含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的非線性動力學(xué)特性分析1)

黃建亮 王 騰 陳樹輝

(中山大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系,廣州 510275)

引言

在工程中存在著很多可以用自激振動和參數(shù)激振聯(lián)合作用的van der Pol-Mathieu 方程來描述的振動,例如,含有萬向接頭的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動[1],卡盤作業(yè)過程中的參數(shù)激振[2],含有自振和參數(shù)激振的齒輪裝置系統(tǒng)的振動[3],塵埃等離子體中的顆粒電荷的動力學(xué)行為[4],高層建筑結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載下的振動[5-6]等,都是可用van der Pol-Mathieu 方程來描述振動的典型例子.van der Pol-Mathieu 方程同時含有自激振動和參數(shù)激振,蘊含著豐富的動力學(xué)行為,多年來一直是眾多學(xué)者關(guān)注點之一.

Tondl[7]首先分析了van der Pol-Mathieu 方程中自激振動和參數(shù)激振的相互作用,并在共振區(qū)域發(fā)現(xiàn)了周期響應(yīng).Kotera 和Yano[8]用兩個頻率的和分析了van der Pol-Mathieu 方程在參數(shù)共振區(qū)域的近似一階和二階的周期解.陳予恕和徐鑒[9]研究了van der Pol-Duffing-Mathieu 型系統(tǒng)主參數(shù)共振分岔解,得到該非線性參數(shù)激勵系統(tǒng)依賴于物理參數(shù)變化的振動模式.Szabelski 和Warminski[10]分析了自激振動和參數(shù)激勵對van der Pol-Mathieu 方程的影響,并且研究了附加外激勵在同步區(qū)域內(nèi)動力學(xué)行為的影響.Warminski 等[3]對含有自激振動和參數(shù)激勵的兩自由度系統(tǒng)進行分析,并得到了不同類型的響應(yīng),包含有周期響應(yīng),準(zhǔn)周期運動響應(yīng)和混沌.彭獻和陳自力[11]引入?yún)?shù)變換,將強非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為弱非線性系統(tǒng),利用攝動思想分析得到了van der Pol-Mathieu方程的1/2 亞諧共振周期解.Belhaq 和Fahsi[12]和Pandey 等[13]分析了van der Pol-Mathieu-Duffing 系統(tǒng)的響應(yīng),得到該類系統(tǒng)可含有1:1 鎖頻,2:1 次諧波鎖頻和準(zhǔn)周期運動響應(yīng).張琪昌等[14]利用改進的類Pad′e 方法計算了van der Pol-Duffing 方程的同異宿軌道.Warminski[15]研究了含有van der Pol 和Rayleigh函數(shù)在兩個不同自激振動模型下具有時滯狀態(tài)的自激振動,參數(shù)激振和強迫振動作用下的相互作用.許多學(xué)者也對各類含有參數(shù)激振的非線性系統(tǒng)進行研究[16-19],得到了不同的非線性振動特性和運動分岔.

