基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波的鋰電池荷電狀態(tài)估計(jì)

董祥祥， 武 鵬， 葛傳久， 金俊喆， 閆書佳， 陳 蓓

(上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院， 上海 201620)

1 引言

隨著全球能源危機(jī)和環(huán)境污染問題的日益加重，無污染、零排放的新能源汽車得到了快速發(fā)展。鋰離子電池因能量密度高、放電率低、使用壽命長等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于新能源汽車動(dòng)力系統(tǒng)中。鋰電池的荷電狀態(tài)(State of Charge，SOC)是描述電池剩余電量的指標(biāo)，可用于防止電池過充過放、電動(dòng)汽車行駛里程預(yù)測以及電池均衡管理，是電動(dòng)汽車電池管理系統(tǒng)重要參數(shù)之一[1]。然而，電池的SOC無法直接測量，其大小受電池的工作溫度、工作電流和電池老化程度等參數(shù)的影響。因此，準(zhǔn)確的SOC估計(jì)是制約新能源汽車快速發(fā)展的關(guān)鍵因素。

為了準(zhǔn)確估計(jì)電池SOC，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種估算方法。安時(shí)積分法[2]因計(jì)算簡單在實(shí)際工程中得到了廣泛的應(yīng)用，但它無法解決SOC初始值的問題；開路電壓法[3]需對(duì)電池進(jìn)行充分時(shí)間的靜置以確保電池達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，難以實(shí)現(xiàn)SOC的在線實(shí)時(shí)估計(jì)；機(jī)器學(xué)習(xí)法包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4, 5]、模糊邏輯法[6, 7]、支持向量機(jī)法[8]等，可以獲得較好的SOC估計(jì)精度，但需要大量的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行訓(xùn)練；電池等效電路模型具有強(qiáng)非線性，擴(kuò)展卡爾曼濾波[9, 10](Extended Kalman Filter，EKF)算法通過泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)電池等效電路模型進(jìn)行線性化，忽略二階及以上的高階項(xiàng)，不可避免地引入了線性化誤差；無跡卡爾曼濾波[11, 12](Unscented Kalman Filter，UKF)算法通過無跡變換對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行處理，將SOC估計(jì)精度至少提高到二階；粒子濾波法[13]基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)對(duì)SOC進(jìn)行估計(jì)，它無需要求系統(tǒng)的噪聲特性服從高斯分布，但計(jì)算過程較為復(fù)雜。

當(dāng)前，基于EKF和UKF的電池SOC估計(jì)算法大都假定系統(tǒng)噪聲是固定的，但電池實(shí)際工作環(huán)境較為復(fù)雜，系統(tǒng)噪聲特性通常難以準(zhǔn)確獲知。針對(duì)鋰離子電池因噪聲特性未知導(dǎo)致SOC估計(jì)不準(zhǔn)確的問題，本文提出了一種新的自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法(Adaptive Unscented Kalman Filter，AUKF)。AUKF在SOC估計(jì)的同時(shí)，自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)噪聲，進(jìn)而提高SOC估計(jì)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。為了實(shí)現(xiàn)AUKF對(duì)SOC的自適應(yīng)估計(jì)，首先，選擇二階RC等效電路對(duì)電池進(jìn)行建模，并完成相關(guān)參數(shù)辨識(shí)，獲得AUKF估計(jì)SOC所需的狀態(tài)方程和測量方程；其次，提出改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法，改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法在自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)噪聲的同時(shí)，還可以保證系統(tǒng)噪聲協(xié)方差的對(duì)稱性和非負(fù)定性；然后，將改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法與UKF結(jié)合，提出AUKF算法；最后，基于電池狀態(tài)方程和測量方程，將AUKF用于SOC估計(jì)?；诿绹?lián)邦城市運(yùn)行工況(Federal Urban Driving Schedule，F(xiàn)UDS)[14]數(shù)據(jù)，對(duì)AUKF算法進(jìn)行驗(yàn)證，并將SOC估計(jì)結(jié)果與UKF進(jìn)行對(duì)比。

