基于分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的隧道工后固結(jié)沉降

鄢豪杰， 鄭俊杰， 潘 雨， 陳鵬飛

(華中科技大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

隨著我國城市建設(shè)的發(fā)展，越來越多的城市開始了地鐵的建設(shè)，為居民出行帶來了極大的便利。然而由于地鐵線路走向需要綜合考慮政治、經(jīng)濟(jì)等多方面因素，因此往往不可避免的需要建在軟黏土地層中，導(dǎo)致隧道在開挖完成后很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)仍然會(huì)發(fā)生較大的沉降，長(zhǎng)期沉降甚至?xí)嫉娇偝两盗康?0%～90%[1]，如不能對(duì)此部分沉降加以分析和控制，極有可能會(huì)引起隧道結(jié)構(gòu)的變形甚至破壞，造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失，因此非常有必要對(duì)隧道開挖完成后的長(zhǎng)期沉降進(jìn)行深入研究。

Terzaghi[2]通過對(duì)芝加哥地鐵的長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，提出土體孔隙水壓力消散產(chǎn)生的固結(jié)導(dǎo)致了隧道的工后沉降。張冬梅[3]將隧道工后固結(jié)問題簡(jiǎn)化為有側(cè)限的單向壓縮問題，并利用三元件模型預(yù)測(cè)了上海地鐵1號(hào)線的長(zhǎng)期沉降，但部分測(cè)點(diǎn)存在較大的誤差。魏綱[4]針對(duì)張冬梅[3]文中的不合理之處，假定盾構(gòu)隧道開挖引起的初始超孔隙水壓力分布為三角形分布、隧道襯砌為不排水邊界，對(duì)隧道軸線上方土體的工后沉降進(jìn)行了研究。楊澤飛等[5]運(yùn)用分層總和法，采用魏新江等[6]提出的盾構(gòu)施工引起的初始超孔隙水壓力分布，計(jì)算了盾構(gòu)擾動(dòng)區(qū)的固結(jié)沉降，但同樣沒有考慮到隧道襯砌的滲透性。

可以看到，現(xiàn)有的研究大部分都假設(shè)隧道襯砌為不排水邊界，并且沒有考慮地下水位的影響，但Mair等[7]指出影響地表長(zhǎng)期沉降的因素主要有四點(diǎn)，即隧道開挖引起的初始超孔隙水壓力、土體的物理性質(zhì)、隧道襯砌滲透性和地下水位的影響。因此，本文針對(duì)現(xiàn)有研究的不足之處，假設(shè)隧道開挖引起的軸線上方初始超孔隙水壓力呈三角形分布，壓縮層厚度為隧道上方全部覆土深度，隧道襯砌為半透水邊界，考慮地下水位線，并且引入能更好的描述土體蠕變的分?jǐn)?shù)階三元件本構(gòu)模型來求解隧道軸線上方土體的工后沉降，該方法可以全面考慮Mair等[7]提出的四個(gè)因素。

1 分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型

元件模型由于其物理意義明確、模型直觀的優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于土體固結(jié)的研究中。Gemant[8]通過試驗(yàn)得出土體應(yīng)力與應(yīng)變之間存在著分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)關(guān)系，隨后分?jǐn)?shù)階微積分理論開始被應(yīng)用于土體固結(jié)的研究中?；诖死碚?，殷德順等[9]通過對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階本構(gòu)關(guān)系可以更好的描述土體的蠕變行為。目前，分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型在土體的研究中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分理論

在實(shí)際工程中應(yīng)用最廣泛的分?jǐn)?shù)階算子理論是Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論[10]，該理論對(duì)f(t)的α階積分的定義為：

其中Γ(α)為伽瑪函數(shù)，α為分?jǐn)?shù)階次。

1.2 分?jǐn)?shù)階三元件模型

理想彈性固體本構(gòu)方程為σt=Eεt(式中：σt為模型受到的應(yīng)力；εt為模型的應(yīng)變；E為模型的彈性模量)，可將應(yīng)力看作正比于應(yīng)變對(duì)時(shí)間的零階導(dǎo)數(shù)。牛頓黏壺的本構(gòu)方程為σt=ηdε/dt(式中：η為模型的黏滯系數(shù))，可將應(yīng)力看作正比于應(yīng)變對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。Koeller[11]提出了一種基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的元件，其本構(gòu)關(guān)系介于上述兩種元件之間，本構(gòu)方程如式(1)所示。當(dāng)α取0時(shí)，元件退化為彈性元件；當(dāng)α取1時(shí)，元件退化為牛頓黏壺。將傳統(tǒng)三元件模型中的牛頓黏壺替換為本文中的分?jǐn)?shù)階元件，就得到了分?jǐn)?shù)階三元件模型，如圖1所示。

