“方程”備考指南

文崔 德

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在全國(guó)各地區(qū)中考試題中，考查的內(nèi)容是比較一致的，即以解法為重要內(nèi)容，以應(yīng)用為主要載體，突出考查對(duì)方程基礎(chǔ)知識(shí)的理解、對(duì)基本技能的把握，考查建模能力，凸顯方程的工具性，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)。下面通過對(duì)近幾年各地區(qū)中考中有關(guān)“方程”的一些典型試題進(jìn)行分析，以期對(duì)同學(xué)們的中考復(fù)習(xí)有所幫助。

一、關(guān)注核心概念的考查

例1 （2020·上海）如果關(guān)于x的方程x2-4x+m=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是________。

【分析】由一元二次方程根的判別式為0，列出關(guān)于m 的方程即可得出答案。

解：∵關(guān)于x 的一元二次方程x2-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴（-4）2-4?1?m=0，

解得m=4。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關(guān)鍵。

二、關(guān)注思想方法的考查

例2（2019·四川內(nèi)江）若x、y、z 為3y2+z2的最大值是________。

【分析】利用加減消元法或代入消元法消去一個(gè)未知數(shù)，找到x 與z，y 與z之間的關(guān)系，則可以將代數(shù)式x2-3y2+z2化成只含有一個(gè)未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，最后用配方法求出代數(shù)式的最大值。

當(dāng)z=-5 時(shí)，代數(shù)式x2-3y2+z2取最大值26。

【點(diǎn)評(píng)】此題圍繞消元和化歸，考查了解方程的本質(zhì)方法。

三、關(guān)注學(xué)習(xí)過程的考查

例3（2018·吉林）如圖是學(xué)習(xí)方程應(yīng)用時(shí)，老師板書的問題和兩名同學(xué)所列的方程。

根據(jù)以上信息，解答下列問題。

（1）冰冰同學(xué)所列方程中的x 表示__________________，慶慶同學(xué)所列方程中的y表示__________________；

（2）在兩個(gè)方程中任選一個(gè)，寫出它的等量關(guān)系；

（3）解（2）中你所選擇的方程，并回答老師提出的問題。

【分析】只有真正明確第（1）問中所設(shè)未知數(shù)x、y 表示的含義，才能正確寫出第（2）問中的相等關(guān)系，進(jìn)而得出實(shí)際問題中的解。

解：（1）x 表示甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度，y表示甲隊(duì)修路400米所需時(shí)間或乙隊(duì)修路600米所需時(shí)間。

（2）冰冰用的等量關(guān)系是：甲隊(duì)修路400 米所用時(shí)間=乙隊(duì)修路600 米所用時(shí)間；

慶慶用的等量關(guān)系是：乙隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度?甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度=20米。（任選一個(gè)即可。）

答：甲隊(duì)每天修路的長(zhǎng)度為40米。

【點(diǎn)評(píng)】此題模擬課堂的學(xué)習(xí)情境，重點(diǎn)考查對(duì)所設(shè)未知量意義的理解，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)習(xí)過程的考查。

四、關(guān)注數(shù)學(xué)文化的考查

例4（2020·江蘇揚(yáng)州）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架。其中記載著一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1 丈（1 丈=10 尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3 尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高。

【分析】此題取材于蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第86 頁例1，運(yùn)用勾股定理建立方程可以解決。

解：設(shè)折斷處離地面x尺。

根據(jù)勾股定理，得x2+32=（10-x）2，

解這個(gè)方程，得x=4.55。

答：折斷處離地面4.55尺。

【點(diǎn)評(píng)】此題直接呈現(xiàn)《九章算術(shù)》中的問題，我們能明顯感受到以方程為工具在解決實(shí)際問題中的價(jià)值，折射出我國(guó)數(shù)學(xué)文明的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。

五、關(guān)注建模能力的考查

例5（2020·山東菏澤）2020 年史上最長(zhǎng)的寒假結(jié)束后，學(xué)生復(fù)學(xué)。某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生在不聚集的情況下加強(qiáng)體育鍛煉，決定讓各班購(gòu)買跳繩和毽子作為活動(dòng)器材。已知購(gòu)買2根跳繩和5個(gè)毽子共需32元；購(gòu)買4根跳繩和3個(gè)毽子共需36元。

（1）求購(gòu)買一根跳繩和一個(gè)毽子分別需要多少元；

（2）某班需要購(gòu)買跳繩和毽子的總數(shù)量是54，且購(gòu)買的總費(fèi)用不能超過260 元；若要求購(gòu)買跳繩的數(shù)量多于20根，通過計(jì)算說明共有哪幾種購(gòu)買跳繩的方案。

【分析】本題主要考查二元一次方程組、一元一次不等式的應(yīng)用。

解：（1）設(shè)購(gòu)買一根跳繩需要x 元，一個(gè)毽子需要y元。答：購(gòu)買一根跳繩需要6元，一個(gè)毽子需要4元。

（2）設(shè)學(xué)校購(gòu)進(jìn)跳繩m 根，則購(gòu)進(jìn)毽子（54-m）個(gè)。

根據(jù)題意，得6m+4（54-m）≤260，

解這個(gè)不等式，得m≤22。

又m＞20，且m為整數(shù)，

∴m=21或22。

∴共有兩種購(gòu)買跳繩的方案：

方案①：購(gòu)買跳繩21根；

方案②：購(gòu)買跳繩22根。

【點(diǎn)評(píng)】分析問題中數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，構(gòu)建方程或不等式模型是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵。