基于排隊論的教學(xué)樓最優(yōu)電梯數(shù)量探究

方文雅 吳格致 陳霖

基金項目：本文由西南民族大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計劃項目（項目編號：S201110656066）資助。

作者簡介：方文雅（2001—），女，本科，研究方向為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

吳格致（2001—），女，本科，研究方向為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

陳霖（2000—），女，本科，研究方向為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

摘 要：該文基于西南民族大學(xué)教學(xué)樓電梯使用高峰期上下客的數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)軟件，對排隊時間過長等問題進行了分析。并且在此基礎(chǔ)上，還運用排隊論，建立了數(shù)學(xué)模型。接著使用相關(guān)算法，計算出乘客的平均到達率、平均服務(wù)率及模型的特征指標(biāo)，并分析西南民族大學(xué)教學(xué)樓電梯分布的合理性，得到在教學(xué)樓中間加裝一部電梯更為合理的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：電梯數(shù)量 ?排隊論 ?平均到達率 ?平均服務(wù)率

中圖分類號：O 226 ???文獻標(biāo)識號：A ????文章編號：1672-3791（2021）12（c）-0000-00

高層建筑的發(fā)展，電梯已經(jīng)成為生活中必不可少的工具，但是乘坐電梯的遇到的人流擁堵問題仍然時常發(fā)生。不僅如此，排隊也是人們生活中的普遍現(xiàn)象。客梯數(shù)量過多會造成資源浪費，而客梯數(shù)量不足則會導(dǎo)致乘客滯留，造成乘客排隊時間長，客梯服務(wù)強度大。為此，該文通過收集西南民族大學(xué)教學(xué)樓電梯運行的相關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)建和求解電梯排隊和等待的數(shù)學(xué)模型[1]，探討學(xué)生排隊等候時間是否過長、教學(xué)樓電梯運力是否足夠、分析目前教學(xué)樓的電梯配置是否合理和確定教學(xué)樓最優(yōu)電梯數(shù)量等問題，達到提高服務(wù)水平、減少運營成本等目的。

1 教學(xué)樓電梯配置的調(diào)研分析

該文考慮對西南民族大學(xué)航空港校區(qū)博才樓和博學(xué)樓兩種類型的教學(xué)樓進行分析。

博才樓位于西南民族大學(xué)航空港校區(qū)博學(xué)樓的東側(cè)，78個教室，共6層。每次約容納1 335位師生在此上課。僅有一部電梯供乘客使用。博學(xué)樓坐落于西南民族大學(xué)航空港校區(qū)的東北區(qū)域，102個教室，共6層。上課師生達1 900人次。配備兩部電梯供乘客使用。

1.1 電梯配置評定指標(biāo)

電梯控制學(xué)中有一套電梯服務(wù)質(zhì)量品定指標(biāo)，根據(jù)5 min載客率（CE）、平均候梯時間（INT）、平均行程時間（PNT）這3個數(shù)據(jù)，從理性及量化的角度來驗證建筑的垂直交通組織數(shù)量配置是否合理[2]。學(xué)校屬公共事業(yè)類，查閱文獻得到我國對于這三項指標(biāo)具體要求見表1[3]。

表1中平均候梯時間（INT），即電梯到達的平均間隔，由于電梯的到達間隔時間也是一個隨機數(shù)，所以取其平均表示，單位：人/min。5 min載客率（CE）為5 min期間電梯最大的運送能力與全樓全部人員的比值。

平均行程時間（PNT）是指乘客自電梯關(guān)門啟程起到運行到目的地的路程時間的統(tǒng)計平均值 [4]。

1.2 數(shù)據(jù)計算與分析

此次探究收集西南民族大學(xué)教學(xué)樓電梯運行的數(shù)據(jù)，記錄了電梯運行周期數(shù)n，電梯第i次運行周期內(nèi)乘客到達數(shù)，候梯隊長，最長候梯時間，進入電梯人數(shù)，電梯行程時間，以及整棟教學(xué)樓上課人數(shù)Q。根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)，下面對表1中的3項指標(biāo)進行分析。

在電梯實際運行過程中，只有3～6樓的師生乘坐電梯，近似可認為電梯平均行程時間，即為電梯運行至4.5樓的時間，則有：

由計算公式

其中L為電梯臺數(shù)，為單梯往返一周的時間。在實際電梯使用過程中，乘客是不間斷到來的，則可近似認為=Wi，于是

對5 min載客率CE，則取每一組數(shù)據(jù)內(nèi)，5 min內(nèi)進入電梯最多人數(shù)之和與全樓全部人員的比值，即

其中t=0時，即為5 min進入電梯最多人數(shù)的起始時刻。

將記錄所得的數(shù)據(jù)代入上述計算過程，得到的結(jié)果見表2、表3和表4。

根據(jù)表2、表3、表4的數(shù)據(jù)對比，發(fā)現(xiàn)西南民族大學(xué)教學(xué)樓電梯均存在交通運力不足的問題，在實際使用中不足以應(yīng)付高峰期的人流量。平均行程時間（PNT）主要取決于轎廂速度、樓層高度及建筑物的服務(wù)層數(shù)，增加電梯臺數(shù)并不能降低平均行程時間。而5 min載客率（CE）和平均候梯時間（INT），則可以通過增加電梯數(shù)量從而提高電梯交通服務(wù)質(zhì)量。

