• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    水中微小波紋圓柱體聲散射低頻共振調(diào)控*

    2021-03-11 02:39:42周彥玲王斌范軍
    物理學(xué)報 2021年5期
    關(guān)鍵詞:微擾共振頻率圓柱體

    周彥玲 王斌 范軍

    (上海交通大學(xué), 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心, 海洋工程國家重點實驗室, 上海 200240)

    塑料類高分子材料甲基丙烯酸甲酯?亞克力(PMMA)圓柱中亞音速Rayleigh 波低頻隧穿共振可引起反向散射增強, 在低頻標準散射體設(shè)計等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價值.提出一種微弱形變的規(guī)則波紋表面結(jié)構(gòu), 可實現(xiàn)水中PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的無源調(diào)控.利用微擾法推導(dǎo)了水中微弱形變規(guī)則波紋圓柱反向散射低頻共振頻率偏移的近似解, 討論了波紋微擾系數(shù)、周期對規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移的影響規(guī)律.基于Rayleigh 波相位匹配方法分析了低頻共振頻率偏移的機理.研究表明: 微弱形變規(guī)則波紋圓柱中亞音速Rayleigh 波沿微弱形變波紋表面?zhèn)鞑? 與光滑圓柱體相比, 傳播路徑的改變引起Rayleigh 波傳播相位變化,導(dǎo)致了Rayleigh 波低頻共振頻率發(fā)生偏移.最后開展了微弱形變規(guī)則波紋圓柱體聲散射特性水池實驗, 獲取了其反向散射共振頻率, 明顯觀察到了規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移現(xiàn)象, 與理論預(yù)報結(jié)果吻合較好.

    1 引 言

    在光學(xué)領(lǐng)域, Ge 等[1,2]利用微擾理論研究了邊界微弱形變光學(xué)微腔的共振特性, 研究表明微腔邊界形變導(dǎo)致不同共振模態(tài)之間耦合, 使得其共振頻率發(fā)生偏移, 并在很大程度改變腔內(nèi)射線動力學(xué)特性和輸出方向, 且光波的輸出方向?qū)吔缱冃螛O其靈敏, 在光束控制和高分辨率檢測方面具有重要應(yīng)用前景.在聲學(xué)領(lǐng)域, Fawcett[3]用數(shù)值方法計算了外徑不變內(nèi)徑微弱形變水中球殼聲散射頻域特征,結(jié)果顯示邊界的微弱形變可以使得由于球殼中傳播的a0波與剛性背景耦合形成的中頻吻合共振[4]得到抑制, 但未對抑制中頻吻合共振的機理進行研究; 提出了一種時域Kirchhoff/衍射混合算法[5],此算法只適用于微弱形變剛性目標高頻聲散射的計算.Antonio 等[6]提出一種數(shù)值曲面積分方法,可以用來計算不規(guī)則表面或隨機粗糙表面幾何目標的聲散射問題, 但此方法只適用于剛性目標.本文基于微擾法分析了微弱形變彈性圓柱體低頻聲散射特征, 提出了一種利用微弱形變規(guī)則波紋表面結(jié)構(gòu)調(diào)控塑料類高分子材料甲基丙烯酸甲酯?亞克力(PMMA)圓柱反向散射低頻共振頻率的方法.

    塑料類高分子聚合物材料PMMA 是3D 打印領(lǐng)域的一類主要材料, 其密度與水接近, 剪切波速度小于水中聲速[7], 近年來在聲學(xué)領(lǐng)域逐漸受到關(guān)注.Hefner 和Marston[8]通過理論和實驗研究了水中PMMA 球體低頻反向散射增強現(xiàn)象, 研究表明由于亞音速Rayleigh 波共振使得PMMA 球體目標低頻反向散射大幅度增強, 并指出這類PMMA目標在水中低頻標準散射體設(shè)計等方面具有重要應(yīng)用價值.PMMA 目標低頻共振頻率的人工調(diào)控,是設(shè)計滿足不同頻率需求的聲散射標準體, 是水中被動聲學(xué)標記體的基礎(chǔ)[9,10].本文提出了一種應(yīng)用于水中PMMA 圓柱體低頻共振頻率調(diào)控的規(guī)則波紋表面, 第2 節(jié)基于微擾法推導(dǎo)了無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱體聲散射共振頻率偏移的近似解,分析了其低頻共振頻率偏移的機理, 即規(guī)則波紋表面導(dǎo)致圓柱中亞音速Rayleigh 波傳播路徑改變,從而引起傳播相位變化, 使得低頻共振頻率發(fā)生偏移.第3 節(jié)討論波紋微擾系數(shù)、周期等波紋參數(shù)對水中PMMA 規(guī)則波紋圓柱低頻共振散射頻率偏移的影響規(guī)律.第4 節(jié)進行了光滑PMMA 圓柱體和規(guī)則波紋PMMA 圓柱體(相同波紋周期、不同波紋微擾系數(shù))聲散射特性水池試驗, 獲取了其反向散射共振特性, 觀察到共振頻率偏移特征, 同時驗證了第2 節(jié)規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移近似公式的有效性和正確性.

    2 無限長微弱變形表面圓柱體聲散射

    2.1 微擾理論

    無限長微弱形變規(guī)則波紋表面圓柱體示意如圖1 所示.

    圖1 無限長微弱形變規(guī)則波紋表面圓柱體Fig.1.Infinite regular?corrugated cylinder.

