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    情境模式下的數(shù)學(xué)知識串講

    2021-03-11 23:08:10黃王華
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年18期
    關(guān)鍵詞:花圃一元二次方程矩形

    黃王華

    單元整體教學(xué),打破知識結(jié)構(gòu)原有的禁錮。針對廣東中考取消了考試大綱,深度挖掘教材的思想方法,一元二次方程的應(yīng)用是歷年廣東中考的熱點(diǎn)問題,而對于課本習(xí)題中的圍欄問題也是一元二次方程與幾何圖形的結(jié)合綜合性較強(qiáng)的小壓軸題,基于單元整體教學(xué)的方式,本教學(xué)案例特利用情境模式對一元二次方程應(yīng)用問題進(jìn)行一系列的知識串講,讓學(xué)生在整體上把握一元二次方程的應(yīng)用的解題思路,形成整體感觀。同時在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透勞動教育思想,讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)源于生活,更要服務(wù)于生活,逐步從學(xué)數(shù)學(xué)到用數(shù)學(xué)的過程。

    一元二次方程的應(yīng)用——圍欄問題的分析教學(xué)設(shè)計

    課標(biāo)表述?????? 學(xué)習(xí)內(nèi)容?????? 具體要求?????? 學(xué)習(xí)水平

    抽象出實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,布列一元二次方程,運(yùn)用一元二次方程的解法求得方程的解(根),進(jìn)而解決實(shí)際問題,是一元二次方程的中心問題,要進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)的模型思想。????? 一元二次方程的解法? 會運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋ㄖ苯娱_方法、配方法、公式法、因式分解法)? C

    會運(yùn)用根的差別式判斷方程是否有根????????? C

    一元二次方程的應(yīng)用模型???? 能理解、運(yùn)用實(shí)際問題中的幾何構(gòu)圖模型??? B、C

    能理解、運(yùn)用實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化運(yùn)用 B、C

    能理解、運(yùn)用一元二方程根的實(shí)際意義?????? B、C

    能綜合運(yùn)用一元二次方程思想構(gòu)建函數(shù)問題 B、C、D

    序號??? 知識與技能目標(biāo)??????? 學(xué)習(xí)水平

    1??????? 會運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋ㄖ苯娱_方法、配方法、公式法、因式分解法)?????? □識記(A)□理解(B)

    運(yùn)用(C)□綜合(D)

    2??????? 會運(yùn)用根的差別式判斷方程是否有根????????? □識記(A)□理解(B)

    運(yùn)用(C)□綜合(D)

    3??????? 能理解、運(yùn)用實(shí)際問題中的幾何構(gòu)圖模型??? □識記(A)理解(B)

    運(yùn)用(C)□綜合(D)

    4??????? 能理解、運(yùn)用一元二方程根的實(shí)際意義?????? □識記(A)理解(B)

    運(yùn)用(C)□綜合(D)

    5??????? 能綜合運(yùn)用一元二次方程思想構(gòu)建函數(shù)問題 □識記(A)理解(B)

    運(yùn)用(C)綜合(D)

    序號&nbsp;?? 過程與方法目標(biāo)??????? 能力水平

    1??????? 由一元二次方程實(shí)際問題抽象幾何模型?????? 運(yùn)算求解推理論證空間想象

    數(shù)學(xué)表達(dá)數(shù)據(jù)處理數(shù)學(xué)建模

    2??????? 由幾何模型還原對生活進(jìn)行服務(wù)????? 運(yùn)算求解推理論證空間想象

    數(shù)學(xué)表達(dá)數(shù)據(jù)處理□數(shù)學(xué)建模

    序號??? 情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)??????? 育人價值的視角

    1??????? 通過對一元二次方程的應(yīng)用構(gòu)建模型,體會從直觀感到理性說理的的探究歷程,體驗(yàn)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用,形成數(shù)學(xué)說理的意識?? 數(shù)學(xué)與理性數(shù)學(xué)與思維