早期對于van der Pol-Mathieu 方程的眾多研究主要集中在含有一個基頻的周期響應(yīng)及其穩(wěn)定性分析.可以利用不同的攝動方法求得這類方程的近似解析解[20].然而,對于van der Pol-Mathieu 方程來說,因有自激振動與參數(shù)激勵振動的相互耦合作用,使得系統(tǒng)不僅有周期響應(yīng),而且還有準(zhǔn)周期運動響應(yīng),甚至產(chǎn)生混沌,近年來受到眾多學(xué)者的關(guān)注.Belhaq 和Houssni[21]為了構(gòu)造準(zhǔn)周期運動的近似解,提出了雙攝動的思想,其方法包含了兩個步驟:第一步利用廣義的平均法將準(zhǔn)周期系統(tǒng)變?yōu)橹芷跍p化系統(tǒng);第二步是用多尺度法對周期減化系統(tǒng)構(gòu)造出近似的準(zhǔn)周期運動解.他們利用雙攝動方法得到了同時含有二次和三次非線性項的參數(shù)激勵和外激勵的單自由度系統(tǒng)的準(zhǔn)周期解.該雙攝動方法的本質(zhì)就是對周期減化系統(tǒng)在平衡點附近的周期解進行非線性近似,該方法可進一步推廣到各類非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運動分析中[5-6,12,22].Fan 等[23]也利用了雙攝動方法分析了van der Pol-Mathieu 方程在有外激勵和無外激勵兩種情況下的周期解和準(zhǔn)周期運動近似解的包絡(luò)線.然而,雙攝動方法只能得到準(zhǔn)周期運動包絡(luò)線的最大和最小幅值,無法得到系統(tǒng)準(zhǔn)周期運動的具體響應(yīng)情況,更無法得到系統(tǒng)準(zhǔn)周期運動的各個響應(yīng)頻率.Warminski 等[3]和Warminski[15]利用多尺度法分別分析了含有自激勵和參數(shù)激勵的兩個自由度時滯系統(tǒng),并利用數(shù)值法得到了兩個時滯系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運動響應(yīng)和混沌.Veerman 和Verhulst[24]利用平均法分析了van der Pol-Mathieu 方程,并得到了由1 階和1/ε 階基礎(chǔ)周期構(gòu)造而成的準(zhǔn)周期運動響應(yīng),其中ε 是小量.上述的各種攝動法只能得到van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期運動近似解,有些方法得到的結(jié)果只能描述準(zhǔn)周期運動的最大和最小振幅,特別是在鄰近分岔點處用攝動法得到的準(zhǔn)周期運動解與數(shù)值解相差甚大,據(jù)作者所知,迄今為止尚未有有效的攝動法能精確地計算并得到此類van der Pol-Mathieu 方程的精確準(zhǔn)周期運動解.

本文針對含有外激勵的van der Pol-Mathieu 方程進行研究,主要是發(fā)現(xiàn)了單自由度的van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期運動的頻譜含有均勻邊頻帶的新特性。此新特性與之前研究分析的多自由度非線性系統(tǒng)中內(nèi)共振引起的準(zhǔn)周期運動的頻譜特性[25-27]相類似,即都含有均勻的邊頻帶,不同之處在于多自由度非線性系統(tǒng)中的準(zhǔn)周期運動是由于不同振動模態(tài)之間在內(nèi)共振條件下相互作用產(chǎn)生的,而單自由度的van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動是由于自激振動與參數(shù)激振耦合產(chǎn)生的,僅是van der Pol 方程中的自激振動或僅是Mathieu 方程中的參數(shù)激振并不能產(chǎn)生準(zhǔn)周期運動.根據(jù)此準(zhǔn)周期運動頻譜含有均勻邊頻帶的特性,它包含了兩個基頻,一個是已知激勵頻率ω;另一個是事先未知的頻率ωd,即為邊頻帶中相鄰兩個頻率之間的距離,那么準(zhǔn)周期運動中所有的頻率成份都可表示為這兩個基頻的線性組合.因此,本文利用傳統(tǒng)的增量諧波平衡法(IHB 法)分析單自由度含有外激勵的van der Pol-Mathieu 方程的周期響應(yīng),并推廣兩時間尺度的IHB 法,其中一個時間尺度是快時間尺度τ1=ωt;另外一個是慢時間尺度τ2=ωdt(ω ?ωd),應(yīng)用于分析此van der Pol-Mathieu方程的準(zhǔn)周期運動響應(yīng).

