一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的“出爐”過(guò)程

張朝光

筆者有幸參加了某一年曲靖市中考數(shù)學(xué)的命題工作?，F(xiàn)就這一年曲靖市中考數(shù)學(xué)卷中的第23題壓軸題的“出爐”之路與各位初中數(shù)學(xué)教師分享，達(dá)到學(xué)習(xí)交流、共同探討的目的。

一、初稿的產(chǎn)生與評(píng)析

根據(jù)這一年云南省中考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明，課程標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)學(xué)）要求，初中數(shù)學(xué)知識(shí)雙向細(xì)目表，命題組對(duì)試卷的第23題即本套數(shù)學(xué)試卷的壓軸題提出了如下要求：一是以二次函數(shù)為背景，結(jié)合三角形、四邊形（圓與二次函數(shù)的結(jié)合上年已考）的有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基本圖形的識(shí)別能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力;二是滲透數(shù)形結(jié)合，代數(shù)、方程分類等數(shù)學(xué)思想和方法;三是數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)避免繁難的計(jì)算，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)思想和方法。

初稿：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式。

（2）D是拋物線的頂點(diǎn)，求四邊形AOCD的面積.

（3）點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在這樣的點(diǎn)M，使點(diǎn)E或F恰好落在對(duì)稱軸上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在;請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：初稿基本滿足了命題組的要求.

第（1）問(wèn)很常見(jiàn)，學(xué)生易上手，利用，可得OA=3，于是A（-3，0），把點(diǎn)（0，3），A（﹣3，0）代入可求得.

第（2）問(wèn)只需求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（-1，4），適當(dāng)添加輔助線（課本七年級(jí)下冊(cè)有此方法）利用圖形面積的和差，大部分學(xué)生都能完成，方法上的要求不高;第（3）問(wèn)難度陡增，且與前面問(wèn)題關(guān)聯(lián)性很小。況且第（3）問(wèn)中，還要討論E點(diǎn)在對(duì)稱軸上和F點(diǎn)在對(duì)稱軸上兩種情況：

情況1：點(diǎn)E在對(duì)稱軸上如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥y軸于G，交對(duì)稱軸于N.

有△MGC≌△ENM.

于是MH=CG

設(shè)M（，）? MH=∣n+1∣，

CG=

所以或

解得.

情況2：點(diǎn)F落在對(duì)稱軸上，如圖3，過(guò)M作MG⊥y軸于G，過(guò)F作FN⊥y軸于N.

有△MGC≌△CNF

于是CG=FN

設(shè)M（，）

所以或

解得：或

把x的值代入中可求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo).

共有7種可能，且有6種情況計(jì)算縱坐標(biāo)時(shí)比較繁。另外從學(xué)生角度考慮，每種情況就有一個(gè)圖形，要畫出的圖形太多。

二、第二稿的形成與評(píng)價(jià)

經(jīng)過(guò)命題對(duì)初稿答案的討論，初稿中第（2）問(wèn)對(duì)于第（1）問(wèn)難度沒(méi)有坡度，屬于考查基本知識(shí)的范疇，需改進(jìn)，且第（2）問(wèn)對(duì)解決第（3）方法上沒(méi)有提供支持和鋪墊，第（2）問(wèn)要重新設(shè)計(jì)，第（3）可能性太多，是否可以限制某些條件，讓結(jié)果情況減少到4種及4種以內(nèi)，于是命題人員在以上意見(jiàn)的基礎(chǔ)上改進(jìn)組成第二稿。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，過(guò)H作直線HN⊥x軸于N，交拋物線于P，求線段PH的最大值.

（3）點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)E恰好落在對(duì)稱軸上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)析：這里求PH的最大值，從圖上直觀看出PH的值是一個(gè)變化的量，學(xué)生會(huì)聯(lián)想到函數(shù)的知識(shí)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，也就是說(shuō)PH的長(zhǎng)能否表示成某個(gè)變量的二次函數(shù)的形式.

設(shè)，H的橫坐標(biāo)也為x，縱坐標(biāo)能否可以用x表示，H是AC上的點(diǎn)，可先求出直線AC的解析式，所以.

