非負(fù)張量譜半徑上下界的估計(jì)不等式

劉桂敏，張美黎，呂洪斌

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

張量的特征值問題有重要的應(yīng)用背景，如在盲源分離[1]、磁共振成像[2-3]、分子構(gòu)象[4]等方面都有重要應(yīng)用.其中，非負(fù)張量的特征值和特征向量有許多研究結(jié)果[5-8].本文給出一個(gè)具有一般形式的非負(fù)張量譜半徑(最大特征值)的估計(jì)不等式.

1 定義及基本結(jié)果

如果ai1i2…im≥0，ij=1，2，…，n，j=1，2，…，m，則稱為非負(fù)張量.我們記所有m階n維非負(fù)張量的集合為.

一個(gè)m階n維張量=(δi1…im)稱為單位張量，如果

定義1[5-6]對于m階n維張量和一個(gè)向量x=(x1，x2，…，xn)T，xm-1是一個(gè)向量，其第i個(gè)分量為

(

如果有λ∈和一個(gè)非零向量x=(x1，x2，…，xn)T，使得

類似于非負(fù)矩陣?yán)碚?，我們稱ρ()=sup{|λ|：λ∈σ()}是張量的譜半徑，其中σ()是張量的特征值集合.

文獻(xiàn)[7]將不可約矩陣的概念推廣到張量.

定義2[7]對于m階n維張量=(ai1i2…im)，如果存在一個(gè)非空的真子集I?〈n〉，使得

ai1i2…im=0， ?i1∈I， ?i2，…，im?I，

關(guān)于非負(fù)張量的特征值和特征向量文獻(xiàn)[7]給出了如下結(jié)果：

定理1[7]設(shè)=(ai1i2…im)∈，則存在λ0≥0和一個(gè)非負(fù)向量x0≠0，使得

(1)

定理2[7]設(shè)=(ai1i2…im)∈不可約，則方程(1)中的(λ0，x0)滿足：

(ⅰ)λ0>0是的一個(gè)特征值.

(ⅱ)x0>0，即x0的所有分量是正的.

(ⅲ)如果λ是的一個(gè)具有非負(fù)特征向量的特征值，則λ=λ0.此外，在不計(jì)倍數(shù)的情況下非負(fù)特征向量是唯一的.

(ⅳ)如果λ是的特征值，則|λ|≤λ0.

由定理2(ⅱ)和(ⅳ)可知，非負(fù)張量的譜半徑即是其按模最大特征值.

定義

引理1[9]設(shè)=(ai1i2…im)∈，=(ci1i2…im)∈，0≤≤，則ρ()≤ρ().

由引理1我們有

引理2設(shè)=(ai1i2…im)∈不可約，則ρ()>ai…i，i∈〈n〉.

文獻(xiàn)[9]給出了非負(fù)張量譜半徑的上下界估計(jì)結(jié)果：

定理3[9]設(shè)=(ai1i2…im)∈，則

文獻(xiàn)[10]給出了非負(fù)張量譜半徑上下界估計(jì)的改進(jìn)結(jié)果：

定理4[10]設(shè)=(ai1i2…im)∈，且n≥2，則

δ()≤ρ()，

其中

δ()，

δi， j(.

本文給出非負(fù)張量譜半徑上下界估計(jì)的一個(gè)具有一般形式的不等式，在特別情況下改進(jìn)了定理3和定理4.

2 主要結(jié)果

定理5設(shè)=(ai1i2…im)∈，則

κ()≤ρ()，

其中

κ()，

(2)

不失一般性，假設(shè)

xt1≥xt2≥…≥xtn-1≥xtn>0.

(ⅰ)首先證明

ρ().

由方程組(2)有

因此，對l∈〈n-1〉，有

(ρ(

r′t1(

即

(ρ()-at1…t1-r′t1(.

(3)

同理，由方程組(2)有

因此

(ρ(.

(4)

(ρ()-at1…t1-r′t1(

因此

ρ(at1…t1+at2…t2+r′t1()+

從而有

ρ().

(ⅱ)現(xiàn)在證明

ρ()=κ().

由方程組(2)有

和

與(ⅰ)的證明相似，對l∈〈n-1〉容易得到

ρ().

因此，有

ρ()=κ().

綜合(ⅰ)、(ⅱ)有

κ()≤ρ().

其中，

推論1設(shè)=(ai1i2…im)∈，且n≥2，則

Δ()≤ρ()，

其中

Δ()，

Δi， j(ai…i+aj…j+r′i(.

3 數(shù)值算例

例1設(shè)其中

計(jì)算知ρ()=10.688 1.由定理3有

10≤ρ()≤13.

由定理4計(jì)算有

δ1，2=10.831 0，δ2，1=10.099 0，δ1，3=11.164 4，δ3，1=11.844 3，δ1，4=11.446 2，δ4，1=12.708 2，

δ2，3=10.352 3，δ3，2=11.831 0，δ2，4=10.520 8，δ4，2=12.765 0，δ3，4=12.211 1，δ4，3=12.855 7.

因此

δ(

即有

10.099 0=δ()≤ρ()=12.855 7.

由推論1計(jì)算有

Δ1，2=10.577 7，Δ2，1=10.348 5，Δ1，3=11.402 2，Δ3，1=11.639 4，Δ1，4=11.787 1，Δ4，1=12.389 9，

Δ2，3=10.681 1，Δ3，2=11.262 1，Δ2，4=11.000 0，Δ4，2=12.068 4，Δ3，4=12.345 9，Δ4，3=12.700 6.

因此

Δ()}=12.700 6，

即有

10.348 5=Δ()≤ρ()=12.700 6.

因此，定理5的推論1是定理4和定理3的一個(gè)很好的改進(jìn).