1 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期解及其穩(wěn)定性

對于含有外激勵van der Pol-Mathieu 方程,有3種激勵共同作用,即自激勵,參數(shù)激勵和外激勵,可描述為下列的微分方程

其中,x是因變量,t是時間,k1,k2和k3是常數(shù),是線性固有頻率,ω 是激勵頻率,f是外激勵幅度.方程(1)包含了自激勵,即van der Pol 項?(k1?k2x2)dx/dt;參數(shù)激勵,即Mathieu 項k3cos(2ωt)x和簡諧外激勵fcos ωt.對于此方程,首先利用傳統(tǒng)的IHB 法確定其周期解,然后利用Floquet 理論,并結(jié)合精細的Hsu 法判斷其周期解的穩(wěn)定性及分岔,最后得到了Saddlenode 和Hopf 這兩種分岔類型.

1.1 傳統(tǒng)的IHB 法

對于含外激勵的van der Pol-Mathieu 方程,可以利用傳統(tǒng)的IHB 法來確定其周期解.引入一個新的時間變量

方程(1)可變?yōu)?/p>

其中,′表示對時間τ 的導(dǎo)數(shù).

傳統(tǒng)的IHB 法包含兩個過程,增量過程和諧波平衡過程.增量過程即Newton-Raphson 迭代過程,是對微分方程(3)進行線性化.設(shè)x0,ω0,f0是方程(3)的解,則其鄰近點可表示為

式中,?x,?ω,?f為增量,將式(4)代入方程(3),并略去高階小量后可得到以?x,?ω,?f為未知量的增量方程

為不平衡力.如果x0,ω0,f0是方程(3)的準(zhǔn)確解,那么R=0.

傳統(tǒng) IHB 法的第二個過程是諧波平衡過程(Galerkin 過程).因方程(1)是自激勵和參數(shù)激勵的系統(tǒng),包含了奇次非線性項,所以對于其周期解,可設(shè)

這里,ak和bk是傅里葉系數(shù),nc和ns分別是cosine和sine 諧波項的項數(shù)

對式(7)和式(8)進行微分,得

將式(7),式(8),式(12)和式(13)代入方程(5),并利用Galerkin 過程平衡諧波項,得

積分上式并整理歸并為以?A,?ω 和?f為未知量的代數(shù)方程組

這里,上標(biāo)T表示為矩陣的轉(zhuǎn)置,KA是n×n的矩陣,和Rω是n×1 的矩陣,n=nc+ns.本文只考慮在某一固定外激勵幅值下的頻率響應(yīng)曲線,那么f取固定值,?f=0,于是方程(15)成為

用傳統(tǒng)的IHB 法求解時,可事先給定一個初值,然后利用增量過程和諧波平衡過程追蹤出所有的解.在求解過程中,可采用振幅增量,頻率增量或弧長增量,具體可參見Cheung 等[28],陳樹輝[29]的研究結(jié)果.

1.2 周期解的穩(wěn)定性與分岔

利用傳統(tǒng)的IHB 法確定含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期解后,需要分析其穩(wěn)定性.設(shè)x0為已求得的解,給x0一個小的擾動?x

將式(21)代入方程(1),略去高階小量,并注意x0滿足方程(1),可得

方程(22)稱為擾動方程,即從已知的平衡位置擾動而得的方程.方程(22)的穩(wěn)定性特征可以用Floquet理論來分析.將方程(22)重新寫為狀態(tài)方程

由于x0是τ 的周期為T=2π 的函數(shù),所以Q21和Q22也是周期為T=2π 的函數(shù).

對于方程(23),存在著一組基礎(chǔ)解系

這一基礎(chǔ)解系可用矩陣來表示

可以看到,Y滿足矩陣方程

由于Q(τ+T)=Q(τ),Y(τ+T)也是基礎(chǔ)矩陣解,因此,它可表示為

式中,P為非奇異常數(shù)矩陣,稱為轉(zhuǎn)移矩陣.根據(jù)Floquet 理論,方程(23)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則與矩陣P的特征值λi有關(guān).如果轉(zhuǎn)移矩陣P的所有特征值的模都小于1,則方程(23)的運動是有界的,因而此周期解是穩(wěn)定的;如果轉(zhuǎn)移矩陣P中至少有一個特征值的模大于1,則方程(23)的運動是無界的,此周期解也就不穩(wěn)定.