圖1 分?jǐn)?shù)階三元件模型

(1)

式中：c=E1-αηα，0≤α≤1。

下面推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階三元件模型在拉普拉斯變換域中的本構(gòu)方程。根據(jù)并聯(lián)模型總應(yīng)力等于各部分應(yīng)力之和，串聯(lián)模型總應(yīng)變等于各部分應(yīng)變之和，可得：

(2)

式中：σt為模型受到的應(yīng)力；εt,1為模型并聯(lián)部分的應(yīng)變；εt,2為串聯(lián)的彈性元件的應(yīng)變；εt為模型總應(yīng)變。

將式(2)進(jìn)行拉普拉斯變換可得：

(3)

式中：σs，εs,1，εs,2，εs分別為σt，εt,1，εt,2，εt的拉普拉斯變換式。

由式(3)得到分?jǐn)?shù)階三元件模型本構(gòu)方程的拉普拉斯變換式為：

(4)

式(4)僅適用于無側(cè)限壓縮，對(duì)于有側(cè)限壓縮的情況，根據(jù)張冬梅[3]得出的無側(cè)限和有側(cè)限情況下的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得有側(cè)限情況下分?jǐn)?shù)階三元件模型本構(gòu)方程的拉普拉斯變換式為：

(5)

2 公式推導(dǎo)

2.1 基本假設(shè)

張冬梅[3]認(rèn)為盾構(gòu)工后沉降主要是由隧道上方1 m范圍內(nèi)土體的壓縮變形引起的，因此只考慮隧道上方1 m范圍內(nèi)的土體擾動(dòng)，并且將隧道上方1 m范圍以外的土體自重視為均布荷載，但事實(shí)上，盾構(gòu)引起的初始超孔隙水壓力應(yīng)一直延續(xù)到地下水位處[4]。因此，本文取隧道拱頂至地下水位間的土體進(jìn)行計(jì)算，并將地下水位之上的土體自重視為均布荷載，同時(shí)作如下假設(shè)：

(1)不考慮隧道下方土體的變形，同時(shí)隧道結(jié)構(gòu)變形相對(duì)土體沉降非常小，因此也不予考慮；

(2)土體壓縮層厚度取為隧道上方地下水位以下全部覆土厚度，外荷載只考慮地下水位以上土體的自重；

(3)隧道上方初始超孔隙水壓力分布形式為三角形分布；

(4)地表視為完全透水邊界，隧道襯砌視為半透水邊界。

基于上述假設(shè)的計(jì)算示意圖如圖2所示。

圖2 計(jì)算示意

2.2 公式推導(dǎo)

設(shè)隧道襯砌厚度為b；所取土層厚度為h；土體重度為γ；土體滲透系數(shù)為k；襯砌滲透系數(shù)為k1；隧道開挖引起的拱頂和地表初始超孔隙水壓力分別為q2，q1，當(dāng)q1取0時(shí)即退化為本文假設(shè)的三角形分布；均布荷載q為地下水位以上土體壓力。

采用太沙基一維固結(jié)理論中的假設(shè)，則土體滲流方程為：

(6)

式中：ε(z,t)為深度z處的土體在t時(shí)刻的應(yīng)變；σ′(z,t)為深度z處的土體在t時(shí)刻有效應(yīng)力的增量；γw為水的重度。

將式(6)進(jìn)行拉普拉斯變換得：

(7)

由式(5)知分?jǐn)?shù)階三元件模型本構(gòu)方程的拉普拉斯變換式為：

(8)

將式(8)代入式(7)得：

(9)

解式(9)得：

(10)

襯砌視為半透水邊界，則：

(11)

