黏性數(shù)值波浪水槽動(dòng)邊界造波技術(shù)研究

蔣學(xué)煉，趙 悅，楊偉超，谷漢斌，朱福明

（1.天津城建大學(xué) 天津市土木建筑結(jié)構(gòu)防護(hù)與加固重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384；2.寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，浙江 寧波315211；3.天津市北洋水運(yùn)水利勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司 水運(yùn)設(shè)計(jì)室，天津300452）

隨著計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，數(shù)值波浪水槽在海岸及近海工程的研究中得到廣泛應(yīng)用，其關(guān)鍵要求之一是數(shù)值造波的穩(wěn)定性和可靠性.常用的數(shù)值造波技術(shù)包括邊界造波和源函數(shù)造波.邊界造波即根據(jù)目標(biāo)波形指定波浪水槽入流邊界的速度和波面的時(shí)間歷程[1]，這一方法存在兩個(gè)問題：一是水槽出流邊界或域內(nèi)建筑物會反射入射波，在造波邊界形成二次反射，目前所提出的輻射邊界方法只適用于小振幅弱反射波，長時(shí)間模擬存在誤差累積問題[2]；二是在有限水深中波浪的非線性會導(dǎo)致周期平均凈質(zhì)量流，長時(shí)間模擬后會出現(xiàn)計(jì)算域總水體體積減小、水位下降問題[3].源函數(shù)造波是在流體連續(xù)性方程右端增加質(zhì)量源項(xiàng)，各種波形的質(zhì)量源項(xiàng)可根據(jù)波面方程積分得到，由于入射波和反射波分別從左右邊界流出，可有效消除二次反射問題，但相對波高較大時(shí)存在波形不穩(wěn)定的問題[4].

本文模仿物理模型水槽的推板造波方法，設(shè)置數(shù)值波浪水槽的一端邊界為剛性推板，以其運(yùn)動(dòng)為擾動(dòng)源驅(qū)使計(jì)算域內(nèi)的水體運(yùn)動(dòng)，形成所需的波形.以下各節(jié)將分別介紹數(shù)值波浪水槽、造波理論和多種波形的實(shí)現(xiàn)方法.

1 數(shù)值波浪水槽

數(shù)值波浪水槽布置如圖1.左端為剛性造波板（動(dòng)邊界），底部為固邊界，流體與固體交界面均為無滑移邊界，法向壓力梯度為零，右側(cè)設(shè)置海綿消浪層，端部為輻射邊界，頂部為自由液面，采用流體體積法（volume of fluid，VOF）追蹤.坐標(biāo)原點(diǎn)x=0置于造波板平衡位置，順浪向?yàn)檎?，z=0置于靜水面，向上為正.

圖1 二維數(shù)值波浪水槽布置圖

數(shù)值波浪水槽中的液體運(yùn)動(dòng)采用描述不可壓縮黏性流動(dòng)的雷諾時(shí)均納維爾-斯托克斯方程控制（Reynolds-averaged-Navier-Stokes equations，RANS），為了簡化固體動(dòng)邊界的處理，避免追蹤移動(dòng)物體而動(dòng)態(tài)剖分網(wǎng)格所消耗的巨大計(jì)算資源[5]，采用部分單元法（partial cell technique，PCT）描述網(wǎng)格單元性質(zhì)，其張量形式為[6]

式中：i（i=1，2）和j（j=1，2）分別代表水平向和垂向；t為時(shí)間；ui為i向時(shí)均速度；ρ為液體密度；p為液體壓力；gi為i向重力加速度；μ為動(dòng)力黏滯系數(shù)；-為雷諾應(yīng)力項(xiàng)，采用k-ε紊流模型求解；β為部分單元法中定義的開度函數(shù)，代表單元中流體面積與總面積之比.通過引入開度函數(shù)，整個(gè)計(jì)算域可分解為流體單元（β=1）、固體單元（β=0）和固液混合單元（0<β<1），單元中的變量取值設(shè)為開度函數(shù)與單元變量計(jì)算值的乘積.

采用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法配合兩步映射法求解控制方程（1）和（2），其中的對流項(xiàng)采用中心差分和迎風(fēng)格式混合離散，壓力梯度項(xiàng)和應(yīng)力梯度項(xiàng)采用中心差分離散.這一數(shù)值模式已應(yīng)用于眾多波浪-建筑物相互作用問題中[7]，詳細(xì)求解過程可參考文獻(xiàn)[8].