采用數(shù)值方法求解方程(30)的基礎(chǔ)解系,其中有效地計算轉(zhuǎn)移矩陣P是穩(wěn)定性分析的關(guān)鍵.Hsu[30-31]和Hsu 和Cheng[32]提出一個近似求解轉(zhuǎn)移矩陣P的有效方法,其主要思想是把一個周期等分為若干時間間段,在每一時間段上進行積分.Friedmann 等[33]給出了該方法的具體推導(dǎo)表達式.Huang等[34]在此基礎(chǔ)上,結(jié)合了精細積分算法[35],提出了精細的Hsu 法,有效地減小了計算轉(zhuǎn)移矩陣P的舍入誤差.

1.3 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程周期解的響應(yīng)特性

在用傳統(tǒng)的IHB 求解過程中,取諧波項項數(shù)nc=ns=3,式(7)可寫為

圖1 所示為當(dāng)k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01 時van der Pol-Mathieu 方程周期響應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線ω-A1,高階的諧波項較小而沒有在此顯示,圖1(b)是圖1(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖,其中實線表示穩(wěn)定的周期解,虛線表示不穩(wěn)定的周期解,實圓點表示Saddle-node 分岔,實三角形點表示Hopf 分岔.圖1 中4 個臨近分岔點的響應(yīng)點的Floquet 乘子如表1 所示.從表1 可以看出,在復(fù)平面上其中的一個Floquet 乘子從+1 方向穿出單位圓,導(dǎo)致了Saddlenode 分岔(S1和S2),從而出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象;而一對共軛的Floquet 乘子穿出單位圓,導(dǎo)致了Hopf 分岔(H1和H2),從而出現(xiàn)了準(zhǔn)周期運動.

圖1 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程周期響應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線,ω-A1其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01,(b)為(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖Fig.1 Frequency response curve ω-A1of periodic response of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01,(b)is an enlarged view of a zone highlighted in(a)

在含有外激勵van der Pol-Mathieu 方程中,由于非線性的影響,周期解的頻率響應(yīng)曲線出現(xiàn)了多值性,從而出現(xiàn)了一些重要而且有趣的動力學(xué)現(xiàn)象,如圖1 所示的跳躍現(xiàn)象.假設(shè)外激勵幅值f不變而頻率ω 慢慢地變化,先考察向右掃頻的過程,周期解從分岔點H1出發(fā),當(dāng)頻率ω 逐漸增大時,振幅A1開始變大,在ω=1.0 附近達到最大值,過了最大值后振幅A1變小到達分岔點S1,如果ω 繼續(xù)增大,則振幅A1突然從點S1跳躍到點P1(如圖1(a)所示),然后沿曲線逐漸變小,最后到達點H2.反之,考察向左掃頻的過程,周期解從分岔點H2出發(fā),當(dāng)頻率ω 逐漸減小時,振幅A1開始變大,在ω=1.0 附近也達到最大值,過了最大值后振幅A1變小到達分岔點S2,如果ω 繼續(xù)減小,則振幅A1突然從點S2跳躍到點P2(如圖1(b)所示),然后沿曲線逐漸變小,最后到達點H1.