于是PH=PN﹣HN=

此二次函數(shù)，開(kāi)口向上，函數(shù)PH有最大值.

當(dāng)時(shí)，

：

第（3）問(wèn)經(jīng)調(diào)整還有4個(gè)點(diǎn)滿足，如圖2情形，滿足條件的M的橫坐標(biāo)是，求縱坐標(biāo)還要把這些值代入中還比較繁。

如當(dāng)

三、第3稿的形成與評(píng)析

通過(guò)命題組討論，第2稿基本上滿足了命題的預(yù)設(shè)要求，三問(wèn)之間層層遞進(jìn)，問(wèn)題之間有聯(lián)系，但第（3）問(wèn)的計(jì)算繁難問(wèn)題與考試要求中的注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，避免繁難計(jì)算相違背，同時(shí)也要考慮學(xué)生考試用時(shí)的問(wèn)題。據(jù)此，命題組提出，可否在考查的數(shù)學(xué)思想、方法不變的前提之下，改變題目的已知數(shù)據(jù)，使計(jì)算上簡(jiǎn)化，答案簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。通過(guò)努力，最終找到了符合要求的數(shù)據(jù)，形成了第3稿。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，過(guò)H作直線HN⊥x的軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，求線段PH的最大值.

（3）點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)E恰好落在對(duì)稱軸上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)解：（1）解析式為（2）求得AC解析式為

設(shè)N（x，0），則H（x，），P（x，）

∴

∵???????????????? ∴PH有最大值

∴PH最大家=

即線段PH的最大值是.

（3）過(guò)點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對(duì)稱軸于點(diǎn)G，則

∴

∵四邊形CMEF是正方形 ∴ ∠EMC=90°

∴∠EMG+∠CMK=90° ∴∠MEG=∠CMK

∴△MKC≌△EGM ∴MG=CK

由拋物線得對(duì)稱軸，設(shè)M（，），則G（-1，），K（0，）

∴

∴

∴

∴或

解得

代入拋物線解析式得

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是M1（-4，0） M2（，）

M3（，） M4（2，0）

從答案看出已避免了繁難的計(jì)算。

四、討論定稿

每個(gè)命題人員自己完成一次解析，在解題過(guò)程中查找題目的不足之處，逐步完善，形成終稿。第3稿第（1）問(wèn)設(shè)置起點(diǎn)低，學(xué)生容易上手，照顧了大部分學(xué)生;第（2）問(wèn)加入了運(yùn)動(dòng)元素，強(qiáng)化了函數(shù)知識(shí)，特別是一次函數(shù)、二次函數(shù)及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，難度適中，此問(wèn)的順利解決為第（3）問(wèn)做好鋪墊。第（3）問(wèn)難度較大，有極大的區(qū)分度，不僅要畫出符合條件的正方形，同時(shí)還要添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，找出線段的相等，還要有用變量表示線段長(zhǎng)度的方法，建立方程而求解，還要考慮M點(diǎn)在不同位置所形成的正方形等，是對(duì)學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的考查，體現(xiàn)了選拔功能。通過(guò)分析討論、命題組形成統(tǒng)一意見(jiàn)，認(rèn)為第3稿符合命題組提出的要求，試題起步慢，易上手，問(wèn)題之間有關(guān)聯(lián)。特別是第（2）問(wèn)表示PH長(zhǎng)的方法為第（3）表示MN，CG的長(zhǎng)提供了思路，達(dá)到了“形散神聚”的效果，另外，第3稿中的兩個(gè)A、B點(diǎn)是特殊點(diǎn)，符合學(xué)生從特殊到一般的思維方法。第3稿的計(jì)算較簡(jiǎn)化，重點(diǎn)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，避免了繁難計(jì)算。另外，此題還有一個(gè)討論空間，以C、M、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，且使E或F落在對(duì)稱軸上，供教師研究。命題組最終形成共識(shí)，就把第3稿確定成為曲靖市這一年中考數(shù)學(xué)的壓軸題。

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