    若圓柱表面存在微小變形[3], 即

    其中, a 為未變形圓柱半徑, ε 為波紋微擾系數(shù),f(φ)=sin2(mφ),m=0,1,2,3,··· , m 是 [ 0,π] 的波紋周期.則波紋圓柱圓周長度S 為

    由(2)式可以看出, 微弱形變規(guī)則波紋圓柱圓周長度與未變形圓柱體半徑a、波紋微擾系數(shù)ε 和波紋周期m 有關(guān).

    假設(shè) | εf(φ)|?a , 入射平面波沿著x 軸正向垂直入射到無限長波紋圓柱, 設(shè)散射聲場具有如下形式[11,12]:

    這里忽略時間因子e—iωt, 其中k = ω/c 是入射平面波波數(shù), ω 為角頻率, c 為水中聲速, r 為接收點到目標中心的距離, φ 為入射平面波與x 軸正向的夾角,是散射系數(shù),(kr) 為第一類漢克爾函數(shù).則微弱形變規(guī)則波紋圓柱外部總聲場為

    微弱形變規(guī)則波紋圓柱內(nèi)部聲場:

    其中, Jn是n 階Bessel 函數(shù), αbp, αcp和αep是待定的耦合系數(shù), kd和ks分別為縱波波數(shù)和橫波波數(shù), p 為耦合階次.

    根據(jù)邊界條件:

    其中, τrr是結(jié)構(gòu)中的法向應(yīng)力,和分別為結(jié)構(gòu)和水中的法向位移, τrφ是結(jié)構(gòu)中的切向應(yīng)力.基于微擾理論將(6)式按照ε 的一階泰勒級數(shù)展開, 則有

    由(7)式, 得

    根據(jù)克萊姆法則得到:

    無限長規(guī)則波紋圓柱遠場反向散射形態(tài)函數(shù)[13]表示為

    將(6)式在 x0附近按照ε 的一階展開, 具體推導(dǎo)過程見附錄A, 經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)化簡得

    其中

    則微弱形變規(guī)則波紋圓柱特征值偏移量為

    對應(yīng)的微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移量可表示為

    無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振頻率近似為

    定義微弱形變規(guī)則波紋圓柱歸一化波紋微擾系數(shù)ξ = ε/a, 利用(10)式計算半徑a = 0.05 m材料為PMMA 的無限長光滑圓柱和波紋參數(shù)m = 6, ξ =—3%的無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱反向散射形態(tài)函數(shù)幅頻特性, 所用材料參數(shù)見表1.計算頻率范圍為1—18 kHz, 頻率間隔為5 Hz, 所對應(yīng)無因次頻率ka 的范圍為0.20—4.19, ka 較小, 文中所研究頻段為低頻.

    表1 計算所用材料參數(shù)Table 1.Material parameters used in the calculations.

    圖2(a)對比了無限長光滑圓柱(黑色實線)和微弱形變規(guī)則波紋圓柱(紅色點劃線)反向散射形態(tài)函數(shù)幅頻特性, 研究發(fā)現(xiàn)邊界微弱變形使得PMMA 圓柱共振頻率發(fā)生了偏移.圖2(b)是圖2(a)藍色虛線框中共振峰的局部放大圖, 無限長光滑圓柱對應(yīng)的共振峰頻率f0= 6745 Hz, 微弱形變規(guī)則波紋圓柱的共振峰頻率f1= 6845 Hz 與利用(16)式計算的微弱形規(guī)則波紋圓柱共振頻率f2= 6846.2 Hz基本一致.因此, 可以用(16)式近似估計無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱的共振頻率.

    2.2 微弱形變圓柱低頻共振機理

    圖2 基于微擾法無限長規(guī)則波紋圓柱形態(tài)函數(shù)幅頻特性 (a)反向散射; (b)局部放大Fig.2.Form function of the infinite regular?corrugated cy?linder based on the perturbation method: (a) Backscatter?ing; (b) local enlargement.

    圖3 PMMA 圓 柱 中Rayleigh 波相速度頻散曲線(黑色線), 曲線 2 πaf0/M (藍色點劃線)和曲線 S f/M (紅色虛線)Fig.3.Dispersion curve of subsonic Rayleigh waves (black line), curve 2 πaf0/M (blue dashed?dotted line) and curve Sf/M(red dotted line).

    根據(jù)(11)式計算得到無限長PMMA 圓柱Rayleigh 波相速度頻散曲線, 如圖3 所示.從圖3可以看出, Rayleigh 波相速度(黑色實線)隨著頻率的增大逐漸趨于常數(shù) cR≈1060 m/s, 小于水中聲速, 為亞音速波.文獻[8,17]利用射線近似理論詳細描述了PMMA 球體中亞音速Rayleigh 波對低頻反向散射增強的貢獻及傳播路徑.對于平面波垂直入射無限長PMMA 圓柱, Rayleigh 波沿圓柱表面周向傳播, 如圖4(a)所示.亞音速Rayleigh波在臨界角 θl=π/2 的B1點被激發(fā), 在B1, B2點(箭頭處)耦合沿圓柱表面周向傳播, D1, D2點處耦合從D1點出射進入散射聲場.在焦散線上, Rayleigh波的投影切向速度等于水中的聲速.聲場從漸消到傳播的轉(zhuǎn)變發(fā)生在半徑 b =ac/cR附近.在a

    圖4 亞音速Rayleigh 波傳播路徑 (a)光滑圓柱; (b)規(guī)則波紋圓柱Fig.4.Ray diagram for subsonic Rayleigh waves propagat?ing around: (a) Bare cylinder; (b) regular?corrugated cylinder.