表1 頻率ω 在4 個分岔點S1,S2,H1和H2臨近點響應(yīng)的Floquet 乘子λ1和λ2,其中=√Table 1 Floquet multipliers λ1and λ2for the frequency ω near the four bifurcation points S1,S2,H1,and H2,where=√

表1 頻率ω 在4 個分岔點S1,S2,H1和H2臨近點響應(yīng)的Floquet 乘子λ1和λ2,其中=√Table 1 Floquet multipliers λ1and λ2for the frequency ω near the four bifurcation points S1,S2,H1,and H2,where=√

圖2 ω=1.0 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程含有3 個周期解,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01:(a)第一個穩(wěn)定周期解的時間歷程圖;(b)第二個穩(wěn)定周期解的時間歷程圖;(c)3 個不同周期解的相圖;(d)兩個穩(wěn)定周期解的頻譜圖Fig.2 Three different periodic solutions of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation for ω=1.0 with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01:(a)Time history of the first stable periodic response;(b)time history of the second stable periodic response;(c)phase plane portraits of the three solutions;(d)Fourier spectra of the two stable periodic response

在圖1 中從點S1到S2的區(qū)域,存在著兩個穩(wěn)定的周期解和一個不穩(wěn)定的周期解.圖2 所示為頻率ω=1.0 時van der Pol-Mathieu 方程含有3 個不同解的周期響應(yīng),其中圖2(a)和圖2(b)是兩個穩(wěn)定周期解的時間歷程圖,其中實線表示用Runge-Kutta(RK)數(shù)值法求得的解,圓圈表示用傳統(tǒng)的IHB 法得到的結(jié)果,可以看出,兩個方法得到的結(jié)果非常吻合;圖2(c)所示為3 個解的相圖,可以看出3 條都是封閉的曲線,進一步表明系統(tǒng)的響應(yīng)為周期響應(yīng);圖2(d)所示為兩個穩(wěn)定周期解的頻譜圖,可以看出|A1| ?|A2| ?|A3|,系統(tǒng)的響應(yīng)主要以第一階響應(yīng)為主,其頻率是參數(shù)激勵頻率2ω 的一半,與外激勵頻率一樣,因此系統(tǒng)的響應(yīng)為自激振動,1:2 參數(shù)激振和外激勵的聯(lián)合作用.

2 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動

對于含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期響應(yīng),其頻率成份之間是可約的,例如在本文中,系統(tǒng)的頻率成份為ω,3ω 和5ω.在上節(jié)分析得知,系統(tǒng)的周期解經(jīng)Hopf 分岔后會產(chǎn)生準(zhǔn)周期運動.對準(zhǔn)周期運動來說,其頻率成份至少含有兩個或以上的不可約頻率.事實上,本文首次發(fā)現(xiàn)了van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動的新特性,即其頻率成份是由落在ω,3ω 和5ω 附近的邊頻帶組成,并且這些邊頻帶里的頻率是等相距的,即為均勻的邊頻帶.此準(zhǔn)周期運動的新特性,正是由于van der Pol-Mathieu 方程中的自激振動和參數(shù)激振相互作用產(chǎn)生的.如若只考察van der Pol 方程中的自激振動或只考察Mathieu 方程的參數(shù)激振,并不會產(chǎn)生準(zhǔn)周期運動.根據(jù)此準(zhǔn)周期運動的新特性,其頻譜中含有兩個基頻,一個是已知的頻率ω,另一個可把它看作是均勻邊頻帶里相鄰頻率的距離ωd,且ωd事先是未知的,此時準(zhǔn)周期運動中所有的頻率都可由這兩個基頻線性組合而成.根據(jù)此特性,發(fā)展了傳統(tǒng)的IHB 法,引入兩個時間尺度,使之適用于精確求解含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動,并且可以得到此準(zhǔn)周期運動所有的頻率成份.

2.1 兩時間尺度的IHB 法

相較于傳統(tǒng)的IHB 法,兩時間尺度的IHB 法在求解含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動過程中有3 點改進之處,具體推導(dǎo)如下.