2 造波理論基礎(chǔ)

在實(shí)驗(yàn)室中，以變速裝置推動(dòng)造波板做往復(fù)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)（見圖2），帶動(dòng)水體產(chǎn)生波浪，其運(yùn)動(dòng)-速度傳遞方程為[9]

式中：XB（t）為t時(shí)刻推板位置；uB（t）為推板運(yùn)動(dòng)速度；為推板與水體接觸界面處的水質(zhì)點(diǎn)垂線平均水平速度.

圖2 推板造波示意圖

在數(shù)值波浪水槽中，設(shè)置左端邊界為剛性推板模擬造波板運(yùn)動(dòng)（見圖1）.在一個(gè)微小的時(shí)間步長Δt內(nèi)，可以認(rèn)為剛性推板的運(yùn)動(dòng)速度近似保持不變，因此，動(dòng)邊界與水體交界面單元內(nèi)的控制方程（1）和（2）可改寫為

可以看出，式（3）和式（4）的物理意義一致，均表示推板和水質(zhì)點(diǎn)交界處兩者的運(yùn)動(dòng)速度相等，以滿足不可壓縮流體連續(xù)性的要求.式（5）則表明，剛性動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)通過對流和擴(kuò)散傳遞給水體，對水體的壓力和黏性切應(yīng)力產(chǎn)生影響，進(jìn)而引起水體波動(dòng).因此，如能計(jì)算得到對應(yīng)不同波形的動(dòng)邊界速度時(shí)程uB（t），即可實(shí)現(xiàn)數(shù)值造波.

3 多波形造波技術(shù)及案例分析

3.1 一階線性波

一階線性波適用于較深水域（d/Lh≥0.5），其速度勢為

式中：A為波浪振幅；ω為圓頻率；k1、k3n分別對應(yīng)行進(jìn)波和駐波的波數(shù)；Cn為系數(shù).

式（6）第一項(xiàng)表示沿x正向傳播的行進(jìn)波，即目標(biāo)波形.第二項(xiàng)表示駐波系列，是由于造波板與交界面處的水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡不一致而產(chǎn)生的局部擾動(dòng)，順波形傳播方向呈指數(shù)衰減，可估算出一階駐波的振幅在距離推板2倍水深處衰減96%，3倍水深處衰減99%.因此，數(shù)值模擬的試驗(yàn)段應(yīng)放置在距離推板一定距離以外，以消除駐波的影響.

假定剛性動(dòng)邊界以正弦形式做強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)

式中：SB/2為動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)幅值.

將式（6）和式（7）代入式（3），可得

式（8）兩邊同乘cosh[k1（z+h）]，并沿水深（z=-h～0）積分得到波浪振幅的表達(dá)式

將式（6）代入一階自由液面邊界條件[10]，可得波面方程

在遠(yuǎn)離動(dòng)邊界的位置，式（10）右端第二項(xiàng)的駐波系列將耗散，右端第一項(xiàng)應(yīng)與一階線性波的波面方程相等，可得波高為

將式（9）代入式（11），并考慮彌散關(guān)系ω2=gk1tanh（k1h），可得波浪要素與動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)幅值之間的傳遞函數(shù)

對式（7）求導(dǎo)，可得到動(dòng)邊界的速度時(shí)程計(jì)算式

設(shè)置下列數(shù)值案例進(jìn)行驗(yàn)證：水槽長L=5.0 m，水深h=0.5 m，波高H=0.04 m，周期T=0.7 s，波長Lh=0.76 m，海綿消浪層L2=1.0 m.計(jì)算網(wǎng)格取dx=0.02 m，dz=0.01 m，時(shí)間步長Δt=0.02 s.采樣位置設(shè)在x=2.5 m.圖3給出了模擬波形與理論波形的對比，其中理論波形由描述.相對誤差計(jì)算式為，其中ηm為模擬波面高程，ηt為理論波面高程.