    當圓柱表面具有微弱形變時, Rayleigh 波傳播過程與光滑圓柱相同, 但傳播路徑發(fā)生改變, 如圖4(b)所示.Rayleigh 波沿規(guī)則波紋表面?zhèn)鞑? 由微弱形變表面所確定的焦散半徑發(fā)生變化.Rayleigh 波傳播路徑的改變引起傳播相位變化, 由環(huán)繞波分析理論[18]可知, Rayleigh 波沿規(guī)則波紋圓柱表面周向傳播的圓周數(shù) v =0,1,··· ,在接收點形成程差為S 的等間隔波列, 這些波列的相位差為

    若這些波列的相位差是 2π 的M 倍(M 為整數(shù)), 同相疊加形成共振, 由此得到共振條件

    由(17)式、(18)式得

    當 ε =0 時, cR=2πaf0/M , 無限長PMMA 圓柱中Rayleigh 波頻散曲線與曲線 2 πaf0/M (圖3 中藍色點劃線)的交點所對應(yīng)的橫坐標為無限長PMMA 圓柱的共振頻率為 f0, 見表2.當時,利用(16)式求得的規(guī)則波紋圓柱共振頻率為 fξ,無限長PMMA 圓柱中Rayleigh 波頻散曲線與曲線 S f/M (圖3 中紅色虛線)的交點所對應(yīng)的橫坐標為這里m = 6, ξ =5%.定義由共振條件確定的共振頻率相對誤差為 δf=|f ?f′|/f ×100% ,由圖5 可知對于光滑圓柱和規(guī)則波紋圓柱, 由共振條件確定的共振頻率相對誤差均在0.3%以下.因此, 利用Rayleigh 波共振條件可以近似估計無限長PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率.同時, 這也證明了規(guī)則波紋PMMA 圓柱中Rayleigh 波速度不變, 但Rayleigh 波傳播路徑發(fā)生改變引起傳播相位的變化, 使得PMMA 圓柱低頻共振頻率發(fā)生偏移, 從而實現(xiàn)了對PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的調(diào)控.

    表2 無限長PMMA 圓柱和規(guī)則波紋圓柱共振頻率Table 2.Resonance frequency of PMMA bare and corrugated cylinder.

    圖5 不同方法獲取共振頻率誤差Fig.5.The relative error of resonance frequencies obtained by different methods.

    3 波紋參數(shù)對低頻共振頻率的影響

    以上研究表明, 邊界微弱形變可以使得PMMA圓柱反向散射低頻共振頻率發(fā)生偏移.由(16)式很直觀地看出無限長規(guī)則波紋圓柱反向散射低頻共振頻率與波紋微擾系數(shù)、波紋周期有關(guān), 基于微擾法分析邊界變形結(jié)構(gòu)參數(shù)如波紋微擾系數(shù)、波紋周期對無限長PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的影響.圖6(a)為規(guī)則波紋圓柱反向散射波紋微擾系數(shù)?頻率譜, 顏色表示形態(tài)函數(shù)幅值, 橫軸是頻率, 單位為kHz, 縱軸是歸一化波紋微擾系數(shù)ξ 范圍—10%—10%, 間隔1%.圖中黑色虛線為根據(jù)(16)式獲取的各個共振峰頻率隨波紋微擾系數(shù)變化曲線, 當歸一化波紋微擾系數(shù)ξ > 0 時, 波紋在 [ a,a+ε] 區(qū)域內(nèi)起伏, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的增大向低頻偏移, 且頻率偏移量隨著ξ 的增大而增大; 當歸一化波紋微擾系數(shù)ξ < 0時, 波紋在 [ a+ε,a] 區(qū)域內(nèi)起伏, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的減小向高頻偏移, 且頻率偏移量隨著ξ 的減小而增大.因此可以通過改變波紋微擾系數(shù)對水中PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率進行無源調(diào)控.圖6(b)為規(guī)則波紋圓柱反向散射頻率?波紋周期譜, 顏色表示形態(tài)函數(shù)幅值, 橫軸是頻率, 單位kHz, 縱軸是波紋周期m 范圍2—6, 這里ξ = —3%.圖中黑色虛線為根據(jù)(16)式獲取的共振峰頻率隨波紋周期變化曲線, 可見當波紋周期比較小時, 波紋周期對無限長規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率偏移影響較小.不同波紋周期所對應(yīng)相位變化量為?Φm=?φ(f0,ξ,m)??φ(f0,ξ,1), 圖7 給出共振頻率f0= 6419 Hz, ξ =—3%, m 取值0—20 所對應(yīng)的相位變化量 ? Φm, 可見當m < 10 時, m 變化引起的相位變化較小, 不足以對共振頻率偏移產(chǎn)生重要作用.

    圖6 (a)頻率?波紋微擾系數(shù)譜; (b)頻率?波紋周期譜Fig.6.(a) Frequency?height spectra; (b) frequency?period spectra.

    圖7 不同波紋周期對應(yīng)相位變化量Fig.7.Phase varying with corrugated period.

