不確定給付下的DB 型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資決策問題

烏云高

（1.華北電力大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 北京102206；2.鄂爾多斯應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)工程系 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯017000）

養(yǎng)老保險(xiǎn)，是社會(huì)保障制度的重要組成部分，是社會(huì)保險(xiǎn)五大險(xiǎn)種的險(xiǎn)種之一。 養(yǎng)老保險(xiǎn)的目的是為了保障老年人的基本生活需求，為其提供穩(wěn)定的可靠的生活來源。養(yǎng)老保險(xiǎn)以其給付方式分類為確定繳費(fèi)（DC）型計(jì)劃和確定給付（DB）型計(jì)劃。本篇文章討論不確定給付下的DB 型養(yǎng)老保險(xiǎn)的最優(yōu)配置問題。 很多學(xué)者已經(jīng)研究了養(yǎng)老保險(xiǎn)的最優(yōu)投資策略問題[1]。Cairns[2]討論了養(yǎng)老基金的建模與控制問題。 提出了一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)養(yǎng)老基金模型，該模型既有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，又有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且收益支出水平具有隨機(jī)性。 Haberman[3]、Haberman 和Sung[4]將DB 型養(yǎng)老金最優(yōu)化管理問題模型化為線性二次最優(yōu)控制問題。 與前人假設(shè)不同，Josa-Fombellida 和Rincon-Zapatero[5]研究了DB 型養(yǎng)老基金在隨機(jī)利率下的最優(yōu)管理問題。

以上學(xué)者都在概率論的范疇內(nèi)進(jìn)行研究的。但眾所周知，概率論在估計(jì)出的概率將無限趨近于累計(jì)頻率時(shí)才可以用來解決問題。但我們的生活中，很多研究的問題無法得到足夠的數(shù)據(jù)來估計(jì)概率分布。為了解決這樣的問題，我們需要給出事件發(fā)生的信度。 針對(duì)這樣的問題，2007 年，劉寶碇教授在Liu[6]中提出了不確定理論。Liu[7]給出了不確定過程的概念，用不確定過程來描述我們生活中的不確定現(xiàn)象隨著時(shí)間變化的這一性質(zhì)。 學(xué)者們做了很多不確定理論相關(guān)的研究。Xu 和Zhu[8]討論了不確定Bang-Bang 控制問題。高建偉[9]等用不確定理論研究了DC 型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略問題。 本文研究不確定給付下的DB 型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資決策問題。

一、不確定繳費(fèi)下最優(yōu)化模型

所以， 養(yǎng)老保險(xiǎn)金的變化過程可以表示成下面的不確定微分方程

其中，ut表示t 時(shí)刻的繳費(fèi)率，wt是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在養(yǎng)老保險(xiǎn)基金中占的比例。

我們的目的是找到最優(yōu)繳費(fèi)率ut和最優(yōu)投資比例wt， 最小化累積損失的期望，即要研究為下面的不確定養(yǎng)老金問題：

其中α1＞0，α2＞0，且α1+α2=1，用um表示目標(biāo)繳費(fèi)率，xp表示目標(biāo)基金水平投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例，用ρ 表示折現(xiàn)因子。

根據(jù)不確定動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，值函數(shù)定義為：

那么，不確定養(yǎng)老金問題（12）變?yōu)椋?/p>

為了求解最優(yōu)化問題（13)，先考慮下面的不確定最優(yōu)控制問題：

其中，Dt是決策變量，Xt是狀態(tài)變量，F(xiàn) 是目標(biāo)函數(shù)，G 是終止收益函數(shù)，J(t,b,x)是值函數(shù)，υ，γ 和χ 是狀態(tài)變量Xt，時(shí)間t 和決策變量的Dt函數(shù)。

下面給出最優(yōu)性原理。

定理1對(duì)任意的(t,b,x)∈[0,T)×R×R，Δt＞0 且t+Δt＜T，我們有

其中，x+ΔXt=Xt+Δt，b+ΔBt=Bt+Δt。

下面給出最優(yōu)性方程。

定理2假設(shè)J(t,b,x)在[0,T)×R×R 上二次可微，則我們有

其中，Jt(t,b,x)，Jb(t,b,x)和Jx(t,b,x)分別是函數(shù)J(t,b,x)分別對(duì)t，b和。 為了簡(jiǎn)便，分別用Jt，Jb和Jx來表示函數(shù)Jt(t,b,x)，Jb(t,b,x)和Jx(t,b,x)。

二、模型求解

下面求解最優(yōu)化問題（3）的解。

由最優(yōu)性方程（6)，有

令

對(duì)函數(shù)L(wt,ut)，分別求關(guān)于wt和ut的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，即

解得

將式（8）代入式（7)，我們得到

剩下要解偏微分方程(10)。 我們猜測(cè)解的形式為

J(t,b,x)=e-ρtF(x,b)

在函數(shù)J(t,b,x)=e-ρtF(x,b)的兩邊分別對(duì)x，b 和t 求導(dǎo)，我們得

Jx=e-ρtFx，Jb=e-ρtFb，Jt=-ρe-ρtF(x,b)

把它們代入式（10)，得下面的式子

令F(x,b)=A(x2+2jxb+kb2+lx+pb+q)，則有

Fx=2Ax+2Ajb+Al，F(xiàn)b=2Ajx+2Akb+Ap

從式(11)，我們得

通過解方程(12)，有

因此，

這樣，得到最優(yōu)給付率和最優(yōu)投資策略為

結(jié)束語：

在不確定理論的框架下， 研究了當(dāng)給付率服從不確定增長的DB 型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資決策問題。 養(yǎng)老金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，以最小化二次損失函數(shù)為目標(biāo)，建立養(yǎng)老金的最優(yōu)化模型。通過求解模型，最后得到了最優(yōu)投資策略和最優(yōu)繳費(fèi)率的顯式解。 將來，我們做進(jìn)一步的研究，考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率為不確定情形時(shí)對(duì)最優(yōu)配置問題的影響。