中低速磁懸浮列車-多跨簡(jiǎn)支梁橋耦合振動(dòng)分析

周 宏

(中鐵十一局集團(tuán)第一工程有限公司， 湖北 襄陽 441199)

中低速磁懸浮列車發(fā)展迅速，韓國、中國的中低速磁懸浮列車分別于2015年、2016年相繼通車運(yùn)行，國內(nèi)還有多條磁懸浮快線仍在規(guī)劃建設(shè)中。相對(duì)于地鐵、高鐵其他軌道交通，磁懸浮列車具有低噪聲、低成本、低振動(dòng)，綠色環(huán)保，轉(zhuǎn)彎半徑小，爬坡能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。為了節(jié)約土地和減輕地基沉降影響，中低速磁懸浮線路主要采用連續(xù)高架簡(jiǎn)支梁橋，其在總造價(jià)中所占比例60%～80%[1]。因此，研究中低速磁懸浮車橋耦合振動(dòng)對(duì)行車質(zhì)量、舒適性、經(jīng)濟(jì)效益以及未來磁懸浮列車的發(fā)展都意義重大。

國內(nèi)外對(duì)于磁懸浮列車橋耦合振動(dòng)做了大量研究：Cai等[2～4]研究了彈簧和阻尼代替電磁力的多剛體車橋振動(dòng)模型，這樣沒有考慮控制電磁力的影響，不能充分體現(xiàn)磁懸浮車橋耦合振動(dòng)特點(diǎn)。梁鑫等[5～7]對(duì)單跨簡(jiǎn)支梁橋下的磁懸浮車橋振動(dòng)進(jìn)行了分析，列車的振動(dòng)響應(yīng)難以達(dá)到穩(wěn)定狀況，不能反映實(shí)際情況中普遍存在多跨簡(jiǎn)支梁。武建軍等[8,9]探討了軌道平順下的磁懸浮車橋振動(dòng)。以上這些研究中橋梁計(jì)算基本上采用陣型疊加法，陣型為解析式，只能適用于等截面的簡(jiǎn)支梁橋和跨數(shù)較少的連續(xù)梁橋。為此，本文以通用有限元分析為基礎(chǔ)，詳細(xì)考慮磁懸浮列車、多跨簡(jiǎn)支梁橋、軌道不平順和電磁力組成的大系統(tǒng)，主要對(duì)中低速磁浮列車-多跨簡(jiǎn)支梁橋的耦合振動(dòng)進(jìn)行精細(xì)化仿真分析。

1 磁浮列車-簡(jiǎn)支梁橋系統(tǒng)模型及動(dòng)力方程

目前研究的磁浮列車主要分為EMS(Electromagnetic Suspension)型磁浮列車和EDS(Electrodynamic Suspension)型磁浮列車兩種類型，其中EMS型磁浮列車依靠固定在懸浮架上的電磁鐵與軌道上永磁體之間產(chǎn)生吸力而懸浮車體，而EDS型磁浮列車依靠車體上超導(dǎo)電磁力與軌道上的線圈之間產(chǎn)生斥力懸浮車體。EMS型磁浮列車又分為中低速磁浮列車和和高速磁浮列車。中低速磁浮列車UTM-01包含一個(gè)車體和三個(gè)懸浮架，高速磁浮列車TR06一般含有一個(gè)車體和四個(gè)轉(zhuǎn)向架。本文以中低速EMS型磁浮列車UTM-01為研究對(duì)象。車體與懸浮架通過線性彈簧與阻尼連接，懸浮架通過控制電磁力與橋梁軌道相互作用。以單節(jié)中低速磁浮列車為例，單個(gè)懸浮架與橋梁之間電磁力采用4個(gè)集中力模擬，這正好滿足精度要求，也就是懸浮架與軌道之間至少采用4個(gè)集中力來模擬均布電磁力[10]。如圖1(圖中：mc和mb分別為車體質(zhì)量和轉(zhuǎn)向架質(zhì)量；yc和θc分別為車體的豎向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ybj和θbj分別為第j個(gè)轉(zhuǎn)向架的豎向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(j=1,2,3)；ks和cs分別為懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼；c0為中間彈簧阻尼系統(tǒng)到車體重心的橫向距離；r0為彈簧阻尼系統(tǒng)到轉(zhuǎn)向架重心的橫向距離；ΔFi為第i(i=1,2,3,…,12)個(gè)波動(dòng)電磁力)所示。中低速磁懸浮列車和高速磁懸浮列車參數(shù)如表1。