    4 實 驗

    4.1 實驗布置

    針對PMMA 規(guī)則波紋圓柱開展聲散射特性水池實驗, 此次實驗是在中國科學(xué)院聲學(xué)研究所北海站消聲水池完成.3 個實驗?zāi)P?一個光滑圓柱,兩個規(guī)則波紋圓柱, 波紋周期m = 6, 歸一化波紋微擾系數(shù)分別為ξ = —3%和ξ = —10%)均為亞克力材料, 密度ρ = 1150 kg/m3, 半徑a = 0.05 m,長度L = 0.5 m.為了方便吊放, 模型兩端各打4 個孔, 實驗?zāi)P痛怪敝糜谒刂欣@中軸線轉(zhuǎn)動.發(fā)射換能器采用剛性連接吊放位置距離目標3.65 m, 水聽器型號為B&K8103, 吊放位置距離目標2.11 m.發(fā)射換能器、水聽器和目標三者處于同一深度, 距離水面3.87 m, 實驗?zāi)P图熬唧w布放如圖8 和圖9 所示.為排除市電干擾, 測量過程中所有設(shè)備全程處于UPS 直流供電狀態(tài).

    圖8 實驗?zāi)P虵ig.8.Experimental objects.

    圖9 實驗布放Fig.9.Diagram of experimental system setup.

    4.2 實驗數(shù)據(jù)分析

    發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號, 頻率為5—15 kHz,脈寬0.8 ms, 發(fā)射周期為500 ms.將水聽器接收到的時域信號進行寬帶信號處理[17], 截取直達波(即發(fā)射陣直接到達水聽器的信號)時域信號 pi(t) 和回波時域信號 ps(t) 進行傅里葉變換得到其頻譜Pi(f) 和 Ps(f) , 再將回波信號頻譜除以直達波信號頻譜并對距離進行修正獲得3 個實驗?zāi)P头聪蛏⑸湫螒B(tài)函數(shù)幅頻特性曲線, 如圖10 所示.實驗中在所研究頻段明顯觀察到圓柱反向散射形態(tài)函數(shù)3 個共振峰(黑色線), 微弱形變規(guī)則波紋圓柱反向散射共振峰明顯的向高頻偏移, 且ξ = —10%的變形圓柱(藍色虛線)共振峰頻率偏移量大于ξ =—3%的變形圓柱(紅色點劃線)共振峰偏移量, 與第3 節(jié)理論分析結(jié)果一致.

    從圖10 中3 個實驗?zāi)P偷姆聪蛏⑸湫螒B(tài)函數(shù)中提取共振峰頻率, 光滑圓柱共振峰頻率記為f0,規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率表示為利用(16)式獲取的共振峰頻率為 fξ, 詳細數(shù)值見表3.這里定義實驗獲取的微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率相對誤差為

    圖10 光滑圓柱和規(guī)則波紋表面圓柱反向散射形態(tài)函數(shù)實驗結(jié)果Fig.10.Backscattering form function of regular?corrugated cylinders in the experiment.

    表3 實驗?zāi)P凸舱穹孱l率Table 3.Resonance frequencies of experimental objects.

    為了更為直觀地觀察各個共振頻率, 以圖11(a),(b)柱狀圖形式呈現(xiàn), 分別對應(yīng)歸一化波紋微擾系數(shù)ξ = —3%和ξ = —10%規(guī)則波紋的共振頻率.實驗獲取微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率與近似(16)式所估算的結(jié)果吻合較好, 相對誤差均在5%以內(nèi)(見圖11(c)).因此, 可以用(16)式快速估計微弱形變規(guī)則波紋圓柱的共振頻率, 從而實現(xiàn)對PMMA 圓柱反向散射低頻共振頻率的調(diào)控.

    圖12 為實驗獲取的微弱形變規(guī)則波紋圓柱的頻率?角度譜, 橫軸表示入射角度, 縱軸表示頻率,單位為kHz, 顏色表示形態(tài)函數(shù)幅值, 黑色虛線表示共振峰頻率.從圖12 可以看出: 微弱形變規(guī)則波紋圓柱低頻共振頻率在各個角度都發(fā)生了偏移,且在各個方位角偏移量基本相同.主要的原因是歸一化微擾系數(shù)ξ = —3%和ξ = —10%所對應(yīng)的微擾系數(shù)分別為ε = 0.0015 m 和ε = 0.005 m, 在所研究頻段內(nèi)Rayleigh 波波長λ > 0.07 m (所對應(yīng)頻率為f = 15 kHz), 此時Rayleigh 波波長遠大于波紋微擾系數(shù), 對散射起主要作用的仍然是低頻Rayleigh 波共振, 波紋多鏡面反射的影響尚未清晰顯示出來[19], 因此微弱形變規(guī)則波紋PMMA 圓柱低頻共振頻率偏移量與入射方向無關(guān).

    圖11 實驗和(16)式獲取得的共振頻率對比 (a) ξ = —3%; (b) ξ = —10%; (c)相對誤差Fig.11.Resonance frequencies obtained by experiment and Eq.(16): (a) ξ = —3%; (b) ξ = —10%; (c) relative error.

    圖12 規(guī)則波紋圓柱頻率?角度譜 (a) ξ = 0; (b) ξ = —3%; (c) ξ = —10%Fig.12.Frequency?angle spectra: (a) ξ = 0; (b) ξ = —3%; (c) ξ = —10%.