設(shè)深度為z處初始超孔隙水壓力為pz，根據(jù)有效應(yīng)力原理由式(11)得：

(12)

將式(12)進(jìn)行拉普拉斯變換得：

(13)

將式(10)對(duì)z求導(dǎo)可得：

(14)

將式(14)代入式(13)得：

(15)

對(duì)于本節(jié)假設(shè)有：

(16)

將式(16)代入式(15)同時(shí)令z=h可得底面的邊界條件為：

(17)

地表為全透水邊界，則z=0時(shí)有：

(18)

將式(18)進(jìn)行拉普拉斯變換并帶入式(10)可得地表的邊界條件為：

A1+A2=(q1+q)/s

(19)

聯(lián)立式(17)(19)可得：

(20)

代入式(10)可得深度z處土體的有效應(yīng)力為：

(21)

則土體的沉降在變換域內(nèi)的表達(dá)式為：

(22)

將式(22)進(jìn)行拉普拉斯數(shù)值反演即可得到任意時(shí)刻隧道工后土體的沉降值，本文采用文獻(xiàn)[12]中的方法來反演，并通過歐拉變換來加快收斂速度。具體方法如下：

(23)

式中：a為計(jì)算參數(shù)，取為6。

對(duì)式(23)中的求和部分進(jìn)行歐拉變換：

(24)

式中：Ek通過如下遞推式求得：

k=ndif-1,ndif-2,…,1

(25)

式中：ndif為歐拉求和的項(xiàng)數(shù)。

3 對(duì)盾構(gòu)隧道工后固結(jié)沉降的預(yù)測(cè)

上海地鐵1號(hào)線全長(zhǎng)14.57 km，所處土層為淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土和淤泥質(zhì)黏土，區(qū)間盾構(gòu)隧道外徑6.2 m，內(nèi)徑5.5 m，覆土厚7 m，地下水位1 m，土體加權(quán)平均重度γ=18 kN/m3，滲透系數(shù)為k=5.4×10-9m/s，泊松比為ν=0.35，包鶴立[13]根據(jù)上海地鐵允許滲流速度得出襯砌的滲透系數(shù)為k1=3.89×10-11m/s，張冬梅[3]和魏綱[4]分別使用應(yīng)力路徑法和應(yīng)力釋放理論得出上海地鐵1號(hào)線區(qū)間盾構(gòu)隧道拱頂?shù)某跏汲紫端畨毫?0.3，32.8 kPa，參考兩人的結(jié)果將拱頂初始超孔隙水壓力取為30 kPa。本節(jié)將通過2.2節(jié)中推導(dǎo)的公式對(duì)上海地鐵1號(hào)線土體的工后長(zhǎng)期固結(jié)沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，為了方便與張冬梅[3]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，選取P14，N12兩個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。

3.1 土體力學(xué)參數(shù)確定

本節(jié)使用BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來反演上海地鐵1號(hào)線土體的力學(xué)參數(shù)，待確定的參數(shù)有E1m，E2m，ηm，α。通過一定的試算將每個(gè)參數(shù)取5個(gè)水平，然后采用正交設(shè)計(jì)法[14]設(shè)計(jì)25組計(jì)算參數(shù)組合方案作為輸出層樣本，將25組方案計(jì)算出的沉降量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層樣本，進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。訓(xùn)練完成后將實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)輸入即可反演出土體參數(shù)如表1所示。

表1 反演出的土體參數(shù)

反演出的地表沉降與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以及張冬梅方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如圖3，4所示。從圖中可以看出，本文計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)基本一致，并且相比于張冬梅文中的方法更接近實(shí)測(cè)值。張冬梅計(jì)算結(jié)果中P14測(cè)點(diǎn)前期的沉降值明顯比實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)小，說明該方法低估了土體前期的固結(jié)速度，而本文所用的分?jǐn)?shù)階三元件模型則大大改進(jìn)了這一缺陷?？傮w來看，采用分?jǐn)?shù)階三單元本構(gòu)模型來模擬隧道上方土體工后長(zhǎng)期固結(jié)沉降是可行的，并且比普通的三元件本構(gòu)模型精度更高。

圖3 P14測(cè)點(diǎn)沉降對(duì)比

圖4 N12測(cè)點(diǎn)沉降對(duì)比

3.2 沉降預(yù)測(cè)

