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    關(guān)于柯西-施瓦茨不等式的證明與推廣

    2021-03-11 00:08:44江明澤
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年18期
    關(guān)鍵詞:不等式微積分

    江明澤

    摘 要:柯西-施瓦茨不等式是一個在數(shù)學(xué)許多方面當(dāng)中都有應(yīng)用的一個重要的不等式。本文主要介紹了幾種關(guān)于柯西-施瓦茨不等式的幾種證明方法和推廣形式。

    關(guān)鍵詞:不等式;微積分;向量空間

    1.介紹

    柯西生于法國巴黎,其在很小的時候就表現(xiàn)出了極高的數(shù)學(xué)天賦,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著很高的建樹和造詣。施瓦茨,與柯西一樣都是法國數(shù)學(xué)家,他主要在分析學(xué)、微分方程、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支有著深厚造詣??挛?施瓦茨不等式就是以他們的名字來命名的。該不等式是由柯西在1821年所提出的,其積分形式是由俄國數(shù)學(xué)家布尼亞克夫斯基在1859年所提出,并且該積分形式的現(xiàn)代證明是在1888年被施瓦茨所提出。故而該不等式又被命名為柯西-布尼亞克夫斯基-施瓦茨不等式??挛?施瓦茨不等式在微積分甚至其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。本文主要介紹了一些關(guān)于柯西-施瓦茨不等式的不同證明方法與推廣形式。

    2.柯西-施瓦茨不等式的證明

    定理1若f(x)、f(x)在[a,b]上可積,則

    證法 1重積分法

    證法 2輔助函數(shù)法

    構(gòu)造輔助函數(shù)如下:

    對兩邊求導(dǎo)有:

    故F'(t)≥0,t∈[a,b],即F(t)是增函數(shù),當(dāng)a<b時,F(xiàn)(b)≥F(a)=0,

    證法 3內(nèi)積法

    引理1 對于向量空間V的任意兩個向量α,β有以下不等式:

    下面利用該引理來證明。

    首先在區(qū)間[a,b]上定義:

    其中f(x),g(x)為[a,b]上的可積函數(shù),接下來要證是向量空間上C[a,b]的一個內(nèi)積。

    (1)任取,有唯一的對應(yīng)

    (2)

    (3)

    (4)

    其中k為任意實數(shù)

    (5)若,則

    所以是連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]上的一個內(nèi)積。

    由得

    故由引理有

    3.柯西-施瓦茨不等式的推廣

    定理2(h?lder不等式)若f(x)、g(x)在[a,b]上可積,且則

    其中

    證明

    引理2(Young不等式) 設(shè)p,q>0,,則當(dāng)1<p<+∞時,有以下不等式成立

    當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。

    下面利用引理2來證明。

    由引理2有

    兩邊在區(qū)間[a,b]取定積分,則有

    當(dāng)時該不等式即為柯西-施瓦茨不等式

    參考文獻(xiàn):

    [1]陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析(上、下)[M].北京:高等教育出版社,2004.

    [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上、下)第四版[M].北京:高等教育出版社, 2010.

    [3]王萼芳 石生明. 高等代數(shù)(第五版)[M].北京:高等教育出版社, 2019.

    [4]聞厚貴.不等式證法[M].北京:北京師范學(xué)院出版社,1987.

    3803500338231

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