    5 結(jié) 論

    本文提出了一種微弱形變的規(guī)則波紋表面結(jié)構(gòu), 可實現(xiàn)PMMA 圓柱體反向散射低頻共振頻率的無源調(diào)控.利用微擾法推導(dǎo)了無限長微弱形變規(guī)則波紋圓柱共振頻率的近似解, 研究發(fā)現(xiàn)由于邊界微弱形變Rayleigh 波傳播路徑發(fā)生改變, 沿著規(guī)則波紋表面?zhèn)鞑? 傳播路徑的改變引起傳播相位的變化, 從而導(dǎo)致共振峰頻率發(fā)生偏移.討論了波紋微擾系數(shù)、周期對規(guī)則波紋圓柱共振頻率偏移的影響規(guī)律: 當歸一化波紋微擾系數(shù)ξ > 0 時, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的增大向低頻偏移, 當ξ < 0 時, 規(guī)則波紋圓柱反向散射共振頻率隨著ξ 的減小而向高頻偏移, 共振峰頻率偏移量隨著波紋微擾系數(shù)絕對值的增大而增大; 當波紋周期m < 10 時, 波紋周期對共振頻率偏移影響較小.最后開展了規(guī)則波紋圓柱體聲散射特性水池實驗,獲取了不同波紋微擾系數(shù)規(guī)則波紋圓柱體的反向散射共振頻率, 明顯觀察到了規(guī)則波紋圓柱共振峰頻率偏移現(xiàn)象, 與理論預(yù)報結(jié)果吻合較好.PMMA圓柱低頻亞音速Rayleigh 波隧穿共振引起反向散射幅度增強和規(guī)則波紋結(jié)構(gòu)引起低頻共振頻率偏移的特征, 使得規(guī)則波紋PMMA 圓柱在標準散射體設(shè)計、利用“聲條形碼”進行身份識別方面具有潛在的應(yīng)用價值.

    此外, 文中基于微擾法推導(dǎo)的用于計算無限長規(guī)則波紋圓柱聲散射的解, 只適用于微弱形變, 即波紋微擾系數(shù)和波紋周期較小的情況, 此時忽略了由于法向變化引起的微擾, 只考慮了函數(shù)值引起的微擾, 是一種近似解.若要對本問題或相關(guān)問題進行深入探討, 獲取更為精確的解, 可參考文獻[20]中規(guī)則形腔中簡正模式的微擾近似方法.

    附錄A

    其中, d11p, d12p, d13p, d21p, d22p, d23p, d32p, d33p和分別等于d11, d12, d13, d21, d22, d23, d32, d33和中將階次n 替換成p 的值.分別代表貝塞爾函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).

    將(A1)式中x 在x0處按照ε 的一階展開得

    將(A2)式和(A3)式代入(A4)式得到(13)式.

