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    黏性數(shù)值波浪水槽動(dòng)邊界造波技術(shù)研究

    2021-03-12 15:33:12蔣學(xué)煉楊偉超谷漢斌朱福明
    關(guān)鍵詞:造波推板水槽

    蔣學(xué)煉,趙 悅,楊偉超,谷漢斌,朱福明

    (1.天津城建大學(xué) 天津市土木建筑結(jié)構(gòu)防護(hù)與加固重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津300384;2.寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院,浙江 寧波315211;3.天津市北洋水運(yùn)水利勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司 水運(yùn)設(shè)計(jì)室,天津300452)

    隨著計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展,數(shù)值波浪水槽在海岸及近海工程的研究中得到廣泛應(yīng)用,其關(guān)鍵要求之一是數(shù)值造波的穩(wěn)定性和可靠性.常用的數(shù)值造波技術(shù)包括邊界造波和源函數(shù)造波.邊界造波即根據(jù)目標(biāo)波形指定波浪水槽入流邊界的速度和波面的時(shí)間歷程[1],這一方法存在兩個(gè)問題:一是水槽出流邊界或域內(nèi)建筑物會反射入射波,在造波邊界形成二次反射,目前所提出的輻射邊界方法只適用于小振幅弱反射波,長時(shí)間模擬存在誤差累積問題[2];二是在有限水深中波浪的非線性會導(dǎo)致周期平均凈質(zhì)量流,長時(shí)間模擬后會出現(xiàn)計(jì)算域總水體體積減小、水位下降問題[3].源函數(shù)造波是在流體連續(xù)性方程右端增加質(zhì)量源項(xiàng),各種波形的質(zhì)量源項(xiàng)可根據(jù)波面方程積分得到,由于入射波和反射波分別從左右邊界流出,可有效消除二次反射問題,但相對波高較大時(shí)存在波形不穩(wěn)定的問題[4].

    本文模仿物理模型水槽的推板造波方法,設(shè)置數(shù)值波浪水槽的一端邊界為剛性推板,以其運(yùn)動(dòng)為擾動(dòng)源驅(qū)使計(jì)算域內(nèi)的水體運(yùn)動(dòng),形成所需的波形.以下各節(jié)將分別介紹數(shù)值波浪水槽、造波理論和多種波形的實(shí)現(xiàn)方法.

    1 數(shù)值波浪水槽

    數(shù)值波浪水槽布置如圖1.左端為剛性造波板(動(dòng)邊界),底部為固邊界,流體與固體交界面均為無滑移邊界,法向壓力梯度為零,右側(cè)設(shè)置海綿消浪層,端部為輻射邊界,頂部為自由液面,采用流體體積法(volume of fluid,VOF)追蹤.坐標(biāo)原點(diǎn)x=0置于造波板平衡位置,順浪向?yàn)檎?,z=0置于靜水面,向上為正.

    圖1 二維數(shù)值波浪水槽布置圖

    數(shù)值波浪水槽中的液體運(yùn)動(dòng)采用描述不可壓縮黏性流動(dòng)的雷諾時(shí)均納維爾-斯托克斯方程控制(Reynolds-averaged-Navier-Stokes equations,RANS),為了簡化固體動(dòng)邊界的處理,避免追蹤移動(dòng)物體而動(dòng)態(tài)剖分網(wǎng)格所消耗的巨大計(jì)算資源[5],采用部分單元法(partial cell technique,PCT)描述網(wǎng)格單元性質(zhì),其張量形式為[6]

    式中:i(i=1,2)和j(j=1,2)分別代表水平向和垂向;t為時(shí)間;ui為i向時(shí)均速度;ρ為液體密度;p為液體壓力;gi為i向重力加速度;μ為動(dòng)力黏滯系數(shù);-為雷諾應(yīng)力項(xiàng),采用k-ε紊流模型求解;β為部分單元法中定義的開度函數(shù),代表單元中流體面積與總面積之比.通過引入開度函數(shù),整個(gè)計(jì)算域可分解為流體單元(β=1)、固體單元(β=0)和固液混合單元(0<β<1),單元中的變量取值設(shè)為開度函數(shù)與單元變量計(jì)算值的乘積.

    采用交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法配合兩步映射法求解控制方程(1)和(2),其中的對流項(xiàng)采用中心差分和迎風(fēng)格式混合離散,壓力梯度項(xiàng)和應(yīng)力梯度項(xiàng)采用中心差分離散.這一數(shù)值模式已應(yīng)用于眾多波浪-建筑物相互作用問題中[7],詳細(xì)求解過程可參考文獻(xiàn)[8].