通過反演出的土體力學(xué)參數(shù)及2.2節(jié)中推導(dǎo)出的公式對(duì)上海地鐵1號(hào)線P14，N12兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的固結(jié)沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如圖5，6所示?？梢钥吹?，兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的沉降隨時(shí)間逐漸增大，并分別在600，400 d左右基本達(dá)到穩(wěn)定，P14測(cè)點(diǎn)的最終沉降量約為75 mm，N14測(cè)點(diǎn)的最終沉降量約為76 mm。同時(shí)可以看到在沉降發(fā)展初期N12測(cè)點(diǎn)比P14測(cè)點(diǎn)沉降速度更大，且最終達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間短，這主要是因?yàn)镹12測(cè)點(diǎn)的黏滯系數(shù)較小和分?jǐn)?shù)階次較大。說明土體性質(zhì)對(duì)沉降的發(fā)展有很大的影響，土體黏滯系數(shù)越小，分?jǐn)?shù)階次越大，土體沉降越快。

圖5 P14測(cè)點(diǎn)沉降曲線

圖6 N12測(cè)點(diǎn)沉降曲線

4 襯砌滲透系數(shù)對(duì)工后沉降的影響

現(xiàn)有的大部分研究均假設(shè)隧道襯砌為不透水邊界，然而隧道襯砌的滲透性對(duì)地表長(zhǎng)期沉降有著非常重要的影響，實(shí)際工程中襯砌滲水現(xiàn)象在盾構(gòu)隧道中時(shí)有發(fā)生，造成了嚴(yán)重的安全隱患，因此研究隧道襯砌滲透性對(duì)長(zhǎng)期沉降的影響有著非常重要的意義。分別取k1/k為0.0001，0.001，0.01，0.1計(jì)算P14和N12兩個(gè)測(cè)點(diǎn)的沉降，結(jié)果如圖7，8所示。

圖7 P14測(cè)點(diǎn)沉降曲線

圖8 N12測(cè)點(diǎn)沉降曲線

可以看出，隨著k1/k的增大，即隧道襯砌滲透性越大，土體初期沉降速率越大，沉降越早達(dá)到穩(wěn)定。當(dāng)k1/k小于0.001時(shí)，襯砌滲透系數(shù)的變化對(duì)沉降的影響已不再明顯，說明當(dāng)k1/k小于0.001時(shí)隧道襯砌可視為完全不透水邊界，大于0.001時(shí)應(yīng)視為半透水邊界。而上海地鐵1號(hào)線實(shí)際的k1/k為0.0072，應(yīng)視為半透水邊界，這也驗(yàn)證了本文假設(shè)的合理性。

5 結(jié) 論

本文在假定隧道開挖引起的初始超孔隙水壓力為三角形分布、隧道襯砌為半透水邊界的前提下，通過分?jǐn)?shù)階三元件本構(gòu)模型，使用太沙基一維固結(jié)理論和拉普拉斯變換推導(dǎo)出了盾構(gòu)隧道開挖引起的工后長(zhǎng)期沉降解，可用于預(yù)測(cè)實(shí)際工程中盾構(gòu)隧道開挖引起的土體長(zhǎng)期沉降，并得出了以下結(jié)論：

(1)分?jǐn)?shù)階三元件本構(gòu)模型可用于模擬隧道開挖引起的土體長(zhǎng)期沉降，并且比普通的三元件模型具有更高的精度；

(2)工后沉降受土體黏滯系數(shù)和分?jǐn)?shù)階次的影響很明顯，黏滯系數(shù)越大，分?jǐn)?shù)階次越小，土體沉降發(fā)展越慢，達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間越長(zhǎng)；

(3)隧道襯砌的滲透性對(duì)長(zhǎng)期沉降的影響不可忽略，襯砌的滲透系數(shù)越大，固結(jié)初期沉降速率越大，沉降值越大。

(4)當(dāng)k1/k小于0.001時(shí)襯砌可視為完全不透水邊界，大于0.001時(shí)應(yīng)視為半透水邊界。對(duì)于上海地鐵1號(hào)線，應(yīng)將襯砌視為半透水邊界。