2 電梯載客排隊分析

在電梯運送乘客過程中，待乘梯旅客和電梯組成一個多服務(wù)臺等待制排隊模型M/M/L[5]，其主要包括乘客到達過程、排隊規(guī)則、客梯這3個基本組成部分。

2.1乘客到達過程

驗證乘客到達時間只與時間區(qū)間長度有關(guān)，不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達乘梯處的乘客是獨立的，并且乘客到達是一個隨機動態(tài)過程。

2.2排隊規(guī)則

驗證乘客以先到先服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)，且為等待制[6]，乘客可根據(jù)客梯的排隊情況選擇較短的隊列接受服務(wù)。若乘客到達乘梯處時，有空閑客梯則可直接接受乘梯，服務(wù)結(jié)束后離開客梯;若乘客到達乘梯處時沒有空閑電梯，即所有客梯都在服務(wù)中，則乘客需要排隊等候服務(wù)，直至有空閑客梯時接受服務(wù)。

2.3客梯服務(wù)機構(gòu)

客梯的服務(wù)時間為確定型，其概率分布服從負指數(shù)分布。

3教學(xué)樓客梯數(shù)量優(yōu)化模型

電梯排隊系統(tǒng)到達分布若符合泊松分布規(guī)律，旅客到達的時間間隔t，服從負指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為

其中b為乘客到達率，表示單位時間內(nèi)來到服務(wù)系統(tǒng)的平均乘客數(shù)。

其中 L為服務(wù)站的電梯轎廂數(shù)，m為平均服務(wù)率。r為服務(wù)站中單部電梯服務(wù)強度，是服務(wù)站排隊系統(tǒng)的電梯服務(wù)強度，表示系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)服務(wù)能力之間的關(guān)系。當(dāng)時，所有狀態(tài)為正常返狀態(tài)，此時存在平穩(wěn)分布;當(dāng)時，所有狀態(tài)均為瞬態(tài)。因此根據(jù)文獻可知[7]，當(dāng)時，M/M/L系統(tǒng)存在平穩(wěn)解。因此，當(dāng)時， 模型的特征指標(biāo)如下[8]。

4 模型求解與結(jié)果

4.1 驗證乘客到達的統(tǒng)計分布

一般情況下，乘客到達屬離散型分布，根據(jù)以往經(jīng)驗常采用泊松分布來擬合[9]。但對于電梯乘客到達是否遵循泊松分布，現(xiàn)有文獻缺少實際到達觀測數(shù)據(jù)的實證研究。對此，首先對各教學(xué)樓電梯排隊乘客到達進行實地記錄數(shù)據(jù)，并對排隊乘客到達的規(guī)律進行研究，運用非參數(shù)檢驗方法檢驗旅客到達的統(tǒng)計分布特性。以2021年5月各教學(xué)樓電梯排隊情況為例，在上課時間前20 min時間段內(nèi)單位時間的評論到達人數(shù)及其頻數(shù)，具體數(shù)據(jù)如表5所示。

基于表5數(shù)據(jù)，運用柯爾莫哥洛夫-斯米洛夫檢驗方法（Kolmogorov-Smirnov，K-S檢驗），利用SPSS軟件分析，對驗證教學(xué)樓電梯排隊人數(shù)是否服從泊松分布進行檢驗，計算得出泊松檢驗參數(shù)雙尾漸近概率值，大于0.05，沒有呈現(xiàn)顯著性，即可以認為電梯排隊乘客到達服從泊松分布[10]。

4.2 教學(xué)樓電梯數(shù)量優(yōu)化的計算

根據(jù)以上的分析，以單位時間內(nèi)能夠被服務(wù)完成的平均乘客數(shù)μ、客梯數(shù)量L和單位時間內(nèi)乘客到達數(shù)量為輸入值，模型的計算值為客梯系統(tǒng)服務(wù)強度、乘客等待概率P、乘客乘梯排隊等待時間和隊列長度。

需要測試的模型參數(shù)包括驗證檢票區(qū)單位時間內(nèi)平均到達旅客數(shù)量、電梯載客數(shù)量m、平均服務(wù)率。各項參數(shù)的具體確定方法如下。