    2 造波理論基礎(chǔ)

    在實(shí)驗(yàn)室中,以變速裝置推動(dòng)造波板做往復(fù)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)(見圖2),帶動(dòng)水體產(chǎn)生波浪,其運(yùn)動(dòng)-速度傳遞方程為[9]

    式中:XB(t)為t時(shí)刻推板位置;uB(t)為推板運(yùn)動(dòng)速度;為推板與水體接觸界面處的水質(zhì)點(diǎn)垂線平均水平速度.

    圖2 推板造波示意圖

    在數(shù)值波浪水槽中,設(shè)置左端邊界為剛性推板模擬造波板運(yùn)動(dòng)(見圖1).在一個(gè)微小的時(shí)間步長Δt內(nèi),可以認(rèn)為剛性推板的運(yùn)動(dòng)速度近似保持不變,因此,動(dòng)邊界與水體交界面單元內(nèi)的控制方程(1)和(2)可改寫為

    可以看出,式(3)和式(4)的物理意義一致,均表示推板和水質(zhì)點(diǎn)交界處兩者的運(yùn)動(dòng)速度相等,以滿足不可壓縮流體連續(xù)性的要求.式(5)則表明,剛性動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)通過對流和擴(kuò)散傳遞給水體,對水體的壓力和黏性切應(yīng)力產(chǎn)生影響,進(jìn)而引起水體波動(dòng).因此,如能計(jì)算得到對應(yīng)不同波形的動(dòng)邊界速度時(shí)程uB(t),即可實(shí)現(xiàn)數(shù)值造波.

    3 多波形造波技術(shù)及案例分析

    3.1 一階線性波

    一階線性波適用于較深水域(d/Lh≥0.5),其速度勢為

    式中:A為波浪振幅;ω為圓頻率;k1、k3n分別對應(yīng)行進(jìn)波和駐波的波數(shù);Cn為系數(shù).

    式(6)第一項(xiàng)表示沿x正向傳播的行進(jìn)波,即目標(biāo)波形.第二項(xiàng)表示駐波系列,是由于造波板與交界面處的水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡不一致而產(chǎn)生的局部擾動(dòng),順波形傳播方向呈指數(shù)衰減,可估算出一階駐波的振幅在距離推板2倍水深處衰減96%,3倍水深處衰減99%.因此,數(shù)值模擬的試驗(yàn)段應(yīng)放置在距離推板一定距離以外,以消除駐波的影響.

    假定剛性動(dòng)邊界以正弦形式做強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)

    式中:SB/2為動(dòng)邊界的運(yùn)動(dòng)幅值.

    將式(6)和式(7)代入式(3),可得

    式(8)兩邊同乘cosh[k1(z+h)],并沿水深(z=-h~0)積分得到波浪振幅的表達(dá)式

    將式(6)代入一階自由液面邊界條件[10],可得波面方程

    在遠(yuǎn)離動(dòng)邊界的位置,式(10)右端第二項(xiàng)的駐波系列將耗散,右端第一項(xiàng)應(yīng)與一階線性波的波面方程相等,可得波高為

    將式(9)代入式(11),并考慮彌散關(guān)系ω2=gk1tanh(k1h),可得波浪要素與動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)幅值之間的傳遞函數(shù)

    對式(7)求導(dǎo),可得到動(dòng)邊界的速度時(shí)程計(jì)算式

    設(shè)置下列數(shù)值案例進(jìn)行驗(yàn)證:水槽長L=5.0 m,水深h=0.5 m,波高H=0.04 m,周期T=0.7 s,波長Lh=0.76 m,海綿消浪層L2=1.0 m.計(jì)算網(wǎng)格取dx=0.02 m,dz=0.01 m,時(shí)間步長Δt=0.02 s.采樣位置設(shè)在x=2.5 m.圖3給出了模擬波形與理論波形的對比,其中理論波形由描述.相對誤差計(jì)算式為,其中ηm為模擬波面高程,ηt為理論波面高程.