    猜你喜歡
    微擾共振頻率圓柱體
    多激勵下結(jié)構(gòu)反共振頻率的計算和配置
    關(guān)于氦原子基態(tài)能量一級微擾的研究
    廣西物理(2022年3期)2022-03-31 02:35:04
    關(guān)于三能級系統(tǒng)微擾矩陣元對能量修正的影響
    微擾理論的可視化—以一維線性諧振子為例
    Multi-functional roles of TaSSI2 involved in Fusarium head blight and powdery mildew resistance and drought tolerance
    找出圓柱體
    娃娃畫報(2016年6期)2016-07-29 19:31:34
    圓柱體上的最短路徑
    三層軟磁鎳超晶格薄膜的共振頻率*
    兩自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)的二階近似守恒量*
    懸臂梁共振頻率與其形狀的關(guān)系探討
    機械工程師(2014年6期)2014-11-28 08:16:52
    免费人妻精品一区二区三区视频| 国产在线一区二区三区精| 999精品在线视频| videos熟女内射| 1024香蕉在线观看| 日韩欧美免费精品| 无人区码免费观看不卡 | 精品乱码久久久久久99久播| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 午夜精品久久久久久毛片777| 电影成人av| 丁香六月天网| 亚洲全国av大片| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 中文字幕av电影在线播放| 亚洲成人手机| 99精品久久久久人妻精品| h视频一区二区三区| 丝袜美足系列| 欧美在线黄色| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产成人精品无人区| 脱女人内裤的视频| 岛国在线观看网站| 91国产中文字幕| 少妇被粗大的猛进出69影院| 欧美 日韩 精品 国产| svipshipincom国产片| 精品福利永久在线观看| 亚洲精品中文字幕在线视频| 色视频在线一区二区三区| 免费人妻精品一区二区三区视频| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 在线观看一区二区三区激情| 在线 av 中文字幕| 欧美中文综合在线视频| 日本wwww免费看| 日本av免费视频播放| 在线天堂中文资源库| 午夜免费成人在线视频| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 久久99热这里只频精品6学生| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 精品人妻在线不人妻| 中文字幕制服av| 在线 av 中文字幕| 黑人操中国人逼视频| 在线播放国产精品三级| av片东京热男人的天堂| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲人成电影观看| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 91成人精品电影| 精品国产亚洲在线| 国产亚洲精品一区二区www | 久久久国产一区二区| 1024视频免费在线观看| a级片在线免费高清观看视频| 久久久精品区二区三区| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 亚洲一卡2卡3卡4卡5卡精品中文| 精品人妻在线不人妻| 黄色a级毛片大全视频| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 91精品三级在线观看| 男女无遮挡免费网站观看| 动漫黄色视频在线观看| 九色亚洲精品在线播放| 激情在线观看视频在线高清 | 久久久久久久精品吃奶| 久久久久精品人妻al黑| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 12—13女人毛片做爰片一| 老司机深夜福利视频在线观看| 中文字幕av电影在线播放| 91老司机精品| 国产高清国产精品国产三级| www.熟女人妻精品国产| 色尼玛亚洲综合影院| 免费不卡黄色视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 亚洲国产欧美一区二区综合| 久久精品国产亚洲av高清一级| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 精品视频人人做人人爽| 欧美黑人精品巨大| 午夜福利欧美成人| 精品一区二区三卡| 一个人免费看片子| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 一级a爱视频在线免费观看| 精品久久久精品久久久| 成人精品一区二区免费| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 操美女的视频在线观看| 三级毛片av免费| 亚洲免费av在线视频| 日韩成人在线观看一区二区三区| 老司机亚洲免费影院| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 国产一区二区 视频在线| 国精品久久久久久国模美| 最近最新中文字幕大全电影3 | 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 色老头精品视频在线观看| 国产精品99久久99久久久不卡| 国产1区2区3区精品| 亚洲 欧美一区二区三区| 国产极品粉嫩免费观看在线| 人成视频在线观看免费观看| 亚洲精华国产精华精| 交换朋友夫妻互换小说| 交换朋友夫妻互换小说| av超薄肉色丝袜交足视频| 老司机影院毛片| 一区二区日韩欧美中文字幕| 午夜久久久在线观看| 99热网站在线观看| 一区在线观看完整版| 久久久久久久久久久久大奶| 亚洲av欧美aⅴ国产| 大陆偷拍与自拍| 久久中文字幕人妻熟女| 露出奶头的视频| 在线观看一区二区三区激情| 好男人电影高清在线观看| 老熟妇仑乱视频hdxx| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 黑人猛操日本美女一级片| 亚洲精品乱久久久久久| 天天操日日干夜夜撸| 日本a在线网址| 18禁美女被吸乳视频| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 国产成人欧美| 少妇 在线观看| 在线观看舔阴道视频| 午夜成年电影在线免费观看| 成年女人毛片免费观看观看9 | 97人妻天天添夜夜摸| 一区二区三区乱码不卡18| 午夜日韩欧美国产| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 亚洲精品国产色婷婷电影| 亚洲avbb在线观看| av又黄又爽大尺度在线免费看| 老司机午夜十八禁免费视频| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 大型av网站在线播放| 亚洲av日韩在线播放| 性高湖久久久久久久久免费观看| 欧美日本中文国产一区发布| 国产xxxxx性猛交| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 999久久久精品免费观看国产| 女性被躁到高潮视频| 一本大道久久a久久精品| 99久久99久久久精品蜜桃| 99精品在免费线老司机午夜| 9色porny在线观看| 亚洲国产中文字幕在线视频| 亚洲精品国产色婷婷电影| 久久性视频一级片| 亚洲中文av在线| 男女床上黄色一级片免费看| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| a级毛片黄视频| 女性被躁到高潮视频| 精品卡一卡二卡四卡免费| 黄色毛片三级朝国网站| 国产一区二区在线观看av| 无人区码免费观看不卡 | 真人做人爱边吃奶动态| 亚洲成人手机| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 国产亚洲av高清不卡| 欧美性长视频在线观看| 亚洲精品久久午夜乱码| 日日爽夜夜爽网站| 成人精品一区二区免费| 香蕉久久夜色| netflix在线观看网站| 