粘彈性懸臂輸流管道在激勵(lì)力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

劉 穎,郭長青

(南華大學(xué) 土木工程學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

輸流管道廣泛應(yīng)用于航空、水利、核能、石油和海洋等領(lǐng)域，因其廣泛的應(yīng)用范圍使得與之相關(guān)的流固耦合振動問題在近一個(gè)世紀(jì)以來受到了廣泛的關(guān)注和研究[1-14]?，F(xiàn)階段關(guān)于這類問題的研究主要分為研究方向的選擇和求解方法的尋求。任建亭等[7]從五個(gè)研究方向簡述了近年來輸流管道流固耦合振動的研究進(jìn)展，并提出了進(jìn)一步的研究方向以及采用的相應(yīng)對策；初飛雪[9]根據(jù)Hamilton原理采用直接解法解得了輸流管道自由振動的固有頻率、臨界流速和臨界壓力的解析解表達(dá)式；易浩然等[11]基于哈密頓原理建立了含集中質(zhì)量懸臂輸流管的非線性動力學(xué)理論模型，研究了集中質(zhì)量對懸臂輸流管穩(wěn)定性和振動模態(tài)特性的影響規(guī)律；周坤等[12]基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法推導(dǎo)出由不同材料組成的周期性懸臂輸流管道在定常內(nèi)流作用下的非線性動力學(xué)方程，并通過數(shù)值求解的方式對周期性輸流管道的穩(wěn)定性和非線性動力學(xué)行為進(jìn)行了研究；許鋒等[10]通過傳遞矩陣法結(jié)合邊界條件求出了輸流管道模態(tài)函數(shù)的頻率特征值；文獻(xiàn)[3,5-6,10]使用Galerkin法研究了輸流管道系統(tǒng)的固有特性；張挺等[13]采用廣義有限差分法和Houbolt法分別對空間和時(shí)間上的偏微分項(xiàng)進(jìn)行離散，建立高階精度的無網(wǎng)格法數(shù)值模式，分析比對了兩端簡支、兩端簡支和一端固支一端簡支下輸流直管的振動響應(yīng)特性；諶冉曦等[14]運(yùn)用ANSYS Workbench軟件分析了彎曲半徑對所受流體壓力以及內(nèi)部流速分布的影響；文獻(xiàn)[1,4]運(yùn)用Green函數(shù)法求得激勵(lì)力作用下有阻尼梁的動態(tài)響應(yīng)表達(dá)式；H.B.Wen等[2]應(yīng)用Green函數(shù)法研究了輸流管道系統(tǒng)的固有特性；孫志禮等[8]研究了兩端支承式輸流管路的強(qiáng)迫振動分析，采用Green函數(shù)法求得輸流管道的一般撓度表達(dá)式。本文在已有研究的基礎(chǔ)[1-2,4,8]上，對粘彈性懸臂輸流管道在激勵(lì)力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究，考慮了激勵(lì)點(diǎn)位置、粘彈性系數(shù)、質(zhì)量比及流速對懸臂輸流管道穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。

1 運(yùn)動微分方程

如圖1所示，懸臂輸流管道系統(tǒng)管道內(nèi)流體以恒定流速流動。

圖1 懸臂輸流管道受激勵(lì)力動力學(xué)模型Fig.1 Excited dynamic model of cantilever pipeline

管道采用Bernoulli-Euler梁模型，位置x處、t時(shí)刻的撓度為w(x,t),其運(yùn)動微分方程為：

(1)

式中：EI為管道抗彎剛度，E*為粘彈性系數(shù)，w為管道橫向位移，L為管道長度，M為單位長度管道內(nèi)流體的質(zhì)量，m為單位長度管道質(zhì)量，U為管道內(nèi)流體流速，F(xiàn)0為激勵(lì)力幅值，δ(·)為狄拉克函數(shù)，Ω為激勵(lì)頻率。

引入以下無量綱量：

(2)

將式(1)無量綱化為：

(3)

2 運(yùn)動微分方程的求解方法

假設(shè)方程(3)的解為以下形式：

W(ξ,τ)=X(ξ)eiωτ

(4)

將式(4)代入式(3)得：

ω2X=fδ(ξ-a)

(5)

對式(5)進(jìn)行Laplace變換：

(6)

解得：

(7)

其中：

(8)

(9)

通過文獻(xiàn)[2,4]中的方法可得到：

(10)

其中：

(11)

式(10)中u(x-a)為單位階躍函數(shù)

運(yùn)用式(10)，對式(7)進(jìn)行Laplace逆變換可以得到X(ξ)的Green函數(shù)形式解：

(12)

其中：

(13)

為了得到管道的振型函數(shù)；對式(12)進(jìn)行求導(dǎo):

(14)

在式(12)、式(14)中令ξ=1，可以得到左端(ξ=0處)和右端(ξ=1處)邊界條件的關(guān)系式：

(15)