2 電池狀態(tài)空間模型

2.1 電池模型建立

卡爾曼濾波是在已知系統(tǒng)狀態(tài)模型、測量模型以及系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性前提下，利用觀測數(shù)據(jù)和系統(tǒng)模型輸出方程，實(shí)時(shí)獲得系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)的無偏估算。準(zhǔn)確的電池模型是使用卡爾曼濾波精準(zhǔn)估計(jì)SOC的前提。鋰電池常用的等效電路模型[15-17]有Rint模型、Thevenin模型、PNGV模型以及GNL模型。其中，同時(shí)考慮電池靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性的Thevenin模型被廣泛應(yīng)用于鋰電池SOC估計(jì)中。根據(jù)串聯(lián)RC環(huán)節(jié)的數(shù)量，Thevenin模型可分為一階RC模型和多階RC模型[18]。電池模型的精度隨著模型階數(shù)的增加而增加，但模型階數(shù)越高，計(jì)算的復(fù)雜度也就越高。綜合考慮電池模型精度和計(jì)算復(fù)雜度，本文采用二階RC模型對(duì)電池進(jìn)行建模。二階RC等效電路模型如圖1所示。

圖1 鋰離子電池二階RC等效電路模型

圖1中，Uo為電池開路電壓(Open Circuit Voltage，OCV)，與電池SOC存在強(qiáng)非線性關(guān)系；Im為電池的工作電流，本文選取電池放電方向?yàn)檎较颍籖0為電池的歐姆內(nèi)阻；R1和R2為電池的極化電阻；C1和C2為電池的極化電容；UL為電池的端電壓；R1、C1并聯(lián)環(huán)節(jié)和R2、C2并聯(lián)環(huán)節(jié)的電壓分別為U1和U2。

根據(jù)鋰離子電池的二階RC等效電路模型，結(jié)合安時(shí)積分法，選取電池SOC、兩個(gè)RC并聯(lián)環(huán)節(jié)的電壓U1和U2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，并令xk=[SOCkU1,kU2,k]T，可得離散化后的電池狀態(tài)方程和測量方程[19]：

(1)

UL,k=Uo(SOCk)-Im,kR0-U1,k-U2,k

(2)

式中，k為離散時(shí)間；xk為系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)變量；τ1、τ2為時(shí)間常數(shù)，τ1=R1C1，τ2=R2C2： Δt為系統(tǒng)采樣周期；η為庫倫效率，對(duì)于鋰電池，η≈1；CN為電池的額定容量。

2.2 開路電壓與OCV關(guān)系擬合

電池的OCV與SOC是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在電池的SOC估計(jì)過程中起著重要的作用。本文以三星18650動(dòng)力鋰電池為研究對(duì)象，通過開路電壓試驗(yàn)[20]來獲取SOC-OCV關(guān)系曲線。為了減小電池模型誤差，本文對(duì)同一SOC值下的充放電方向上的OCV取平均值，然后對(duì)SOC-OCV關(guān)系曲線進(jìn)行5次多項(xiàng)式擬合，擬合曲線如圖2所示。

圖2 SOC-OCV關(guān)系擬合曲線

2.3 電池模型參數(shù)辨識(shí)

在對(duì)電池SOC進(jìn)行估計(jì)時(shí)，需對(duì)電池二階RC等效電路模型中的相關(guān)參數(shù)R0、R1、R2、C1和C2進(jìn)行辨識(shí)。在系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中，最小二乘法因無需先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識(shí)、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。本文基于鋰電池在動(dòng)態(tài)壓力測試工況(Dynamic Stress Test，DST)[21]下的實(shí)測數(shù)據(jù)，使用離線遞推最小二乘法[22]完成R0、R1、R2、C1和C2的參數(shù)辨識(shí)。為了降低模型參數(shù)辨識(shí)的誤差，本文將離線遞推最小二乘法辨識(shí)獲得的多組電池參數(shù)取平均值作為最終辨識(shí)結(jié)果，辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表1 電池參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