對單位時間內(nèi)平均到達旅客數(shù)量。在教學(xué)樓上課前20分鐘時段進行實地考察記錄數(shù)據(jù)，則

對電梯載客數(shù)n，對電梯參數(shù)配置的調(diào)查，查閱到客梯的載客數(shù)m=13。

對平均服務(wù)率，即單位時間內(nèi)能夠被服務(wù)完成的平均顧客數(shù)，有：

其中為電梯往返循環(huán)一周平均時間，由于在上課前20 min始終有人排隊，可近似認為，電梯往返一周時間等于乘客最長排隊時間，則

其中n為電梯運行周期數(shù)。由（10）式可得

將實地考察記錄所得數(shù)據(jù)代入（9）和（11），得到平均到達旅客數(shù)量、平均服務(wù)率，再利用（5）～（8）式，求出模型特征指標(biāo)。表6為博才樓=5.41030，m=5.0931的M/M/L系統(tǒng)課前20 min時段的計算結(jié)果及評價指標(biāo)。

當(dāng)前博才樓只有一部電梯，正如表中服務(wù)強度超過1，客梯無法滿足需要，導(dǎo)致排隊人數(shù)越來越多，等待時間過長，加之課間時間有限，排隊現(xiàn)象嚴重。若增加一臺客梯，則服務(wù)強度明顯降低，乘客等待概率減小，等待時間也在合理范圍內(nèi)（參考公共事業(yè)類30～60 s，符合標(biāo)準(zhǔn)），這說明增加一個客梯是合理的，但如果設(shè)置3臺客梯，對師生來說沒有必要且會造成浪費[11]。

博學(xué)樓雖然有兩臺客梯，但由于教學(xué)樓特殊的結(jié)構(gòu)和電梯位置，可以看成是兩個獨立的M/M/L排隊系統(tǒng)，表7為博學(xué)樓=5.369 04，m=5.003 27的計算結(jié)果和評價指標(biāo)。

若在博學(xué)樓正中間安裝一個客梯，則3個電梯可組成一個M/M/3電梯系統(tǒng)。表8為博學(xué)樓=9.851 45，m=5.003 27的M/M/L系統(tǒng)課前20 min時段的計算結(jié)果及評價指標(biāo)。

根據(jù)表7和表8，對于博學(xué)樓，現(xiàn)有的兩個電梯服務(wù)強度超過1，無法滿足師生的需求。增加電梯有兩個方案，一個是在博學(xué)樓左右兩棟教學(xué)樓各加裝1部客梯，一個是在教學(xué)樓中間加裝1部客梯，即對兩個M/M/2和一個M/M/3系統(tǒng)進行比較，從表中各個指標(biāo)可以看出兩個模型排隊概率均減小，等待時間也都符合國家規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)（參考公共事業(yè)類30～60 s）。但考慮服務(wù)成本的問題，在教學(xué)樓中間加裝1部客梯明顯更加合理。

5 結(jié)語

基于以上電梯數(shù)量優(yōu)化方法與計算結(jié)果，對提高教學(xué)樓電梯服務(wù)效率提出以下建議。

增加教學(xué)樓電梯數(shù)量?？紤]在博才樓、博學(xué)樓各增設(shè)一部電梯，以此減少電梯系統(tǒng)服務(wù)強度，減少師生乘梯等待時間。

實行電梯數(shù)量彈性控制。根據(jù)師生上課人數(shù)，將全天分為高峰時段與非高峰時段，在保證電梯服務(wù)水平的前提下，實行客梯數(shù)量的彈性控制，在保證運輸能力的同時也做到了節(jié)約能耗。

優(yōu)化學(xué)校排課方案。盡量將師生上課的教室樓層從低至高安排，且上課人數(shù)較多的班級安排在較低層，保證低層數(shù)教室得到更多利用，減輕電梯運載壓力。

提高樓梯使用率。合理優(yōu)化立體交通方式，對于在3層以下上課的師生以及下課后需下行的同學(xué)，在無特殊情況下，建議其使用樓梯。

基于實測的數(shù)據(jù)擬合，驗證了教學(xué)樓電梯排隊中的單個服務(wù)站乘客到達分布符合泊松分布;運用排隊論理論建立了M/M/L模型，其優(yōu)化結(jié)果可判斷教學(xué)樓電梯數(shù)量是否合理。通過實例計算，結(jié)果表明了該模型具有有效性，基于排隊論方法進行驗證教學(xué)樓電梯數(shù)量優(yōu)化配置，可以明顯提高師生在乘梯高峰期使用電梯的效率;對于增設(shè)電梯的提議，于學(xué)校而言，可以提高對師生的服務(wù)質(zhì)量，體現(xiàn)以學(xué)生為本的人文關(guān)懷。于師生而言，可以縮短在課間乘梯高峰期的排隊時間，提高出行效率?？尚行暂^高。

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