    數(shù)學(xué)與方法數(shù)學(xué)與美學(xué)

    數(shù)學(xué)與社會

    2??????? 在探究建模的過程中,積累數(shù)對實(shí)際問題產(chǎn)生的影響,體會嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確和簡明地開展數(shù)學(xué)活動的的重要意義,提高數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)? 數(shù)學(xué)與理性數(shù)學(xué)與思維

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    數(shù)學(xué)與社會

    活動主題?????? 一元二次方程的應(yīng)用與二次函數(shù)最值問題----圍欄問題的實(shí)際探討

    活動目標(biāo)?????? 經(jīng)歷由一元二次方程的應(yīng)用“操作實(shí)驗(yàn)---歸納總結(jié)---說理驗(yàn)證”的探究過程,體會數(shù)學(xué)建模思想,體會直觀感知與理性思考的聯(lián)系和區(qū)別,懂得直觀觀察結(jié)論需說理論證,發(fā)展推理能力;體驗(yàn)解決問題方法的多樣性,養(yǎng)成積極探究的態(tài)度、獨(dú)立思考的習(xí)慣和團(tuán)隊全作的意識

    活動任務(wù)?????? 任務(wù):(六人小組合作,每個小組提前準(zhǔn)備直尺、三角尺、量角器與20m長的籬笆)

    1.小組合作,制定20m長籬笆圍矩形花圃方案;

    2.如何使材料盡用,面積最大;

    3.如何利用好實(shí)際的條件限制數(shù)據(jù);

    背景說明?????? 為獲得足夠的花卉順利進(jìn)行生物實(shí)驗(yàn),茶山中學(xué)生物老師鄒裕容老師聯(lián)系學(xué)??倓?wù)處,準(zhǔn)備利用課外時間在學(xué)校圍墻外開辟一塊矩形地方,種植生物實(shí)驗(yàn)所需的一些花卉植物,請同學(xué)們利用自己所學(xué)數(shù)學(xué)知識(一元二次方程)及函數(shù)的最值問題幫鄒裕容老師解決一些實(shí)際問題。

    【教材原題呈現(xiàn)】(人教版九年級上冊P25,綜合運(yùn)用第8題)如圖,利用一面墻(墻的長度不限),用20m長的籬笆,怎樣圍成一個面積為32m2的矩形花圃區(qū)? (數(shù)據(jù)有變)

    【數(shù)學(xué)建模】解:如圖,設(shè)AB=xm則CD=xm,BC=AD=(20-2x)m,

    依題可列:x(20-2x)=32

    解得:x2-10x+16=0,(x-2)(x-8)=0,x1=2,x2=8

    當(dāng)x=2時,BC=20-2x=20-2╳2=16m

    當(dāng)x=8時,BC=20-2x=20-2╳8=4m

    答:垂直墻的長度為2米,平行墻的長度為16米或垂直墻的長度為8米,平行墻的長度為4米時可以圍成一個面積為32m2的矩形花圃區(qū)。

    【說? 明】此類題,學(xué)生在設(shè)未知數(shù)的表達(dá)上比較模糊,常見錯誤直接設(shè)長為xm,這樣不方便表達(dá),因?yàn)殚L與寬是一個相對的概念,所以建模時把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形、數(shù)學(xué)符號化的表達(dá)。

    【問題1】此時有同學(xué)說太小了,能不能圍成一個面積為54 m2的矩形花圃區(qū)呢?

    【解? 答】解:如圖,設(shè)AB=xm則CD=xm,BC=AD=(20-2x)m,依題可列:

    x(20-2x)=54

    解得: x2-10x+27=0? ∵△=102-4╳1╳27=100-108<0? ∴此方程無實(shí)數(shù)根

    答:不能圍成一個面積為54的矩形m2的矩形花圃區(qū).