將2.2節(jié)獲得的SOC-OCV多項(xiàng)式擬合關(guān)系與本節(jié)辨識(shí)獲得的二階RC等效電路模型參數(shù)R0、R1、R2、C1和C2代入式(1)、式(2)，即可獲得18650動(dòng)力鋰電池用于AUKF估計(jì)SOC的狀態(tài)方程和測量方程。

3 電池SOC估計(jì)

使用UKF算法估計(jì)電池SOC時(shí)，需提前對(duì)系統(tǒng)的過程噪聲和測量噪聲進(jìn)行設(shè)定。通常，將系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲設(shè)置為定值。如果系統(tǒng)噪聲特性已知，過程噪聲和測量噪聲的預(yù)設(shè)值與實(shí)際噪聲特性相匹配，UKF可以獲得較高的SOC估計(jì)精度。但在實(shí)際中，電動(dòng)汽車的行駛過程和運(yùn)行環(huán)境復(fù)雜多變，系統(tǒng)噪聲特性往往是未知的，有時(shí)甚至是時(shí)變的。如果電動(dòng)汽車運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)噪聲預(yù)設(shè)值與實(shí)際噪聲特性不匹配，將導(dǎo)致較大的SOC估計(jì)誤差，嚴(yán)重時(shí)將導(dǎo)致濾波失敗。因此，在UKF估計(jì)SOC的過程中，為了降低系統(tǒng)噪聲對(duì)SOC估計(jì)精度的影響，需要對(duì)系統(tǒng)噪聲進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)。原理簡單、實(shí)用性好的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)噪聲估計(jì)。本文將改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法與UKF相融合構(gòu)成AUKF，基于2.1節(jié)～2.3節(jié)獲得的鋰電池狀態(tài)方程和測量方程，將AUKF用于電池SOC估計(jì)，在估計(jì)電池SOC的同時(shí)自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)噪聲。

3.1 UKF算法估計(jì)電池SOC

UKF算法的核心思想是，首先，在估計(jì)值附近通過無跡變換構(gòu)造一組采樣點(diǎn)，該采樣點(diǎn)稱為Sigma點(diǎn)，這些Sigma點(diǎn)具有與系統(tǒng)狀態(tài)分布相同的均值和協(xié)方差；然后，將這些采樣點(diǎn)經(jīng)非線性函數(shù)直接進(jìn)行傳遞；最后，基于這些Sigma點(diǎn)非線性變換后的結(jié)果來計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差[23]。

為了使UKF可以在線估計(jì)電池SOC，對(duì)式(1)和式(2)作如下處理，令：

(3)

(4)

uk=[Im,k]

(5)

yk=[UL,k]

(6)

根據(jù)式(1)～式(6)，考慮系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲，用于UKF估計(jì)SOC的鋰電池狀態(tài)方程和測量方程可表示為：

(7)

式中，yk為系統(tǒng)的觀測變量；uk為系統(tǒng)的輸入變量；f和g分別為系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)和觀測函數(shù)；ωk和vk分別為系統(tǒng)的過程噪聲和測量噪聲，均為0均值的高斯白噪聲，其方差分別為Qk和Rk。

使用UKF估計(jì)電池SOC的步驟可總結(jié)如下：

(8)

式中，E(·)表示均值。

(9)

式中，ωm、ωc分別為均值和方差的權(quán)重；n為狀態(tài)變量的維數(shù)；β為一個(gè)非負(fù)的權(quán)系數(shù)，可以合并高階項(xiàng)中的動(dòng)差，當(dāng)Sigma點(diǎn)成高斯分布時(shí)，通常取β=2；α為尺度參數(shù)，決定了Sigma采樣點(diǎn)在狀態(tài)變量處的分布狀態(tài)，滿足1e-4≤α≤1；λ為比例因子，可表示為：