大码成人一级视频| e午夜精品久久久久久久| 久久久久视频综合| 欧美一级毛片孕妇| 在线av久久热| 婷婷丁香在线五月| 在线观看免费午夜福利视频| 久久精品成人免费网站| 嫁个100分男人电影在线观看| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 这个男人来自地球电影免费观看| 亚洲一区二区三区欧美精品| 一区二区三区精品91| 一区在线观看完整版| 国产精品免费大片| 啦啦啦在线免费观看视频4| 丝袜美足系列| 国产成+人综合+亚洲专区| 国产精品电影一区二区三区 | 高清黄色对白视频在线免费看| 岛国毛片在线播放| 亚洲成人国产一区在线观看| 在线天堂中文资源库| 一个人免费在线观看的高清视频| 久久人妻熟女aⅴ| 中文字幕人妻丝袜制服| 夜夜爽天天搞| 日韩大码丰满熟妇| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| bbb黄色大片| 欧美成人免费av一区二区三区 | 嫩草影视91久久| 成人永久免费在线观看视频 | 国产在线观看jvid| 丁香欧美五月| 天天影视国产精品| 午夜福利,免费看| 女性生殖器流出的白浆| 久久中文字幕人妻熟女| av网站免费在线观看视频| 最新的欧美精品一区二区| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 久久香蕉激情| 中文字幕色久视频| 正在播放国产对白刺激| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| netflix在线观看网站| 不卡av一区二区三区| 亚洲人成77777在线视频| 在线观看免费视频网站a站| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 99国产精品99久久久久| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 亚洲专区字幕在线| 老司机亚洲免费影院| 久热爱精品视频在线9| 亚洲精品在线美女| 一级黄色大片毛片| 男人舔女人的私密视频| 亚洲国产成人一精品久久久| 免费看a级黄色片| 午夜福利乱码中文字幕| 少妇被粗大的猛进出69影院| 热99久久久久精品小说推荐| 老汉色av国产亚洲站长工具| 大陆偷拍与自拍| 亚洲人成电影观看| 久久久国产成人免费| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 最新美女视频免费是黄的| 热re99久久国产66热| 欧美久久黑人一区二区| 亚洲精品av麻豆狂野| 黄片播放在线免费| 99久久99久久久精品蜜桃| 水蜜桃什么品种好| 婷婷成人精品国产| 亚洲欧美色中文字幕在线| 欧美变态另类bdsm刘玥| 黄色视频不卡| 久久久久久久精品吃奶| tocl精华| 亚洲成a人片在线一区二区| 欧美精品av麻豆av| 亚洲av成人一区二区三| 欧美激情久久久久久爽电影 | 国产极品粉嫩免费观看在线| 国产成人av教育| 国产精品免费大片| 国产1区2区3区精品| 成年版毛片免费区| 一边摸一边做爽爽视频免费| 飞空精品影院首页| 精品国产一区二区三区四区第35| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 搡老乐熟女国产| 久久热在线av| 一本综合久久免费| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 精品亚洲成a人片在线观看| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 一夜夜www| 国产黄色免费在线视频| 久久精品国产99精品国产亚洲性色 | 精品国内亚洲2022精品成人 | 麻豆国产av国片精品| 欧美黄色淫秽网站| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 啦啦啦在线免费观看视频4| 免费日韩欧美在线观看| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 久热这里只有精品99| 极品教师在线免费播放| 久久九九热精品免费| 大片电影免费在线观看免费| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 欧美成狂野欧美在线观看| 一本色道久久久久久精品综合| 国产精品免费大片| 真人做人爱边吃奶动态| 99九九在线精品视频| 久久久久久免费高清国产稀缺| 亚洲第一av免费看| av欧美777| 99国产综合亚洲精品| 久久精品成人免费网站| 首页视频小说图片口味搜索| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 免费日韩欧美在线观看| 国产精品99久久99久久久不卡| 纯流量卡能插随身wifi吗| 热99久久久久精品小说推荐| 捣出白浆h1v1| 黄频高清免费视频| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 亚洲精品乱久久久久久| 黄色a级毛片大全视频| 黑人操中国人逼视频| 国产精品一区二区精品视频观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 午夜福利乱码中文字幕| 美女午夜性视频免费| 啦啦啦 在线观看视频| 午夜福利在线观看吧| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| 欧美一级毛片孕妇| 中文字幕av电影在线播放| 在线观看免费视频日本深夜| 精品亚洲成a人片在线观看| 久久亚洲精品不卡| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| a级片在线免费高清观看视频| 国产伦人伦偷精品视频| 在线观看免费日韩欧美大片| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 桃红色精品国产亚洲av| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| e午夜精品久久久久久久| 高清在线国产一区| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看 | 可以免费在线观看a视频的电影网站| 久久ye,这里只有精品| 国产老妇伦熟女老妇高清| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 男女免费视频国产| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 桃花免费在线播放| 色视频在线一区二区三区| 国产精品久久久久成人av| 国产精品99久久99久久久不卡| 精品亚洲成a人片在线观看| 亚洲精品乱久久久久久| 黄片播放在线免费| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 老熟妇仑乱视频hdxx| 亚洲,欧美精品.| 免费观看人在逋| 高清av免费在线| 中文字幕高清在线视频| 成人国语在线视频| 99国产精品99久久久久| 亚洲中文字幕日韩| 国产在线一区二区三区精| 欧美日本中文国产一区发布| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 五月开心婷婷网| 欧美激情极品国产一区二区三区| 久久精品亚洲av国产电影网| 成人18禁在线播放| 欧美激情久久久久久爽电影 | 90打野战视频偷拍视频| 十八禁人妻一区二区| 精品午夜福利视频在线观看一区 | 一级毛片电影观看| 手机成人av网站| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 90打野战视频偷拍视频| av福利片在线| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 亚洲专区国产一区二区| av在线播放免费不卡| 午夜福利免费观看在线| 香蕉国产在线看| 国产片内射在线| 亚洲专区字幕在线| 成人国产一区最新在线观看| 亚洲熟妇熟女久久| 国产黄频视频在线观看| 狂野欧美激情性xxxx| 欧美乱码精品一区二区三区| 好男人电影高清在线观看| 亚洲久久久国产精品| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 大片免费播放器 马上看| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 午夜福利在线免费观看网站| 99热国产这里只有精品6| 高潮久久久久久久久久久不卡| 美女视频免费永久观看网站| 99re6热这里在线精品视频| 在线观看免费日韩欧美大片| 两个人看的免费小视频| 另类精品久久| 一本一本久久a久久精品综合妖精| a级毛片在线看网站| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 少妇 在线观看| 亚洲,欧美精品.