(1)第一點改進是引入兩個時間變量代替式(2)中針對于周期解的一個時間變量τ=ωt,如下那么x(t)是τ1和τ2的函數(shù),即x(t)=x(ωt,ωdt)=x(τ1,τ2).記

同樣,利用增量過程,對于第一步的兩時間尺度IHB法,設(shè)x0,ω0,ωd0,f0是方程(36)的解,則其鄰近點可表示為

將式(37)代入方程(36),并忽略高階小量,得到以?x,?ω,?ωd,?f為未知量的增量方程

(2)第二點改進是將x0展開為含有兩個時間變量τ1和τ2的二重傅里葉級數(shù)形式

式中,Nm是傅里葉級數(shù)中保留到最高階諧波項的項數(shù),和是諧波項系數(shù).在含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動中,發(fā)現(xiàn)了其頻譜的邊頻帶是集中在頻率ω 及其奇數(shù)倍頻上,即ω,3ω,5ω,···,而且邊頻帶內(nèi)相鄰頻率之間的距離是相等的,也就是說,所有含外激勵van der Pol-Mathieu方程的準(zhǔn)周期運動的頻率成份可表示為ω,ω±ωd,ω±2ωd,···,ω ±m(xù)1ωd,3ω,3ω ± ωd,3ω ± 2ωd,···,3ω ±m(xù)2ωd,···,(2nc?1)ω,(2nc?1)ω ± ωd,(2nc?1)ω ±2ωd,···,(2nc?1)ω±m(xù)ncωd,其中2m1+1,2m2+1,···,2mnc+1 是對應(yīng)于ω,3ω,···,(2nc?1)ω 邊頻帶中諧波項的項數(shù).那么式(41)可表示為

2.2 準(zhǔn)周期運動的頻率響應(yīng)曲線

圖3 含外激勵van der Pol-Mathieu 方程周期響應(yīng)的頻率響應(yīng)曲線ω-A1和準(zhǔn)周期運動(QP)的頻率響應(yīng)曲線ω-1,?1,ω-1,0和ω-1,1,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01,(b)為(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖Fig.3 Frequency response curves ω-A1of periodic response and ω-1,?1,ω-1,0,and ω-1,1of quasi-periodic(QP)motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01,(b)is an enlarged view of a zone highlighted in(a)

2.3 不同頻率ω 點的準(zhǔn)周期運動

為了考察含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動特性,在圖3 中選取3 個不同頻率ω 點來分析,第一個點是ω=0.987 35,即在左側(cè)曲線上臨近于分岔點H1;第二個點是ω=0.985,即在左側(cè)比第一個點較遠離分岔點H1;第三個點是ω=1.02,即在右側(cè)曲線上的一點.圖4 至圖6 所示分別為在圖3 中上述3 個點的時間歷程圖,頻譜圖和龐加萊截面圖.表2 所示為利用兩時間尺度IHB 法求出在圖3 中3 個點ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和從表2 可以看出,在系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運動中,當(dāng)頻率ω越遠離Hopf 分岔點時,均勻邊頻帶的頻率間的間距ωd越大.

圖4(a)所示為在分岔點H1附近頻率ω=0.987 35 時分別用四階的RK 數(shù)值法和用含有350個諧波項的兩時間尺度IHB 法計算得到的含外激勵van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期(QP)運動的時間歷程圖,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01.可以看出,準(zhǔn)周期運動具有‘拍’ 現(xiàn)象,且有明顯的包絡(luò)線.圖4(b)是圖4(a)中標(biāo)示區(qū)域的放大圖,可以看出不管是在振幅較大的區(qū)域,還是在如圖4(a)中振幅較小的區(qū)域,兩時間尺度IHB 法得到的結(jié)果與RK 法得到的結(jié)果完全一致.圖4(c)和圖4(d)是頻率ω=0.987 35 點上的準(zhǔn)周期運動的頻譜圖,其中圖4(d)是在頻率ω 附近的頻譜放大圖.從圖4(c)可以看出,頻率成份主要集中在ω,3ω 和5ω 附近,且集中在ω 的幅值遠大于其他幅值;在圖4(d)上標(biāo)示出在靠近ω 的5 個頻率及其幅值,可以得到相鄰頻率間的間距為ωd=8.846 28×10?4,最大的幅值在頻率為ω+ωd=0.988 24 上.