    【問題2】此時又有同學(xué)提出建議,沒有門,進(jìn)出不方便,如果建一個寬1m的門,怎樣設(shè)計才能圍成一個面積為32m2的矩形花圃區(qū)呢?

    【解? 答】解:如圖,設(shè)AB=xm則CD=xm,BC=AD=(20+1-2x)m,依題可列:

    x(20+1-2x)=32

    解得: 2x2-21x+32=0? ∵△=212-4╳2╳32=441-256=185

    ∴x=? ∴x1=8.56?? ∴x2=1.85

    當(dāng)x=8.56時,BC=21-2x=21-2╳8.56=3.88m

    當(dāng)x=1.85時,BC=21-2x=21-2╳1.85=17.3m

    答:垂直墻的長度為8.56米,平行墻的長度為3.88米或垂直墻的長度為1.85米,平行墻的長度為17.3米時可以圍成一個面積為32m2的矩形花圃區(qū).

    【問題3】此時有同學(xué)說這樣會不會圍的面積太小了,沒有盡量使用20米的籬笆,如果場地夠用,建一個寬1m的門,最大可以圍成多大面積的矩形花圃區(qū)呢?

    【解? 答】解:如圖,設(shè)AB=xm則CD=xm,BC=AD=(20+1-2x)m,依題可列:

    S= x(20+1-2x)= -2x2+21x

    令S=0時,x1=0,x2=,所以對稱軸為x=

    ∴當(dāng)x =時,S最大值=(21-2╳)=55.125 m2

    ∴當(dāng)x =,BC=20+1-2x=

    答:垂直墻的長度為米,平行墻的長度為米,最大可以圍成多大面積為55.125 m2的矩形花圃區(qū).

    【問題4】同學(xué)們在討論得差不多了,大家?guī)Ш霉ぞ咔巴さ?,?zhǔn)備施工,卻發(fā)現(xiàn),場地受限,圍墻的長度最多只有10米可用,同學(xué)們感覺到之前計算討論的結(jié)果被現(xiàn)實(shí)困住了,接下來同學(xué)們放下工具,重新考慮場地受限的條件。(補(bǔ)現(xiàn)場圖片)

    如圖,利用一面墻(墻的長度不能超過10米),用20m長的籬笆,怎樣圍成一個面積為32m2的矩形花圃區(qū)?

    【解? 答】解:如圖,設(shè)AB=xm則CD=xm,BC=AD=(20-2x)m,依題可列:

    x(20-2x)=32

    解得: x2-10x+16=0,(x-2)(x-8)=0,x1=2,x2=8

    當(dāng)x=2時,BC=20-2x=20-2╳2=16m>10m,不符合題意,舍去

    當(dāng)x=8時,BC=20-2x=20-2╳8=4m

    答:垂直墻的長度為8米,平行墻的長度為4米時可以圍成一個面積為32m2的矩形花圃區(qū).

    【問題5】如圖,利用一面墻(墻的長度不能超過10米),用20m長的籬笆,如果場地夠用,建一個寬1m的門,最大可以圍成多大面積的矩形花圃區(qū)呢?

    【解? 答】解:如圖,設(shè)AB=xm則CD=xm,BC=AD=(20+1-2x)m,依題可列:

    S= x(20+1-2x)= -2x2+21x=-2(x-)2+

    ∵x>0, 20+1-2x≤10? ∴x≥5.5

    ∴當(dāng)x=5.5時,S最大值=5.5(21-2╳5.5)=55 m2

    此時當(dāng)x=5.5時,BC=21-2x=21-2╳5.5=10m

    答:垂直墻的長度為5.5米,平行墻的長度為10米,最大可以圍成多大面積為55 m2的矩形花圃區(qū).

