具有非對稱條件下二階非自治系統(tǒng)同宿解的多重性

肖 可,陳會文,李家萌

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

考慮二階非自治系統(tǒng)

(1)

當(dāng)B=0時，系統(tǒng)(1)為二階Hamilton系統(tǒng),

ü(t)-L(t)u(t)+W(t,u(t))=0，?t∈R

(2)

很多文章在對L和W進(jìn)行的各種假設(shè)條件下，運(yùn)用了變分方法研究系統(tǒng)(2)哈密頓系統(tǒng)同宿解的存在性和多重性，如文獻(xiàn)[2-6]。Hamilton系統(tǒng)作為動力系統(tǒng)的一種特殊情況，在物理和數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，是當(dāng)前十分熱門的問題之一。它在相對論力學(xué)、氣體動力學(xué)、核物理、數(shù)理科學(xué)、生命科學(xué)等各個方向都扮演著重要角色。Hamilton系統(tǒng)同宿解作為Hamilton系統(tǒng)的主要研究內(nèi)容，并且知道Hamilton系統(tǒng)是具有變分結(jié)構(gòu)的，所以可以把求系統(tǒng)的解轉(zhuǎn)化為探求與之相對應(yīng)的泛函的臨界點(diǎn)。近年來，越來越多的學(xué)者開始利用變分法來研究Hamilton系統(tǒng)的同宿解、異宿解，但很多的文章結(jié)論都是在對稱條件下得到的，如文獻(xiàn)[2-8],而非對稱條件的文章較少，如文獻(xiàn)[9-10]。

與B=0的情況相比，B≠0的情況更加復(fù)雜且更加一般,對于B≠0的研究如文獻(xiàn)[3,8,10-14],但這些都是在對稱條件下得到的,很少有人在非對稱的基本條件下,研究同宿解的多重性。根據(jù)這樣的背景下，本文在設(shè)定了非對稱的條件后，并且考慮了B≠0的情況，研究系統(tǒng)(1)同宿解的多重性。

假設(shè)條件：

(S0)W(t,u)=λa(t)G(u)+μb(t)F(u)。

(S1)L∈C(R,RN×N),L(t)是對稱正定矩陣,t∈R,且存在函數(shù)α：R→R使得α(t)→+∞,|t|→∞，以及(L(t)u,u)≥α(t)|u|2。

(S2)G,F∈C1(RN,R)，G(0)=F(0)=0。

(S3)b∈L∞(R,R)，并且對一些γ∈(0,1)。a∈L∞(R,R)∩L2/(1-γ)(R,R),b是一個正連續(xù)函數(shù)。

(S6)存在ζ∈RN,使得G(ζ)>0。

(S7)存在T>0和α>1，使得|F(u)|≤T(|u|+|u|α),?u∈RN。

定理1假設(shè)(S0)～(S8)成立，那么就會存在λ1>0，使得對每一個λ>λ1，都存在有σ>0，使得對每一個μ∈[0，σ]，系統(tǒng)(1)至少存在兩個非平凡的同宿解。

1 預(yù)備知識

且對u,v∈E,設(shè)

相應(yīng)范數(shù)為

引理1在E中，范數(shù)‖·‖與范數(shù)‖·‖T等價

證明：對任意的u∈E,

由(S8)，可以有：

可以得到

運(yùn)用‖u‖T作為需使用的范數(shù)。

E是Hilbert空間，E*表示E的對偶空間，因?yàn)镋是連續(xù)嵌入LP(R,RN)。?P∈[2,+∞),所以存在δp>0,使得

‖u‖P≤δp‖u‖T，?u∈E。

(3)

其中‖u‖P表示LP(R,RN)的范數(shù)。

引理2(參考文獻(xiàn)[15])假設(shè)L滿足條件(S1)，則對任意的2≤P≤∞，E是緊嵌入LP(R,RN)。

對任意的u∈E,定義

(4)

引理3假設(shè)(S0)～(S8)成立，定義泛函

(5)

那么I是有意義的，并且I∈C1(E,R)，它的導(dǎo)數(shù)是

(6)

證明：該引理的證明過程與文獻(xiàn)[10]中引理2.3的證明過程類似，故該引理的證明過程省略。

引理4Φ是強(qiáng)制的泛涵，弱下半連續(xù)的，在E的每個有界子集上有界，并且它的導(dǎo)數(shù)存在一個連續(xù)逆。

證明：首先容易得到Φ是強(qiáng)制的。設(shè)在E中uk→u，那么

所以有

接下來證明Φ′存在一個連續(xù)逆，對每一個u∈E{0}，由式(6)，可以有

〈Φ′(u)-Φ′(v),u-v〉=‖u-v‖2

所以Φ′是一致單調(diào)的，由文獻(xiàn)[16]中的Theorem 26,可以得到Φ′存在一個連續(xù)逆E*。

2 定理1的證明

在證明定理1的過程中運(yùn)用了參考文獻(xiàn)[17]的Theorem 1。

證明：由(S2)，(S4)和(S5)，則對任意的ε>0，存在Tε>0,使得

(7)

由此，可以得到

大白兔“誕生”于1959年，美加凈“誕生”于1962年，在那個年代，大白兔奶糖和美加凈護(hù)膚品風(fēng)靡一時，受到消費(fèi)者的喜愛。大白兔成為建國十周年的獻(xiàn)禮產(chǎn)品，產(chǎn)品經(jīng)銷全世界40多個國家和地區(qū)，成為國際市場上經(jīng)久不衰的大眾寵兒。美加凈創(chuàng)造了很多中國化妝歷史上的“第一”，第一支護(hù)發(fā)定型摩絲、第一款護(hù)手產(chǎn)品——美加凈護(hù)手霜，上海家化還推出了美加凈青蘋果香波，這是國內(nèi)首個“二合一”（洗發(fā)+護(hù)發(fā)）香波洗發(fā)水。

證明：

由(S4)和(S5)，則對任意的ζ<0，存在ηζ∈(0,1)使得

(8)

又因?yàn)镚∈C1(RN,R)，存在一個常數(shù)Cζ>0，使得

(9)

這里的γ由(S3)中給出，可以得到

所以

證明：由(S3)，可得

證明完畢。

綜上所述，E是自反的，可分的，一致凸的Banach空間。由引理2～引理8，得到Φ,J,Ψ滿足文獻(xiàn)[14]中的Theorem1所有條件。所以，對每一個λ>λ1，存在σ>0，使得對每一個μ∈[0，σ]，I在E中至少存在三個臨界點(diǎn)。并且0是系統(tǒng)(1)的解。所以，系統(tǒng)(1)至少存在著兩個非平凡的同宿解。