利用Geogebra輔助教學
——“對橢圓的一個性質的再探究”教學設計及反思

張艾楠

（黑龍江省實驗中學 黑龍江 150000）

一、教學設計

為嚴謹探究，本節(jié)課所提直線斜率均存在且不為零。

（一）教學目標

1.使學生在掌握圓錐曲線概念、性質的基礎上能夠運用“數(shù)形結合”“幾何法”等方法求解圓錐曲線的定值問題；

2.通過類比橢圓中的斜率之積為定值，引導學生逆向、類比探究問題，使學生體會“提出猜想—驗證猜想—證明猜想”的研究過程，提高學生解決綜合問題的能力；

3.使學生通過研究橢圓中定值與定點間的關系，理解事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的辯證觀點。提高學生邏輯推理、數(shù)學運算的能力。

（二）教學重點

教學重點為通過橢圓中直線斜率乘積為定值推出斜率間的其他關系。

（三）教學難點

教學難點為如何引導學生由已知性質類比聯(lián)想其他性質。

（四）教學方法

教學方法主要是問題化和探究式教學。

（五）教學手段

教學手段包括多媒體、PAD教學。

（六）教學過程

1.創(chuàng)設情境

自主預習：

問題2：若將問題1中的長軸頂點A1,A2改為短軸頂點B1,B2，則kPB1與kPB2還存在上述關系嗎？

問題3：觀察上述兩個問題中的A1,A2,B1,B2位置的特殊性，你能否提出其他猜想呢？

圖1

利用PAD展示學生預習結果：

學生可能出現(xiàn)的回答：

（3）猜想1：若兩點關于坐標軸對稱，與橢圓上另一個動點斜率的乘積為定值。

猜想2：若兩點關于原點對稱，與橢圓上另一個動點斜率的乘積為定值。

法1利用橢圓方程，分別替換兩點的縱坐標，達到消元的目的。法2利用橢圓方程作差，整體消元。

2.問題驅動

問題4：由剛才研究的三個問題，你能總結出什么結論?

生：由kPA1×kPA2=-3/4，可得P A2的斜率范圍是[-3/8,-3/4]。

師：事實上，這道高考題就是以我們剛才研究的結論為背景，將對稱的兩點特殊設為長軸頂點。若沒有上述性質，計算起來較為復雜。借由性質，我們就可以很快解決這道題。

設計意圖：用一道具體的高考題做引，讓學生體會上述性質的實用性。

學生可能出現(xiàn)的回答（如圖2）：

猜想2：過橢圓上一點作兩條直線，若斜率乘積為λ，則交點連線經(jīng)過定點。利用Geogebra驗證猜想。

圖2

設計意圖：引導學生類比剛總結的性質并進行進一步的猜想，通過逆命題、由特殊到一般兩個方向進行猜想，并用PAD驗證，深化學生對性質的理解。

問題6：剛才我們研究的是斜率乘積為定值時，可以推出直線經(jīng)過定點。兩條直線之間能否有其他關系呢？你又能給出什么猜想嗎？

生：斜率和、差、比值是定值。

教師在黑板上分別演示三種猜想。當斜率比值λ＞0且λ≠1時或斜率之差λ為定值時，出現(xiàn)橢圓的包絡線（如圖3）。

圖3

當斜率比值λ＜0且λ≠-1時，出現(xiàn)雙曲線的包絡線（如圖4）。

圖4

當斜率之和λ是定值且λ≠0時，直線仍過定點（如圖5）。

圖5

當斜率比值λ=-1或斜率之和λ=0時，得到一組平行直線（如圖6）。

圖6

3.知識應用

教師借這道高考題，引導學生對上述性質加以驗證。

4.課堂小結

（1）知識小結：本節(jié)課對橢圓上對稱點與另一點連線斜率之積為定值這一性質進行了發(fā)散探究，得到了一些相關結論。且所得結論僅通過猜想和利用Geogebra驗證，并未嚴謹?shù)刈C明，望學生課后嚴謹證明。

（2）數(shù)學思想方法：①數(shù)與形的結合，用代數(shù)的方法解決幾何問題；②歸納猜想、類比推理。

（七）板書設計

二、教學反思

本節(jié)課通過類比橢圓中的斜率之積為定值這一性質，引導學生逆向、類比探究問題，使學生體會“提出猜想—驗證猜想—證明猜想”的研究過程，提高學生解決綜合問題的能力。教師利用數(shù)學中的一個性質來創(chuàng)設情境，引發(fā)學生的一系列問題，并通過PAD教學，最大限度地發(fā)揮了信息化教學為課堂服務的作用，以學生為主體，引導學生通過動手實踐作圖，了解數(shù)之間的特殊關系，發(fā)現(xiàn)形具有一定的特殊性，使學生深刻體會數(shù)學中的一種重要思想方法——數(shù)形結合[1]。同時，本節(jié)課在設計的時候確切落實了數(shù)學學科的核心素養(yǎng)，從橢圓的長短軸定點到橢圓上任意兩點，從定值到定點，從斜率乘積到斜率和、差、比值，提升了學生的邏輯推理能力。