王莎
摘 要:筆者通過仿射變換,將橢圓仿射為圓,再研究圓中的情形得到了更為一般和簡潔的結(jié)論,而根據(jù)仿射變換的性質(zhì),這些結(jié)論在橢圓之中,同樣是成立的,這就具有了一般性的意義。本文闡述仿射變換在解決橢圓問題中的靈活性、巧妙性。
關(guān)鍵詞:橢圓;圓;仿射變換
一、什么是仿射變換
仿射變換是幾何學(xué)中的一個重要變換,圖形在變換中保持許多不變性質(zhì)和不變量,這些不變性質(zhì)與不變量為人們解決復(fù)雜幾何問題提供了理論依據(jù)。根據(jù)仿射變換的性質(zhì),可以把特殊圖形的重要結(jié)論直接推廣到一般圖形,達(dá)到復(fù)雜問題的簡單化求解。
比如橢圓與圓是仿射對應(yīng)圖形,在仿射意義下二者等價。它保持交點個數(shù)不變,線段比不變,面積、斜率的線性性等。在解決關(guān)于橢圓的命題時,可以將此命題放到對應(yīng)圓中去解決,只要命題在圓中成立,那么在橢圓中也必定成立。在高中階段,圓錐曲線問題是普遍困擾學(xué)生的一部分內(nèi)容,掌握仿射變換會使一部分題目變得明朗許多。
二、仿射變換基本性質(zhì)——“五變四不變”
設(shè)橢圓的直角坐標(biāo)方程為,作仿射變換,從而得到圓的方程。
對于只在y軸上進(jìn)行伸縮變換的如上仿射變換T來講,有如下性質(zhì):
①橢圓方程變?yōu)閳A的方程;
②點的坐標(biāo)變?yōu)?
③直線的斜率k變?yōu)?
④平面圖形面積S變?yōu)?
⑤弦長變?yōu)?
同時,仿射變換前后有下列對應(yīng)關(guān)系:①點位置不變(橢圓C上的點變換后都在C'上);②平行關(guān)系保持不變;③共線段比例關(guān)系保持不變;④點分線段的比值保持不變。
三、仿射變換的妙用
圓有很多重要的的幾何性質(zhì),很多時候,我們可以通過仿射變換將橢圓變成圓,再利用圓冪定理、相交弦定理、切割線定理等結(jié)論,就可以很好地處理與斜率、面積、弦長有關(guān)的一類問題。
例1:已知橢圓的離心率,一個長軸頂點在直線y=x+2上,若直線l與橢圓交于P、Q兩點,O為坐標(biāo)原點,直線OP的斜率為k1,直線OQ的斜率為k2.
①求該橢圓的方程;
②若,試問△OPQ的面積是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,請說明理由.
解析:第一問答案為,則a=2,b=1.
如圖,將橢圓仿射成圓,
,可得,
則,轉(zhuǎn)化回橢圓,即.
例2:(2018浙江,17)已知點P(0,1),
橢圓上兩點A,B滿足,則當(dāng)m=? ? ? ? ?時,點B的橫坐標(biāo)的絕對值最大.
解析:令則橢圓仿射為圓,點A、B變?yōu)?。點P坐標(biāo)通過仿射變?yōu)镻(0,2),求點B橫坐標(biāo)的絕對值的最大值等價于求仿射變換后的橫坐標(biāo)的最大值。
如圖,作,根據(jù)垂徑定理可得點D為弦的中點,可知由,又結(jié)合,即(點分線段的比值不變)可得,過點作y軸的垂線交于點E,由,得,
當(dāng)時,取到最大值,此時,則根據(jù)OP=2,得:,再由勾股定理得.
例3:(2016北京理,19)已知橢圓的離心率,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面積為1.
①求橢圓C的方程;
②設(shè)P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:為定值.
解析:第一問答案為,則a=2,b=1.
如圖,將橢圓仿射為圓,
設(shè)點A,B,P,M,N變換后對應(yīng)的點分別為.
如圖連接,其中為等腰直角三角形,
故,
根據(jù)同弧所對圓周角等于圓心角的一半可知.
則由,
故,故,
即,
而,,
故.
縱觀近幾年高考,和橢圓相關(guān)的定點、定值、最值問題一直是高考的熱點和重點,這類題目通常以壓軸題的形式出現(xiàn), 并且由于計算量很大而具有很強(qiáng)的區(qū)分度。利用仿射變換可將橢圓轉(zhuǎn)換為圓,而圓具有橢圓不具備的許多特殊性質(zhì),并且和圓有關(guān)的問題還可以借助初中平面幾何知識解答,從而可以回避繁雜的計算,降低解題難度。
四、總結(jié)歸納
變換思想是一類主要的數(shù)學(xué)思想。應(yīng)用變換的方法去解題可使問題得到簡化,從而在解題中取得較好的效果。仿射變換就是幾何變換中的一類重要變換。 這種方法雖然不能直接進(jìn)入中學(xué)課堂,但它能幫助高中教師思考問題,了解試題背景,挖掘試題本質(zhì),從而居高臨下地教學(xué)。
從上述討論中可以得出應(yīng)用仿射變換解題的步驟可概括如下: ①判斷求解的問題是否能利用仿射不變性質(zhì),仿射不變量求解,一般涉及點共直線、直線共點、線段比、面積比等一類問題皆可應(yīng)用仿射變換解題;②選擇合適的仿射變換,找出所給圖形的合適的仿射圖形;③在仿射圖形中求證,寫出具體的仿射變換及解題過程。
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