圖4 在分岔點H1附近頻率ω=0.987 35 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.4 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=0.987 35 near the bifurcation point H1

圖4 在分岔點H1附近頻率ω=0.987 35 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01(續(xù))Fig.4 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=0.987 35 near the bifurcation point H1(continued)

圖5 頻率ω=0.985 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.5 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the parametric excitation freqeuncy ω=0.985

圖6 頻率ω=1.020 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的準(zhǔn)周期運動,其中k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05 和f=0.01Fig.6 Quasi-periodic motion of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation with k1=0.01,k2=0.01,k3=0.05,and f=0.01 at the freqeuncy ω=1.020

表2 利用兩時間尺度IHB 法求出在圖3 中三個點ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和1,?1,1,0,1,1Table 2 A prior unknown ωdand three amplitudes 1,?1,1,0,and1,1in frequency response curves of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation that are calculated by the IHB method with two time-scales at the three points ω=0.987 35,0.985,1.02 in Fig.3

表2 利用兩時間尺度IHB 法求出在圖3 中三個點ω=0.987 35,0.985,1.02 處的ωd和1,?1,1,0,1,1Table 2 A prior unknown ωdand three amplitudes 1,?1,1,0,and1,1in frequency response curves of the van der Pol-Mathieu equation with external excitation that are calculated by the IHB method with two time-scales at the three points ω=0.987 35,0.985,1.02 in Fig.3

圖4(e)是取不同的諧波項的兩時間尺度IHB 法和采用RK 法得到的頻率ω=0.987 35 時含外激勵van der Pol-Mathieu 方程準(zhǔn)周期運動的龐加萊截面圖.圖中所示為RK 法得到的和取不同諧波項的兩時間IHB 法得到的龐加萊截面圖,可以看出隨著m1越大,其結(jié)果是收斂的,且越接近于RK 法的結(jié)果;當(dāng)取到m1=70,m2=15,m3=1 時(即諧波總項數(shù)?n=350),兩時間尺度IHB 法得到的結(jié)果與RK 法得到的結(jié)果相吻合,這也說明了含外激勵van der Pol-Mathieu 方程在頻率ω=0.987 35 點上的準(zhǔn)周期運動至少含有175 個頻率.表3 所示為用RK 法和取不同諧波項項數(shù)的兩時間尺度IHB 法得到在ω=0.987 35 處的Amax和Amin的對比,其中Amax和Amin分別是準(zhǔn)周期運動包絡(luò)線幅值的最大值和最小值.從表3 可以看出,隨著諧波項項數(shù)的增加,兩時間尺度IHB 的結(jié)果越接近于RK 法的結(jié)果,進一步說明了在某些頻率點上,兩時間尺度IHB 法需要取足夠的諧波項項數(shù),才能得到精確的結(jié)果.

表3 用RK 法和取不同諧波項項數(shù)的兩時間尺度IHB 法得到在ω=0.987 35 處的Amax和Amin的對比,其中Amax和Amin分別是準(zhǔn)周期運動包絡(luò)線幅值的最大值和最小值Table 3 Comparison of Amaxand Aminfrom the RK method and the IHB method with two time-scales with different harmonic terms at the point ω=0.987 35,where Amaxand Aminare the maximal and minimal value of envelops of the quasi-periodic motions,respectively

圖5 和圖6 分別是在另外兩個點ω=0.985和ω=1.02 上的準(zhǔn)周期運動響應(yīng)情況,得到與點ω=0.987 35 上相似的準(zhǔn)周期運動特征,其中利用兩時間尺度IHB 法得到的結(jié)果所用到的諧波項項數(shù)為=70(m1=10,m2=5,m3=1).圖5(a)和圖6(a)的左部分是在[0,2000]緊縮時間尺度上的時間歷程圖,具有明顯的包絡(luò)線,右部分是在[2960,3000]擴張時間尺度上的時間歷程圖,從圖中可以看出兩時間尺度IHB 法得到的結(jié)果與RK 法得到的結(jié)果完全一致.