λ=α2(n+κ)-n

(10)

式中，κ為可調(diào)參數(shù)，在狀態(tài)估計(jì)時(shí)通常取0。

(2)計(jì)算k-1時(shí)刻狀態(tài)變量的Sigma采樣點(diǎn)：

(11)

(3)狀態(tài)變量時(shí)間更新：利用步驟(2)獲得的2n+1個(gè)Sigma采樣點(diǎn)，計(jì)算k時(shí)刻狀態(tài)變量均值和協(xié)方差的預(yù)測值：

xi,k|k-1=f(xi,k-1,uk),i=0～2n

(12)

(13)

(14)

式中，qk-1為系統(tǒng)過程噪聲的均值；k|k-1表示基于k-1時(shí)刻的變量值對(duì)k時(shí)刻變量值的預(yù)測。

(4)測量變量時(shí)間更新：計(jì)算k時(shí)刻觀測變量的預(yù)測值：

χi,k|k-1=g(xi,k|k-1,uk)

(15)

(16)

式中，rk-1為系統(tǒng)測量噪聲的均值。

(5)計(jì)算UKF的增益矩陣Kk：

(17)

其中

(18)

(6)狀態(tài)變量測量校正：計(jì)算校正后k時(shí)刻的狀態(tài)變量估計(jì)值及狀態(tài)變量最優(yōu)協(xié)方差矩陣：

(19)

(20)

3.2 改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法

Sage-Susa自適應(yīng)濾波算法是在進(jìn)行遞推濾波時(shí)，利用測量的數(shù)據(jù)，通過時(shí)變?cè)肼暪乐灯?，?shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性的實(shí)時(shí)估計(jì)和修正，進(jìn)而達(dá)到降低系統(tǒng)模型誤差、抑制濾波發(fā)散、提高濾波精度的目的[24]。使用Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法對(duì)系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲的估算步驟可總結(jié)如下[25, 26]：

(1)計(jì)算系統(tǒng)過程噪聲均值估計(jì)值：

(21)

其中

(22)

式中，b為遺忘因子，取值范圍通常為0.95～1。

(2)計(jì)算系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差估計(jì)值：

(23)

式中，ek為殘差，可表示為：

(24)

(3)計(jì)算系統(tǒng)測量噪聲均值估計(jì)值：

(25)

(4)計(jì)算系統(tǒng)測量噪聲協(xié)方差估計(jì)值：

(26)

(27)

(28)

式中，diag(diag(·))表示以(·)的主對(duì)角線元素所構(gòu)成的對(duì)角矩陣。

式(21)～式(28)即為改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法，其保證了系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲的非負(fù)定性和對(duì)稱性，在與UKF結(jié)合時(shí)，能夠確保系統(tǒng)狀態(tài)變量協(xié)方差的半正定性，在減小系統(tǒng)噪聲對(duì)電池SOC估計(jì)影響的同時(shí)，提升了SOC估計(jì)的穩(wěn)定性。

3.3 AUKF算法估計(jì)電池SOC

將改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法與UKF結(jié)合即可組成AUKF算法，AUKF在估計(jì)SOC的同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)噪聲的自適應(yīng)估計(jì)，從而提高SOC估計(jì)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。使用AUKF估計(jì)電池SOC的主要步驟如圖3所示。

圖3 AUKF估計(jì)電池SOC流程圖

4 實(shí)驗(yàn)仿真與驗(yàn)證

實(shí)際生活中，電動(dòng)汽車運(yùn)行工況比較復(fù)雜，鋰離子電池工作電流變化也比較劇烈。為了驗(yàn)證本文所提AUKF估計(jì)電池SOC的準(zhǔn)確性，基于2.1節(jié)～2.3節(jié)獲得的三星18650動(dòng)力鋰電池狀態(tài)方程和測量方程，在較為復(fù)雜的FUDS工況下對(duì)所提估計(jì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，同時(shí)將AUKF估計(jì)得到的SOC與UKF估計(jì)得到的SOC進(jìn)行了對(duì)比。SOC的真實(shí)值由安時(shí)積分法獲得。FUDS工況下鋰電池實(shí)測工作電流Im、端電壓UL曲線如圖4和圖5所示。圖4中，正電流代表放電，負(fù)電流代表充電。