圖1 中低速EMS型磁懸浮列車簡(jiǎn)化模型

1.1 電磁力方程

懸浮架與橋梁之間電磁力與電流和氣隙之間的關(guān)系式是非線性的，對(duì)非線性電磁力平衡點(diǎn)附近進(jìn)行泰勒展開，忽略高階電流和氣隙作用，則非線性電磁力可表示為[12,13]：

(1)

Fi=F0+ΔFi

(2)

(3)

(4)

電壓、電流之間的關(guān)系式可表示為[14]：

(5)

式中：A為間隙處電磁鐵鐵芯的橫截面面積；N為電磁鐵線圈的匝數(shù)；μ為真空磁導(dǎo)率；R為線圈電阻；h0為額定氣隙；i0為初始電流；ii為控制電流；M為懸浮體的總體質(zhì)量(2442 kg)；Fi為第i個(gè)電磁力為平衡點(diǎn)處的電磁力(23.93 kN)；F0為平衡點(diǎn)處的電磁力(23.93 kN)；Δii為動(dòng)態(tài)輸出的電流；hi為第i個(gè)電磁力所對(duì)應(yīng)的懸浮架與橋梁之間的氣隙；Δhi為第i個(gè)電磁力所對(duì)應(yīng)的懸浮架與橋梁之間氣隙變化量；ΔUi為第i個(gè)控制反饋電壓；g為重力加速度。

控制電壓ΔUi采用懸浮架加速度、懸浮架速度和氣隙間的相對(duì)變化位移Δhi反饋，即[15]：

(6)

Δhi=yei-ydi-ui

(7)

懸浮列車控制參數(shù)如表1所示[7,12,16]。懸浮

架和橋梁的位移，以及懸浮架的速度和加速度是依靠車體上的傳感器進(jìn)行測(cè)量，另外線性反饋控制能夠促使氣隙圍繞在額定氣隙上下波動(dòng)。

1.2 磁懸浮列車動(dòng)力方程

分別考慮車體、三個(gè)懸浮架的沉浮和點(diǎn)頭共8個(gè)自由度yc，θc，yb1，θb1，yb2，θb2，yb3，θb3，如圖1所示。單節(jié)磁懸浮列車的動(dòng)力方程為：

(8)

(8i-16)c0ybi-2b0c0θbi]=0

(9)

i=1,2,3

(10)

3r0ΔF4i，i=1,2,3

(11)

1.3 簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)力方程

磁懸浮軌道的剛度遠(yuǎn)小于橋梁的剛度，故可忽略軌道對(duì)磁懸浮車體和橋梁之間耦合振動(dòng)的影響[3]。簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)力方程采用有限元方法建立，完全具有通用性，能計(jì)算復(fù)雜的變截面簡(jiǎn)支梁橋、多跨連續(xù)梁橋和拱橋等，致使磁懸浮車橋振動(dòng)分析能適應(yīng)不同類型的橋梁。簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)力方程為：

(12)

式中：Fv為電磁力Fi通過形函數(shù)轉(zhuǎn)化的節(jié)點(diǎn)力列向量；Mv，Cv，Kv分別為橋梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，阻尼矩陣Cv采用剛度矩陣和質(zhì)量矩陣Mv生成Rayleigh阻尼；yv為橋梁節(jié)點(diǎn)位移列向量。

簡(jiǎn)支梁橋參數(shù)如表2[3]。

表2 簡(jiǎn)支梁橋梁參數(shù)

1.4 軌道不平順

磁浮軌道不平順數(shù)值模擬的功率譜密度函數(shù)采用美國線路高低不平順功率譜，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[10]：

(13)

式中：S(Ω)為軌道不平順功率譜密度；Ωc為截?cái)囝l率，取值為0.8245 rad/m；kp為安全系數(shù)，取常見值0.25；Av為粗糙度常數(shù)，取值為1.5×10-7m2/(rad/m)[7,11]。

車橋梁耦合振動(dòng)中，整體坐標(biāo)原點(diǎn)在多跨簡(jiǎn)支梁的最左端，磁懸浮列車和軌道不平順的起始點(diǎn)距橋頭20 m處。軌道不平順采用三角函數(shù)進(jìn)行模擬，選取的頻率范圍為0.1～1 rad/m，詳細(xì)的模擬過程參考文獻(xiàn)[17]，則軌道不平順如圖2所示。