| 免费看十八禁软件| 欧美中文综合在线视频| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 国产精品久久久av美女十八| 黄色视频,在线免费观看| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 美国免费a级毛片| 好男人电影高清在线观看| 性高湖久久久久久久久免费观看| 三级毛片av免费| 亚洲av片天天在线观看| 涩涩av久久男人的天堂| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 免费观看a级毛片全部| 欧美成人免费av一区二区三区 | 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看 | 国产成人影院久久av| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 黄色怎么调成土黄色| 亚洲中文日韩欧美视频| 国产成人系列免费观看| 18在线观看网站| 在线观看舔阴道视频| 国产免费av片在线观看野外av| 日韩有码中文字幕| a级毛片黄视频| 大香蕉久久网| 成人三级做爰电影| 国产视频一区二区在线看| 老司机影院毛片| 欧美中文综合在线视频| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 亚洲av美国av| 欧美精品一区二区免费开放| 久久人妻av系列| 岛国在线观看网站| 国产高清激情床上av| 黄片大片在线免费观看| 亚洲 欧美一区二区三区| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 色94色欧美一区二区| 日韩大片免费观看网站| 激情在线观看视频在线高清 | 男女午夜视频在线观看| 交换朋友夫妻互换小说| 国产av国产精品国产| 考比视频在线观看| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 另类精品久久| 久久亚洲真实| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| kizo精华| 亚洲人成电影观看| 免费在线观看日本一区| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 中文字幕人妻丝袜制服| 久久中文看片网| 国产麻豆69| 国产精品国产高清国产av | 精品一区二区三区av网在线观看 | 巨乳人妻的诱惑在线观看| 电影成人av| 一级毛片电影观看| 午夜精品国产一区二区电影| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 国产区一区二久久| 亚洲专区国产一区二区| 国产一区二区激情短视频| 黑人猛操日本美女一级片| 午夜精品国产一区二区电影| 亚洲av欧美aⅴ国产| 啦啦啦在线免费观看视频4| 人妻 亚洲 视频| 国产精品欧美亚洲77777| 18禁观看日本| 久久久久国内视频| 在线观看舔阴道视频| kizo精华| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 亚洲色图av天堂| 黄色视频不卡| 一级片'在线观看视频| 一区二区三区激情视频| 久久久国产精品麻豆| 亚洲精品国产一区二区精华液| 亚洲全国av大片| av有码第一页| 久久久国产一区二区| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 国产精品一区二区在线观看99| 欧美一级毛片孕妇| 高清欧美精品videossex| 国产不卡av网站在线观看| aaaaa片日本免费| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 1024香蕉在线观看| 国产国语露脸激情在线看| 免费日韩欧美在线观看| 久久久水蜜桃国产精品网| 老司机午夜十八禁免费视频| 成年版毛片免费区| 日本黄色日本黄色录像| 久久久国产成人免费| 午夜福利影视在线免费观看| 精品国产一区二区三区四区第35| 青草久久国产| 亚洲欧美一区二区三区久久| 日韩欧美一区二区三区在线观看 | 成人精品一区二区免费| 80岁老熟妇乱子伦牲交| tocl精华| 亚洲成人手机| 91字幕亚洲| 国产免费福利视频在线观看| 91老司机精品| 国产精品影院久久| 久久人妻熟女aⅴ| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 757午夜福利合集在线观看| 亚洲第一青青草原| 人人妻人人澡人人看| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 亚洲精品美女久久av网站| e午夜精品久久久久久久| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 亚洲精品粉嫩美女一区| 一本色道久久久久久精品综合| 亚洲一区中文字幕在线| 十八禁网站网址无遮挡| 成人三级做爰电影| 丝袜在线中文字幕| 久久99一区二区三区| 脱女人内裤的视频| 免费黄频网站在线观看国产| 国产成人影院久久av| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 在线观看免费视频日本深夜| 久久精品人人爽人人爽视色| 一区在线观看完整版| 91精品国产国语对白视频| 国产淫语在线视频| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 嫁个100分男人电影在线观看| 欧美激情 高清一区二区三区| 成人国语在线视频| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 高清黄色对白视频在线免费看| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 欧美乱妇无乱码| 欧美激情久久久久久爽电影 | 国产97色在线日韩免费| 热re99久久精品国产66热6| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 国产精品一区二区免费欧美| 色在线成人网| 精品国产乱码久久久久久小说| 中文亚洲av片在线观看爽 | 九色亚洲精品在线播放| 国产三级黄色录像| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 亚洲美女黄片视频| 两性夫妻黄色片| 97人妻天天添夜夜摸| 国产有黄有色有爽视频| 亚洲精品国产一区二区精华液| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 国产精品.久久久| 在线播放国产精品三级| 精品亚洲成国产av| 欧美乱妇无乱码| 成年人午夜在线观看视频| 久久精品人人爽人人爽视色| 91大片在线观看| 一区福利在线观看| 最新在线观看一区二区三区| 国产日韩欧美视频二区| 一夜夜www| 国产免费视频播放在线视频| 在线永久观看黄色视频| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 一二三四在线观看免费中文在| 90打野战视频偷拍视频| 高潮久久久久久久久久久不卡| 国产av一区二区精品久久| 欧美黄色淫秽网站| 少妇粗大呻吟视频| 这个男人来自地球电影免费观看| 又黄又粗又硬又大视频| 精品少妇黑人巨大在线播放| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 亚洲国产av影院在线观看| 国产成人欧美| 又大又爽又粗| 色婷婷久久久亚洲欧美| 一个人免费在线观看的高清视频| 黄色a级毛片大全视频| 1024香蕉在线观看| 大片电影免费在线观看免费|