圖4 FUDS工況工作電流曲線

圖5 FUDS工況端電壓曲線

電池SOC的估計(jì)結(jié)果如圖6和圖7所示。由圖6可知，AUKF和UKF均可以在SOC初始值偏離真實(shí)值的情況下快速收斂到SOC的真實(shí)值附近，兩者對(duì)SOC的估計(jì)曲線變化趨勢(shì)與SOC真實(shí)曲線基本一致，相較于UKF，AUKF對(duì)SOC的估計(jì)曲線更接近真實(shí)值。由圖7可知，收斂后，由于AUKF可以通過改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)實(shí)際噪聲特性，在整個(gè)SOC估計(jì)過程中，AUKF的SOC誤差估計(jì)曲線波動(dòng)較?。欢鳸KF由于噪聲固定，隨著放電的深入，預(yù)設(shè)噪聲不能反映系統(tǒng)實(shí)際噪聲特性，導(dǎo)致其對(duì)SOC的估計(jì)誤差曲線波動(dòng)逐漸增大。7 000 s后，AUKF和UKF對(duì)SOC的估計(jì)誤差均較大，這是因?yàn)殡S著放電的深入，電池模型已不能很好地模擬電池實(shí)際工作特性，電池模型的誤差累積導(dǎo)致SOC的估計(jì)誤差逐漸增大。

圖6 FUDS工況電池SOC估計(jì)對(duì)比曲線

圖7 FUDS工況下電池SOC估計(jì)誤差對(duì)比曲線

為了更直觀地比較AUKF和UKF對(duì)SOC的估計(jì)性能，本文使用最大絕對(duì)誤差(Maximum Absolute Error，MAE)和均方根誤差(Root-Mean Square Error，RMSE)對(duì)兩種估計(jì)算法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。其中， MAE為不考慮收斂段，500 s之后的SOC最大絕對(duì)誤差。MAE和RMSE越小，算法對(duì)SOC的估計(jì)準(zhǔn)確度越高、穩(wěn)定性越好[27]。MAE和RMSE的計(jì)算方式如下：

(29)

(30)

在FUDS工況下，AUKF、UKF的MAE和RMSE對(duì)比如表2所示。

表2 FUDS工況AUKF、UKF算法MAE和RMSE對(duì)比

由表2可以看出，AUKF的MAE、RMSE均比UKF的小。相較于AUKF，UKF的MAE增加了2.42%，RMSE增加了0.012 7，AUKF對(duì)SOC估計(jì)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性均優(yōu)于UKF。

5 結(jié)論

電池SOC是新能源汽車電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù)，準(zhǔn)確的電池SOC估計(jì)對(duì)促進(jìn)新能源汽車的發(fā)展有著重大的意義。本文提出AUKF算法來解決鋰離子電池因噪聲特性未知導(dǎo)致SOC估計(jì)不準(zhǔn)確的問題，主要結(jié)論如下：

(1)選擇二階RC等效電路模型對(duì)電池建模，獲得用于AUKF估計(jì)SOC的狀態(tài)方程和測量方程。

(2)提出改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法，改進(jìn)的Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法在自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)噪聲的同時(shí)，還具有保證噪聲協(xié)方差對(duì)稱性和非負(fù)定性、提高濾波穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)。

(3)提出AUKF算法，將AUKF用于SOC估計(jì)，AUKF算法在估計(jì)SOC的同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)噪聲特性的自適應(yīng)估計(jì)。

(4)將AUKF在FUDS工況下進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與UKF相比，AUKF對(duì)SOC估計(jì)的準(zhǔn)確度更高、穩(wěn)定性更好。