duì)于在不良參數(shù)區(qū)域改善轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有著重要的工程意義。

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Study on global dynamic characteristic of rubbing rotor—oil film bearing system

ZENG Xuyan1, 2, SHI Yuqing1, 2, LIU Jun1, 2, GUO Yao3

(1. School of Mechanical Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. Gansu Provincial Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment, Lanzhou 730070, China;3. College of Computer and Information Engineering, Hunan University of Technology and Business, Changsha 410205, China)

A dynamic model of the coupling system of single-disk rotor and sliding bearing including rub-impact fault was established, which considered the non-linear oil film force of the sliding bearing and the rubbing force of the rotor and stator. The fourth-order Runge-Kutta-Gill method with varying steps was used to solve the dynamic equation and obtain the model’s vibration response, and the global dynamics analysis of the rotor system was performed by using a simple cell mapping method of Poincaré type. The results show that: With the increase of the rotation speed, there are multiple periodic solutions coexisting and periodic solutions coexisting with chaotic motion. Finally, the application of the ideal system response is obtained by reasonably controlling the initial value conditions of the rotor system under the condition of bad parameters.

rotor-bearing system; sliding bearing; rotordynamics; rub-impact; domain of attraction

O322；TH133

A

1672 ? 7029(2021)02 ? 0494 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200387

2020?05?11

蘭州交通大學(xué)青年科學(xué)研究基金項(xiàng)目(2015019)

侍玉青(1988?)，女，甘肅民勤人，副教授，博士，從事非線性動(dòng)力學(xué)及控制研究；E?mail：shiyq@mail.lzjtu.cn

(編輯 陽麗霞)