一類具有時(shí)滯的傳染病模型Hopf分支及穩(wěn)定性分析

張露露,廖茂新,鄧興穎

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421000)

0 引 言

傳染病是一類由病原體或寄生蟲(chóng)引起的一類疾病，部分傳染病會(huì)長(zhǎng)期伴隨人類共存，而有些傳染病會(huì)在有效的防治措施下逐漸消亡。[1]在人們與傳染病的長(zhǎng)期抗?fàn)庍^(guò)程中，研究者們逐漸發(fā)現(xiàn)，在人體受到感染后，感染初期并不會(huì)表現(xiàn)出任何的癥狀，在一定時(shí)間之后，某些癥狀才回逐步表現(xiàn)出來(lái)。[2-8]也就是說(shuō)，在傳染病的傳播過(guò)程中，某時(shí)刻種群的變化除受當(dāng)前狀態(tài)影響外，也會(huì)收到此前時(shí)刻的某些因素的影響[9]。但在研究初期，研究者們一般未考慮到時(shí)間滯后的因素。我們?cè)趥魅静∧Ｐ椭袑r(shí)滯因素考慮進(jìn)來(lái)，可以更加精準(zhǔn)的反應(yīng)傳染病的實(shí)際傳播機(jī)理及傳播形態(tài)，以幫助我們提出、制定更加有效的控制傳播范圍的措施[10-16]。

在前人的基礎(chǔ)上，本文研究了一類具有時(shí)滯和非線性傳染率的傳染病模型，研究了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，及Hopf分支的存在。在傳染病模型中引入時(shí)滯，用于模擬傳染病的潛伏期，利用基本再生數(shù)R0判斷疾病在一段時(shí)間時(shí)間發(fā)展后是仍然流行或是最終消亡；發(fā)現(xiàn)了在一定的條件下，時(shí)滯的引入會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)周期解，地方病平衡點(diǎn)E*處出現(xiàn)Hopf分支。

(1)

式中:S(t),I(t),R(t)分別表示在t時(shí)刻易感染人群、已感染人群和恢復(fù)人群的數(shù)量;k是比例常數(shù)，b為人口的新增率，d為人口的自然死亡率，u是已感染人群的自然恢復(fù)率，r是恢復(fù)人群失去免疫力后重新成為易感染人群的比率。

1 穩(wěn)定性分析及Hopf分支存在的條件

(2)

對(duì)系統(tǒng)(1)首先分析其在平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性。求得系統(tǒng)(1)的線性化矩陣為

(3)

特征矩陣為

(4)

定理1：當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

令f(λ)=0，得到λ1=-d,λ2=-(d+r)為特征方程的兩負(fù)根，且有λ3滿足

(5)

(6)

即

由于R0<1，則Re(λ)<0，則g(λ)=0的所有根具有負(fù)實(shí)部，則R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

引理2：當(dāng)R0>1，τ=0時(shí)，正平衡點(diǎn)局部漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明：系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)E*處的特征方程為

其中:p0=2d+r+u，p1=(d+u)(d+r)，p3=d+r，p4=d+r+u，a0=kS2(t)，b0=2kI(t)S(t)。

f1(λ)=0，易得λ=-d是方程負(fù)實(shí)根，其它根由以下方程確定

(7)

當(dāng)τ=0時(shí)方程變?yōu)間1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4。

利用Routh-Hurwotz準(zhǔn)則

p0+b0-a0=(2d+r+u)+2k×

則只需要b-dS*>0(R0>1)時(shí)，p0+b0-a0>0。

p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2k×

(d+r+u)

只需要b-dS*>0(R0>1)時(shí)，p1-a0p3+b0p4>0。

由Routh-Hurwotz準(zhǔn)則知，方程根具有負(fù)實(shí)部，因此當(dāng)τ=0,(R0>1)時(shí)，地方病平衡點(diǎn)E*局部漸進(jìn)穩(wěn)定。證畢。

引理3：當(dāng)p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0時(shí)，方程具有一對(duì)純虛根±iθ(θ>0)。

證明：當(dāng)τ>0時(shí)，g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]，將λ=iθ代入式中，并分離虛實(shí)部，得

(8)

兩式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2，化簡(jiǎn)得

(9)

解得：

(10)

由式(8)，可得

(11)

令

g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ(q1λ+q2)

(12)

其中q1=b0-a0,q2=b0p4-a0p3。

式子(12)左右兩邊關(guān)于τ求導(dǎo)

(13)

可得

(14)

計(jì)算再有

(15)

則有

證畢。

由引理2、引理3、引理4，結(jié)合Hopf分支理論與文獻(xiàn)[4，11，16]可得到如下結(jié)論：

定理2：當(dāng)p1-a0p3+b0p4>0，p1+a0p3-b0p4<0，且當(dāng)R0>1時(shí)，如果τ∈[0,τ0)時(shí)，τ0=min(τj)，那么系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定;如果τ>τ0，那么系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，且當(dāng)τ=τj時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)經(jīng)歷Hopf分支。

2 數(shù)值模擬

前文討論了時(shí)滯對(duì)無(wú)病平衡點(diǎn)及正平衡點(diǎn)的影響，接下來(lái)將通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)直觀的展示出時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)解的影響。取參數(shù)b=1，d=0.8，u=0.2，r=0.4，k=4，則系統(tǒng)(1)為

(16)

在同樣參數(shù)條件下，選擇τ=2.0>τ0時(shí)，此時(shí)地方病平衡點(diǎn)不再穩(wěn)定(見(jiàn)圖2)。

圖1 當(dāng)τ=1.3<τ0時(shí)，模型(16)的正平衡解是漸進(jìn)穩(wěn)定的Fig.1 The positive equilibrium of (16) was asympomatic stable when τ=1.3<τ0

圖2 當(dāng)τ=2.0>τ0時(shí)，模型(16)的正平衡解是不穩(wěn)定的Fig.2 The positive equilibrium of (16) wasn’t stable when τ=2.0>τ0

3 結(jié) 論

本文討論了一個(gè)具有非線性發(fā)生率的具有時(shí)滯的流行病模型的穩(wěn)定性，確定了基本再生數(shù)R0，由霍爾維茲定理判斷了非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。對(duì)于任意時(shí)滯，當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，即隨著時(shí)間的推移，疾病最終消亡；R0>1，時(shí)滯不為零時(shí)，在一定條件下，E*不再穩(wěn)定，系統(tǒng)出現(xiàn)周期解地方病平衡點(diǎn)出現(xiàn)Hopf分支。