圖2 數(shù)值模擬軌道不平順曲線

2 磁懸浮車橋耦合計(jì)算程序

基于自編的磁懸浮耦合計(jì)算程序，計(jì)算框架主要分為磁懸浮列車、橋梁(含軌道不平順)和反饋控制力三大塊，其中列車和橋梁通過反饋控制電磁力產(chǎn)生聯(lián)系(圖3)。磁懸浮列車和橋梁動(dòng)力參數(shù)是先計(jì)算好的整體剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，這樣使程序具有通用性，能方便計(jì)算不同類型的列車和橋梁。在列車、橋梁和電磁力這三者動(dòng)力計(jì)算循環(huán)過程中，當(dāng)前時(shí)刻電磁力作用點(diǎn)對(duì)應(yīng)的車輛懸浮架位移、速度和加速度及橋梁位移和速度通過反饋控制電壓形成控制電流，控制電流和氣隙計(jì)算出動(dòng)態(tài)電磁力，動(dòng)態(tài)電磁力同時(shí)作用在橋梁和列車上各自進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算，同時(shí)橋梁上的動(dòng)態(tài)電磁力還需疊加靜態(tài)電磁力。磁懸浮列車上橋前，列車在軌道不平順激勵(lì)下振動(dòng)，橋梁處于靜平衡位置；懸浮列車上橋后，列車的動(dòng)力響應(yīng)受橋梁和軌道不平順影響，列車和橋梁由于電磁力產(chǎn)生耦合振動(dòng)；懸浮列車出橋后，橋梁自由振動(dòng)，列車恢復(fù)到軌道不平順激勵(lì)下的振動(dòng)直至計(jì)算時(shí)間結(jié)束。

3 計(jì)算程序正確性驗(yàn)證

采用德國TR06系列高速磁懸浮列車參數(shù)對(duì)程序的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，考慮一個(gè)車體四個(gè)轉(zhuǎn)向架共10個(gè)自由度，參數(shù)取值如表1，2。TR06雖然屬于高速磁浮列車，但仍然是EMS型磁浮列車，其豎向運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬與中低速磁浮列車相同，故這里可以采用高速磁浮列車對(duì)程序的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。高速磁懸浮列車TR06以速度400 km/h通過多跨長(zhǎng)度為24.768 m的簡(jiǎn)支梁橋，不同工況下車體振動(dòng)穩(wěn)定后的加速度曲線如圖4所示，第1跨簡(jiǎn)支梁橋跨中位移隨時(shí)間的變化曲線如圖5。彈簧和阻尼替代電磁力的車橋耦合振動(dòng)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3]相同，說明程序在此工況中對(duì)于計(jì)算磁懸浮列車/橋梁耦合振動(dòng)的正確性。當(dāng)選取不同反饋控制參數(shù)，車體和橋梁振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果能與彈簧阻尼代替電磁力的車橋耦合振動(dòng)結(jié)果相近。因此，反饋控制方法和合適的控制參數(shù)能較好實(shí)現(xiàn)列車的懸浮。

圖4 車體振動(dòng)穩(wěn)定后的加速度隨時(shí)間變化曲線

圖5 橋梁跨中位移隨時(shí)間變化曲線

4 中低速磁懸浮列車-多跨簡(jiǎn)支梁梁橋耦合振動(dòng)仿真分析

4.1 中低速磁懸浮列車-橋梁耦合振動(dòng)響應(yīng)

中低速磁懸浮列車計(jì)算參數(shù)參考韓國的UTM-01[12]，參數(shù)見表1。三節(jié)磁懸浮列車并列在距離橋頭20 m處以100 km/h勻速駛向10跨長(zhǎng)度為24.768 m的簡(jiǎn)支梁橋，未加軌道不平順下車體的豎向振動(dòng)隨簡(jiǎn)支梁橋數(shù)量的變化情況如圖6所示，第二節(jié)懸浮列車懸浮架與橋梁之間的平均氣隙隨橋梁數(shù)的變化情況如圖7所示。車體在反饋控制下達(dá)到第4座橋時(shí)趨于穩(wěn)定，上下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，前后兩車體的振動(dòng)平衡點(diǎn)基本一致且小于中間車體。三節(jié)車先后上橋，各節(jié)車體引起橋梁豎向位移疊加，中間車體對(duì)應(yīng)的橋梁位移大于前后兩節(jié)車體，導(dǎo)致中間車體豎向振動(dòng)平衡點(diǎn)跟著下降。車體簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平衡點(diǎn)隨著橋梁的豎向位移往下移動(dòng)，對(duì)橋梁的動(dòng)力響應(yīng)具有很好的跟隨性。懸浮架與橋梁之間的氣隙圍著額定氣隙10 mm上下波動(dòng)，波動(dòng)的幅值小于1 mm，反饋控制參數(shù)對(duì)于氣隙有比較好的控制。

