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    以洛必達(dá)法則為例小試高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)法的創(chuàng)新

    2021-03-13 21:35:17劉剛王利巖
    教育周報(bào)·教育論壇 2021年19期
    關(guān)鍵詞:洛必達(dá)法則平衡點(diǎn)

    劉剛 王利巖

    [基金項(xiàng)目]沈陽航空航天大學(xué)2021年校教改研究項(xiàng)目(JG2020125);沈陽航空航天大學(xué)2021年理學(xué)院教改研究項(xiàng)目(JG202004A)

    摘 要 “洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容之一,經(jīng)過課堂的基本講解,留給學(xué)生的是抽象神秘的不定式形象和無比易行而又刻板教條的洛必達(dá)法則。隨之注入以工程實(shí)際的豐富內(nèi)涵,抽絲剝繭般地給出不定式與平衡點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系,揭掉了罩在不定式頭上的神秘面紗,使不定式變得豐滿鮮活起來,從而有效地點(diǎn)燃學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣之火,也能夠激發(fā)學(xué)生將數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的強(qiáng)烈欲望,對于練好學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功,提高分析問題和解決問題的能力和創(chuàng)新能力都有著極大的意義。

    關(guān)鍵詞 不定式;洛必達(dá)法則;平衡點(diǎn);斜率不定。

    中圖分類號 O13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    一、引言

    高等數(shù)學(xué)是高校工科學(xué)生一門重要的公共基礎(chǔ)課,是學(xué)習(xí)后續(xù)課程必須具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,更是走上社會以后配陪伴工程技術(shù)人員走過一生的“終生伴侶”。善于用數(shù)學(xué)符號描述復(fù)雜的工程技術(shù)問題,這實(shí)在是工程技術(shù)人員必須具備的厚重內(nèi)秀和不可替代的強(qiáng)大能力[1]。所以要求高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)不僅要交待清楚基本的定理定義,而且要引領(lǐng)學(xué)生走出抽象的定理定義的大門,學(xué)會把定理定義工程化和實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,深入淺出,如此一定能強(qiáng)化學(xué)生的分析問題、解決問題和創(chuàng)新能力。

    咋看,高等數(shù)學(xué)從始至終都是一堆符號的集合,給人以抽象、玄虛、難以理解的印象,其實(shí)這只是它的表征,實(shí)際上數(shù)學(xué)是對具有相同共性的一類實(shí)際問題的抽象,因此善于還原抽象背后的問題原型,是引領(lǐng)學(xué)生走出數(shù)學(xué)抽象大門的唯一途徑。

    很多從事工程實(shí)踐的人,之所以寸步難行,就是不善于透過復(fù)雜的工程現(xiàn)象抽象出實(shí)際問題的本質(zhì)內(nèi)核。究其根本原因,在他們的腦海里,從來都是數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué),實(shí)踐是實(shí)踐,不善于把兩者結(jié)合起來。

    造成上述狀態(tài)的原因是多方面的,但作為高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué),首先應(yīng)該思考課堂教學(xué)法的改革。對于大綱要求的基本內(nèi)容要深入淺出,言簡意賅。定理定義的簡要證明是需要的是一種能讓學(xué)生的嚴(yán)密邏輯思維能力和數(shù)學(xué)抽象能力得以迅速增長的短平快的教學(xué)模式[2]。

    繁瑣的定理證明,非但不能激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,反倒成了學(xué)生學(xué)習(xí)活力的凝固劑,整個的證明過程,伴隨的多是課堂上的學(xué)生一片睡。

    本文將以洛必達(dá)法則為例,探討高等數(shù)學(xué)課堂因材施教的教學(xué)方法及其創(chuàng)新。

    二、洛必達(dá)法則的基本講解

    所謂基本講解,就是滿足教學(xué)大綱要求,面向全體學(xué)生的講解。

    三、基本講解后留下的困惑

    教材中采用柯西中值定理對洛必達(dá)法則給出了證明,但仍然顯得非常數(shù)學(xué),式(4)那樣的書寫過程意義是什么?[4] 不定式的不定又具有哪些內(nèi)涵? 總之,多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),根據(jù)學(xué)生課后答疑提出的問題,感覺到學(xué)生聽過上述的基本講解之后,似如囫圇吞棗,又似霧里看花。

    四、抽絲剝繭——釋惑

    釋惑,就是要抽絲剝繭,剝?nèi)ッ造F,把不定式的內(nèi)核展現(xiàn)給學(xué)生。

    1、不定式與系統(tǒng)平衡點(diǎn)