圖3 一階線性波模擬波形與理論波形對比

由圖3a可以看出，僅采用輻射邊界難以完全透射波能，模擬波形有一定程度的雍高.而圖3b顯示，聯(lián)合運(yùn)用海綿消浪層和輻射邊界條件有效減小了二次反射.基于人工衰減消波的思想，在海綿消浪層內(nèi)，控制方程（2）修正為[11]

式（14）右側(cè)最后一項(xiàng)為人工阻尼項(xiàng)，Cd為阻尼系數(shù)，表示通過增加海綿層內(nèi)的附加阻尼力逐漸吸收波能.為保持波形穩(wěn)定，后續(xù)案例的出流邊界前均設(shè)置了海綿消浪層.

3.2 二階斯托克斯波

二階斯托克斯波適用于有限水深區(qū)域（0.5＞d/Lh＞0.05），理論波形如下

對應(yīng)的動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)方程為

對時(shí)間求導(dǎo)可得動(dòng)邊界的速度時(shí)程

圖4 二階斯托克斯波模擬波形與理論波形對比

3.3 孤立波

孤立波是淺水波浪運(yùn)動(dòng)的極限狀態(tài)，波面全部在靜水面上，波長無限大，傳播過程中波形保持不變，水質(zhì)點(diǎn)只朝波浪傳播方向運(yùn)動(dòng)，常用于研究近岸區(qū)的波浪破碎和海嘯波.基于連續(xù)性條件可推導(dǎo)出實(shí)驗(yàn)室造孤立波的推板運(yùn)動(dòng)-速度傳遞方程[9]

積分式（18），可得到造孤立波對應(yīng)的動(dòng)邊界位移方程

Goring和Raichlen[12]建議，物理模型試驗(yàn)中推板的單向運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間由式0.999確定，即，并推薦Newton-Raphson切線法迭代求解式（18）位移時(shí)程XB（t），再進(jìn)行數(shù)值微分得到速度時(shí)程uB（t）.但在數(shù)值模擬時(shí)發(fā)現(xiàn)，按照t=（0，tf）的時(shí)間區(qū)間造波，只能出現(xiàn)孤立波的右半部分.為此，本文采用四階Runge-Kutta法對式（18）在時(shí)間區(qū)間t=（-tf，tf）進(jìn)行數(shù)值積分，直接獲得各時(shí)刻的速度時(shí)程uB（t），再將時(shí)間區(qū)間平移至t=（0，2tf）獲得完整的孤立波形.

設(shè)計(jì)兩個(gè)算例驗(yàn)證孤立波的生成效果：①單孤立波，水深h=0.3 m，波高H1=0.06 m；②雙孤立波，水深h=0.3 m，波高H1=0.06 m，波高H2=0.03 m.其他參數(shù)取值相同：水槽長L=10.0 m，海綿消浪層L2=2.0 m，計(jì)算網(wǎng)格取dx=0.02 m，dz=0.02 m，時(shí)間步長Δt=0.02 s.波形的采樣位置設(shè)在x=6.0 m.圖5為數(shù)值模擬結(jié)果，其中理論波形由式（19）描述.可見，兩種孤立波的數(shù)值波形與理論波形吻合良好，證明了上述數(shù)值處理方法的有效性.

圖5 孤立波模擬波形與理論波形對比

4 結(jié)論

（1）模擬實(shí)驗(yàn)室模型水槽推板造波的方法，在數(shù)值波浪水槽中設(shè)置剛性動(dòng)邊界，以其強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)為擾動(dòng)源驅(qū)使計(jì)算域內(nèi)的水體運(yùn)動(dòng)，形成所需的波形.基于實(shí)驗(yàn)室造波理論實(shí)現(xiàn)了一階線性波、二階斯托克斯波和孤立波的數(shù)值模擬，與理論波形比較，數(shù)值波形吻合良好.

（2）模仿實(shí)驗(yàn)室水槽末端設(shè)置孔隙介質(zhì)消減波能的做法，基于人工衰減消波的思想在數(shù)值波浪水槽出流邊界前增加海綿消浪層，與輻射邊界條件結(jié)合吸收透射波能，數(shù)值結(jié)果顯示這一處理可有效減小二次反射的影響.

（4）在淺水孤立波的生成中，不同于迭代求解位移時(shí)程再進(jìn)行數(shù)值微分得到速度時(shí)程的傳統(tǒng)做法，本文采用四階Runge-Kutta法數(shù)值積分運(yùn)動(dòng)-速度傳遞方程直接獲得速度時(shí)程，更為便捷.

致謝：衷心感謝四川大學(xué)的林鵬智教授為本文工作提供了RANS-VOF源代碼.