    圖3 一階線性波模擬波形與理論波形對比

    由圖3a可以看出,僅采用輻射邊界難以完全透射波能,模擬波形有一定程度的雍高.而圖3b顯示,聯(lián)合運(yùn)用海綿消浪層和輻射邊界條件有效減小了二次反射.基于人工衰減消波的思想,在海綿消浪層內(nèi),控制方程(2)修正為[11]

    式(14)右側(cè)最后一項(xiàng)為人工阻尼項(xiàng),Cd為阻尼系數(shù),表示通過增加海綿層內(nèi)的附加阻尼力逐漸吸收波能.為保持波形穩(wěn)定,后續(xù)案例的出流邊界前均設(shè)置了海綿消浪層.

    3.2 二階斯托克斯波

    二階斯托克斯波適用于有限水深區(qū)域(0.5>d/Lh>0.05),理論波形如下

    對應(yīng)的動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)方程為

    對時(shí)間求導(dǎo)可得動(dòng)邊界的速度時(shí)程

    圖4 二階斯托克斯波模擬波形與理論波形對比

    3.3 孤立波

    孤立波是淺水波浪運(yùn)動(dòng)的極限狀態(tài),波面全部在靜水面上,波長無限大,傳播過程中波形保持不變,水質(zhì)點(diǎn)只朝波浪傳播方向運(yùn)動(dòng),常用于研究近岸區(qū)的波浪破碎和海嘯波.基于連續(xù)性條件可推導(dǎo)出實(shí)驗(yàn)室造孤立波的推板運(yùn)動(dòng)-速度傳遞方程[9]

    積分式(18),可得到造孤立波對應(yīng)的動(dòng)邊界位移方程

    Goring和Raichlen[12]建議,物理模型試驗(yàn)中推板的單向運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間由式0.999確定,即,并推薦Newton-Raphson切線法迭代求解式(18)位移時(shí)程XB(t),再進(jìn)行數(shù)值微分得到速度時(shí)程uB(t).但在數(shù)值模擬時(shí)發(fā)現(xiàn),按照t=(0,tf)的時(shí)間區(qū)間造波,只能出現(xiàn)孤立波的右半部分.為此,本文采用四階Runge-Kutta法對式(18)在時(shí)間區(qū)間t=(-tf,tf)進(jìn)行數(shù)值積分,直接獲得各時(shí)刻的速度時(shí)程uB(t),再將時(shí)間區(qū)間平移至t=(0,2tf)獲得完整的孤立波形.

    設(shè)計(jì)兩個(gè)算例驗(yàn)證孤立波的生成效果:①單孤立波,水深h=0.3 m,波高H1=0.06 m;②雙孤立波,水深h=0.3 m,波高H1=0.06 m,波高H2=0.03 m.其他參數(shù)取值相同:水槽長L=10.0 m,海綿消浪層L2=2.0 m,計(jì)算網(wǎng)格取dx=0.02 m,dz=0.02 m,時(shí)間步長Δt=0.02 s.波形的采樣位置設(shè)在x=6.0 m.圖5為數(shù)值模擬結(jié)果,其中理論波形由式(19)描述.可見,兩種孤立波的數(shù)值波形與理論波形吻合良好,證明了上述數(shù)值處理方法的有效性.

    圖5 孤立波模擬波形與理論波形對比

    4 結(jié)論

    (1)模擬實(shí)驗(yàn)室模型水槽推板造波的方法,在數(shù)值波浪水槽中設(shè)置剛性動(dòng)邊界,以其強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)為擾動(dòng)源驅(qū)使計(jì)算域內(nèi)的水體運(yùn)動(dòng),形成所需的波形.基于實(shí)驗(yàn)室造波理論實(shí)現(xiàn)了一階線性波、二階斯托克斯波和孤立波的數(shù)值模擬,與理論波形比較,數(shù)值波形吻合良好.

    (2)模仿實(shí)驗(yàn)室水槽末端設(shè)置孔隙介質(zhì)消減波能的做法,基于人工衰減消波的思想在數(shù)值波浪水槽出流邊界前增加海綿消浪層,與輻射邊界條件結(jié)合吸收透射波能,數(shù)值結(jié)果顯示這一處理可有效減小二次反射的影響.

    (4)在淺水孤立波的生成中,不同于迭代求解位移時(shí)程再進(jìn)行數(shù)值微分得到速度時(shí)程的傳統(tǒng)做法,本文采用四階Runge-Kutta法數(shù)值積分運(yùn)動(dòng)-速度傳遞方程直接獲得速度時(shí)程,更為便捷.

    致謝:衷心感謝四川大學(xué)的林鵬智教授為本文工作提供了RANS-VOF源代碼.

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