    式(1)中的僅僅是個變量的符號,可代之以。另外,應(yīng)該是兩個相關(guān)的變量,否則沒有實(shí)際意義,不妨設(shè)不定式

    顯然,與互為微積分的關(guān)系。如果代表系統(tǒng)的廣義位移(包括機(jī)械位移、受控系統(tǒng)的溫度、壓力、流量等等),則表明的是系統(tǒng)的運(yùn)動速度(包括機(jī)械運(yùn)動速度、受控系統(tǒng)的溫度變化率、壓力變化率、流量變化率等等)[5]。不定式(5)還表明,系統(tǒng)的速度和加速度皆為零。從運(yùn)動學(xué)角度,此時(shí)的系統(tǒng)應(yīng)該處于靜止?fàn)顟B(tài),稱系統(tǒng)速度和加速度都等于零的點(diǎn)為平衡點(diǎn)。

    到此,不定式(5)被賦予了實(shí)際內(nèi)涵,因而不再干癟無華。

    應(yīng)該指出,工程實(shí)際當(dāng)中的問題嚴(yán)格地講都是非線性的,不存在理想的線性關(guān)系,僅當(dāng)忽略了一些非線性因素,不至于引起原則性錯誤的時(shí)候,才可以按照線性問題來處理。所以對式(7)中的不加線性約束。

    2、平面上的運(yùn)動規(guī)則

    圖1 的上半平面滿足,速度為正,亦即速度在軸上投影指向軸的正向,即向右運(yùn)動,如圖1之A。下半平面,速度為負(fù),亦即速度在軸上投影指向軸的負(fù)向,即向左運(yùn)動,如圖1之B。于是穿越軸的運(yùn)動必定是垂直穿越,如圖1之C、D。

    3、平衡點(diǎn)蘊(yùn)含的特性

    如前所述,系統(tǒng)受到擾動而發(fā)生運(yùn)動而偏離了平衡點(diǎn),問題是當(dāng)擾動撤出以后,系統(tǒng)還能回到平衡點(diǎn)嗎?回答是可能回到平衡點(diǎn),也可能會不到平衡點(diǎn),這個問題留待后續(xù)的相關(guān)課程解決。

    究竟怎樣回到平衡點(diǎn)和怎樣離開平衡點(diǎn)的問題可以獲得解決。

    由式(9)可知,是函數(shù)在平面上的曲線斜率,而

    就是說曲線通過平衡點(diǎn)時(shí)的斜率不定[6],

    不定就是不確定,或者說有多個可能的斜率, 換言之,通過平衡點(diǎn)處的曲線有無窮多條,好似地球無窮多條磁力線聚于地球南北磁極一樣。原來看似干癟無華的不定式原來卻有這么豐富的內(nèi)涵,如圖2所示。

    五、結(jié)束語

    經(jīng)過上述對洛必達(dá)法則兩個步驟的講解和抽絲剝繭般的釋惑,不定式不再干癟無華,而是有著豐富的內(nèi)涵。如此可以盡可能的展現(xiàn)給學(xué)生更寬的學(xué)術(shù)視野,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的能力,有效地點(diǎn)燃學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣之火,也能夠激發(fā)學(xué)生將數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的強(qiáng)烈欲望。若能將深刻的數(shù)學(xué)思想深入淺出地傳授給學(xué)生,同時(shí)加上學(xué)生技能的訓(xùn)練學(xué)習(xí),學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)會得到顯著得高,那么我們的教學(xué)就會收到事半功倍的成效。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 畢予華。從洛必達(dá)法則求極限教學(xué)探討參與式教學(xué)法[J]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究2016,5:48

    [2]袁建軍, 歐增奇。 高等數(shù)學(xué)中用洛必達(dá)法則求極限需注意的問題[J]。 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,6:40-42

    [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編,高等數(shù)學(xué)[M](第7版)。北京:高等教育出版社,2014,132-136

    [4] 張國銘。 改進(jìn)的L'Hospital 法則的證明及其應(yīng)用[J]。 高等數(shù)學(xué)研究, 2010,5:63-65

    [5] 平艷茹,張漢林。 工科高等數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則的教學(xué)思考[J]。 高等數(shù)學(xué)研究, 2007,5:55-57

    [6] 姬小龍,常方平。二階線性微分方程通解在Riccati方程解下的積分表示[J]。益陽師專學(xué)報(bào),2002,3:30-33

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