觀測在不同頻率ω 點的準(zhǔn)周期運動,可以得到一些有趣的動力學(xué)現(xiàn)象.比較3 個點準(zhǔn)周期運動的時間歷程圖4(a),圖5(a)和圖6(a)可以得知,準(zhǔn)周期運動的包絡(luò)線似乎都有‘周期’,且其‘周期’長度恰似為2πω/ωd,即分別為7012.78,758.17 和414.27,說明越接近分岔點的準(zhǔn)周期運動的包絡(luò)線的‘周期’長度越長;比較3 個點準(zhǔn)周期運動的頻譜圖4(c),圖5(b)和圖6(b)可以得知,越遠離分岔點的準(zhǔn)周期運動的邊頻帶的帶寬越寬且其頻率分布越稀疏,此原因是由于邊頻帶相鄰頻率間的間距變大;比較3 個點準(zhǔn)周期運動的龐加萊截面圖4(e),圖5(d)和圖6(d)可以得知,利用兩時間尺度IHB 法需要不同的諧波項項數(shù)以滿足計算的精度,如在頻率ω=0.987 35 點上需要350 個諧波項,而在其他兩個點上只需70 個諧波項,表明了在不同點上的準(zhǔn)周期運動含有不同的頻率數(shù).

3 結(jié)論

本文基于含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的非線性系統(tǒng),針對系統(tǒng)在自激勵,參數(shù)激勵和外激勵3種激勵共同作用下,利用傳統(tǒng)的IHB 法和兩時間尺度IHB 法分別分析了系統(tǒng)的周期響應(yīng)和準(zhǔn)周期運動響應(yīng),得到的結(jié)果與數(shù)值RK 法得到的結(jié)果完全吻合,并得到以下結(jié)論.

(1)在含外激勵van der Pol-Mathieu 方程的周期響應(yīng)中含有兩種類型的分岔,Saddle-node 分岔和Hopf 分岔.Saddle-node 分岔會導(dǎo)致跳躍現(xiàn)象,即系統(tǒng)響應(yīng)從一個穩(wěn)態(tài)的周期響應(yīng)跳躍到另一個穩(wěn)態(tài)的周期響應(yīng);Hopf 分岔會導(dǎo)致準(zhǔn)周期運動,即系統(tǒng)響應(yīng)從周期響應(yīng)變化到準(zhǔn)周期運動響應(yīng).另外,在兩個周期解的Saddle-node 分岔點區(qū)域間含有兩個穩(wěn)定的周期解.

(2)含外激勵van der Pol-Mathieu 方程中,由于自激振動和參數(shù)激振聯(lián)合作用下,會產(chǎn)生準(zhǔn)周期運動響應(yīng),并發(fā)現(xiàn)其新特性.在準(zhǔn)周期運動的頻譜中，頻率ω,3ω,5ω 附近含有邊頻帶,且邊頻帶是均勻的，即邊頻帶中相鄰頻率的間距ωd是一樣的；在準(zhǔn)周期運動的時間歷程圖中，準(zhǔn)周期的包絡(luò)線也有‘周期’,其‘周期’為2πω/ωd.

(3)在不同點上的準(zhǔn)周期運動響應(yīng)有不同的動力學(xué)特征.越靠近Hopf 分岔點的準(zhǔn)周期運動響應(yīng),其邊頻帶的帶寬越小,且其頻率分布越密集,同時其包絡(luò)線的‘周期’越長.另外,在不同點上的準(zhǔn)周期運動響應(yīng)所含的頻率數(shù)目也不同.

此外,針對準(zhǔn)周期運動響應(yīng)含有大量的頻率成份,如何有效提高兩時間尺度IHB 法的計算效率將是進一步的研究工作.