    【動手實(shí)踐】在同學(xué)們經(jīng)過集體討論,驗(yàn)證的基礎(chǔ)上,得出實(shí)踐的操作方式,做到材料盡用,適用性面積最大化,垂直墻的長度為5.5米,平行墻的長度為10米制作矩形花圃區(qū),同學(xué)們分小組合作作,一部分同學(xué)建花圃,一部分同學(xué)開始松土、除草等勞動工序。

    活動反思?????? 整個活動中,學(xué)生以小組合作的形式進(jìn)行項(xiàng)目式問題遞進(jìn)的的探索與研究,同學(xué)們從實(shí)際生活的便利性、適用性、合理性等方面進(jìn)行考慮。再根據(jù)一元二次方程的應(yīng)用,構(gòu)建具體的可操作數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行科學(xué)有效的論證,再到實(shí)踐中的具體問題進(jìn)行問題的拓展,得到合理的解決問題的方法。后續(xù)將利用信息技術(shù)的融合,把活動制作成視頻,利用視頻進(jìn)行現(xiàn)場的勘探,把數(shù)學(xué)服務(wù)實(shí)際生活的勞動場面制作成視頻,作為一份寶貴的的資源供其它同學(xué)參考學(xué)習(xí),增加學(xué)生的研究興趣,同時也能增加數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能。

    【案例點(diǎn)評】

    這節(jié)數(shù)學(xué)課的設(shè)計體現(xiàn)了高品質(zhì)課堂----高尚、本真、靈動、豐厚的基本要素,又符合我?!皠趧咏逃钡纳n堂,從課堂走向課外,再從課外實(shí)踐走向課堂,再由課堂服務(wù)課外生活。

    1.項(xiàng)目式背景,問題驅(qū)動

    本節(jié)數(shù)學(xué)課利用生物實(shí)驗(yàn)需要的花卉培植入手去,設(shè)計矩形花圃為背景,項(xiàng)目式的構(gòu)建數(shù)學(xué)問題,由解決問題的層層深入,思考的逐步完善,而面對的生活中的實(shí)際數(shù)學(xué)問題,使得數(shù)學(xué)問題有血有肉,有感情。并在數(shù)學(xué)教育中滲透勞動教育思想,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源自生活,服務(wù)于生活,為我們的更好的品質(zhì)生活去服務(wù)。

    2.數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用得當(dāng)

    學(xué)生經(jīng)歷了情境問題的依托,經(jīng)歷了從課堂到課外,再從課外到課堂,再從課堂到課外的探究過程。通過探究,學(xué)生對一元二次方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有了充分的認(rèn)識,并會利用單元整體的數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)知識問題進(jìn)行串聯(lián)學(xué)習(xí),從而完成了從課程評價到課程目標(biāo),課程過程實(shí)施的逆向思維過程,讓過程更好的為評價服務(wù)。在教材處理上,既尊重了教材,又開發(fā)了教材。特別是學(xué)生根據(jù)自己的想法,給問題設(shè)定了一定的限定條件,從而很好的解決數(shù)學(xué)問題。

    3.教學(xué)設(shè)計獨(dú)具匠心

    本教學(xué)設(shè)計知識體系清晰,設(shè)計思路新穎。從背景導(dǎo)入,問題逐步升級,層層遞進(jìn),步步深入。特別是學(xué)生問題由一元二次方程的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題的過渡,為學(xué)生深層次的掌握二次函數(shù)的最值問題探討做了很好切入,這種打破常規(guī)的教學(xué)思路,讓人耳目一新。

    4.學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)得到了很大的提升

    教學(xué)是開放的,學(xué)生學(xué)習(xí)是自主的、合作交流的。由項(xiàng)目式問題背景,問題驅(qū)動為導(dǎo)向,這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。學(xué)生展示也是多樣性的,在展示過程中學(xué)生的思維在層層遞進(jìn)。學(xué)生經(jīng)歷上課堂的參與,從經(jīng)歷獨(dú)立的冥思苦想到經(jīng)歷合作交流的激情碰撞,加深了對問題的理解,提升了分析問題與解決問題的能力。

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