3 懸臂管道的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解

圖1所示懸臂梁的邊界條件為：

(16)

將式(16)代入式(15)，其前兩式化為

(17)

解得：

(18)

(19)

將式(18)、式(19)代入式(12)得輸流管道振型函數(shù)的Green函數(shù)解：

(20)

4 計(jì)算結(jié)果

4.1 計(jì)算方法的驗(yàn)證

根據(jù)推導(dǎo)過程可知，Green函數(shù)所得解式為封閉形式解，它比模態(tài)疊加法所得的解更能體現(xiàn)系統(tǒng)的物理特性。為了驗(yàn)證此方法的正確性，我們?nèi)サ艏?lì)力，并設(shè)粘彈性系數(shù)為零，通過式(15)得到懸臂輸流管道的頻率方程和模態(tài)函數(shù)，經(jīng)計(jì)算其結(jié)果和文獻(xiàn)[2]吻合。

4.2 計(jì)算結(jié)果及分析

圖2給出了四種不同激勵(lì)點(diǎn)位置下自由端撓度X(0)的反應(yīng)譜，可以看出：隨著激勵(lì)點(diǎn)位置由自由端向固定端不斷靠近，自由端撓度X(0)的一階共振幅值會不斷降低，但其下降幅度會逐漸減小。

圖3、圖4給出了八種不同粘彈性系數(shù)下自由端撓度X(0)的反應(yīng)譜，從圖3可以看出：隨著粘彈性系數(shù)的增加，X(0)的一階共振幅值會先增大后減小，同時(shí)其一階共振頻率會一直降低；從圖4可以看出：隨著粘彈性系數(shù)的繼續(xù)增加，系統(tǒng)一階共振頻率會繼續(xù)降低，系統(tǒng)二階共振幅值開始逐漸增大，系統(tǒng)一階和二階頻率開始逐漸融合，其共振幅值也不斷增大。

(β=0.2,α=0.1,ν=10,f=10)圖2 不同激勵(lì)點(diǎn)位置下的反應(yīng)譜Fig.2 Response spectrum under different positions of excitation

(α=0～0.2,β=0.2,a=0.25,ν=10,f=10)圖3 不同粘彈性系數(shù)下的反應(yīng)譜Fig.3 Response spectrum under different viscoelastic coefficients

(α=0.4～1,β=0.2,a=0.25,ν=10,f=10)圖4 不同粘彈性系數(shù)下的反應(yīng)譜Fig.4 Response spectrum under different viscoelastic coefficients

圖5給出了四種不同質(zhì)量比β下自由端撓度X(0)的反應(yīng)譜，可以看出：隨著質(zhì)量比的增加，X(0)的一階共振幅值會先增大后減小，其一階共振頻率也會先小幅升高后小幅降低。

(ν=10,α=0.1,a=0.25,f=10)圖5 不同質(zhì)量比下的反應(yīng)譜Fig.5 Response spectrum under different mass ratios

圖6給出了四種不同正流速(從自由端流向固定端)下自由端撓度X(0)的反應(yīng)譜，可以看出：隨著流速的增加，X(0)的一階共振頻率會先增大后減少，同時(shí)其一階共振幅值也會先降低后升高。

(ν=0～20,β=0.2,α=0.1,a=0.25,f=10)圖6 不同正流速下的反應(yīng)譜Fig.6 Response spectrum under different positive flow rates

圖7給出了四種不同負(fù)流速(從固定端流向自由端)下自由端撓度X(0)的反應(yīng)譜，可以看出：隨著負(fù)流速絕對值的增加，X(0)的一階共振頻率會先增大后減小，同時(shí)其一階共振幅值也會先降低后升高。

(ν=-20～0,β=0.2,α=0.1,a=0.25,f=10)圖7 不同負(fù)流速下的反應(yīng)譜Fig.7 Response spectrum under different negative flow rates

5 結(jié) 論

本文運(yùn)用Green函數(shù)法推導(dǎo)了懸臂輸流管道的強(qiáng)迫振動微分方程，并得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解，其解比模態(tài)疊加法更能體現(xiàn)模態(tài)的物理特性。本文在推導(dǎo)的基礎(chǔ)上研究分析了不同參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，得到以下結(jié)論：

1)激勵(lì)點(diǎn)位置離自由端越遠(yuǎn)，其對自由端共振幅值的影響越小。

2)隨著粘彈性系數(shù)的增加，系統(tǒng)一階共振頻率會持續(xù)降低，當(dāng)粘彈性系數(shù)增加到一定程度后，系統(tǒng)一階二階共振頻率會開始逐漸融合。

3)質(zhì)量比對系統(tǒng)一階共振頻率無明顯影響，質(zhì)量比對自由端一階共振幅值影響較大。

4)流速對系統(tǒng)一階共振頻率、一階共振幅值的影響無簡單的規(guī)律性。