圖6 車體位移隨橋梁數(shù)的變化曲線

圖7 氣隙隨橋梁數(shù)的變化曲線

4.2 軌道不平順對(duì)耦合振動(dòng)的影響

三節(jié)磁懸浮列車并列在距離橋頭20 m處以100 km/h勻速駛向10跨長(zhǎng)度為24.768 m的簡(jiǎn)支梁橋，軌道平順與軌道不平順下第一節(jié)車體的動(dòng)力響應(yīng)情況如圖8所示。時(shí)程曲線中磁懸浮列車豎向振動(dòng)具有隨機(jī)性，由耦合振動(dòng)過程中橋梁振動(dòng)的確定性和軌道不平順的隨機(jī)性共同決定，微小的不平順變化也能在車體的振動(dòng)中反應(yīng)出來，軌道線路設(shè)計(jì)施工中應(yīng)嚴(yán)格減小軌道高低不平順。圖8時(shí)頻轉(zhuǎn)換后的振幅與頻率的關(guān)系曲線如圖9，可知從一個(gè)主頻1.2 Hz變成兩個(gè)主頻1.2，0.42 Hz，其振幅也相應(yīng)變大。因此，低頻對(duì)車體的豎向振動(dòng)影響較大，高頻部分幾乎對(duì)車體沒有影響。

圖8 車體豎向振動(dòng)隨橋梁數(shù)的變化曲線

圖9 車體振幅隨頻率的變化曲線

簡(jiǎn)支梁橋由于自身剛度較大，軌道不平順雖然對(duì)車體的振動(dòng)影響大，但在列車中低速度下仍難以促使橋梁振動(dòng)產(chǎn)生明顯變化(圖10)。軌道平順與軌道不平順的橋梁振動(dòng)響應(yīng)曲線基本一致。

圖10 橋梁跨中位移隨列車行駛距離的變化曲線

4.3 速度對(duì)車橋耦合振動(dòng)的影響

不考慮軌道不平順的影響，主要分析磁懸浮列車在中低速下車橋耦合振動(dòng)穩(wěn)定后各振幅的變化。圖11中車體簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅隨著速度的增大先增大后減小，前后車體振幅始終比較接近且明顯大于中間車體的振幅。中低速度下車速為56.7 km/h時(shí)車體的豎向振動(dòng)達(dá)到最大，磁懸浮列車在24.768 m簡(jiǎn)支梁橋行駛過程中應(yīng)盡量遠(yuǎn)離此速度。懸浮架與橋梁之間的平均氣隙幅值隨速度變化曲線如圖12所示，氣隙隨著速度的增大而增大，懸浮架5與橋梁之間的平均氣隙在速度為20 km/h下的0.18 mm迅速增加到速度為100 km/h下的0.8 mm，磁懸浮列車速度對(duì)氣隙影響較大。

圖11 車體振動(dòng)穩(wěn)定后的振幅隨車速的變化曲線

圖12 氣隙振幅隨車速的變化曲線

不同速度下的第一座簡(jiǎn)支梁橋跨中位移曲線如圖13所示，其中橋梁跨中位移變化不大，中低速對(duì)車橋耦合振動(dòng)的橋梁影響較小。

圖13 橋梁跨中位移隨距離的變化曲線

5 結(jié) 論

(1)本文基于自編程序，建立通用的中低速磁浮列車-橋梁耦合確定性振動(dòng)分析平臺(tái)，能方便實(shí)現(xiàn)不同系列車體和不同橋梁的精細(xì)化分析，并對(duì)程序的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。

(2)磁懸浮車橋耦合振動(dòng)過程中，車體振動(dòng)的平衡位置會(huì)隨著橋梁發(fā)生的豎向位移向下移動(dòng)，且前后車體簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅大于中間車體；

(3)軌道不平順主要對(duì)車體的振動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生影響，而對(duì)橋梁的振動(dòng)影響較小，而軌道不平順中主要是低頻部分對(duì)車體動(dòng)力響應(yīng)影響大，應(yīng)嚴(yán)格控制磁懸浮線路軌道不平順的低頻部分以提高乘客的舒適性；

(4)中低速磁浮列車行駛速度對(duì)氣隙和車體振動(dòng)影響較大，而對(duì)橋梁的振動(dòng)影響小，車體的振幅隨著車速增大先增大后減小，在車速為56.7 km/h時(shí)最大。