巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計與仿真實現(xiàn)

黃波

摘 要：數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸數(shù)字信號時經(jīng)常混雜著各種頻率的干擾信號，數(shù)字濾波器可以利用數(shù)值運算，起到其他模擬濾波器根本無法實現(xiàn)的雜波濾除作用。本文首先討論了數(shù)字濾波器的原理，進(jìn)一步給出了巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計思路，然后利用MATLAB軟件實現(xiàn)了對巴特沃斯數(shù)字濾波器的仿真試驗，分析了巴特沃斯數(shù)字濾波器的各類幅頻特性、相關(guān)的設(shè)計方法和對應(yīng)的設(shè)計步驟等。通過巴特沃斯數(shù)字濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)，完成了低通濾波、高通濾波、帶通濾波、帶阻濾波的仿真試驗，最后得到巴特沃斯數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線，并研究了巴特沃斯數(shù)字濾波器的相關(guān)幅頻特性。

關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器;巴特沃斯;MATLAB;幅頻特性

中圖分類號：TN951 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2021）36-0010-03

Design and Simulation of Butterworth Digital Filter

HUANG Bo

（School of electronic information and electrical engineering，Chengdu University，Chengdu Sichuan 610106）

Absrtact：When transmitting digital signals， digital communication systems are often mixed with interference signals of various frequencies. Digital filters can use numerical operation to achieve clutter filtering that other analog filters can not achieve at all. This paper first discusses the principle of digital filter， further gives the design idea of Butterworth digital filter， then realizes the simulation of Butterworth digital filter by using MATLAB software， and analyzes various amplitude frequency characteristics， relevant design methods and corresponding design steps of Butterworth digital filter， through the design and implementation of Butterworth digital filter， the simulation of low-pass filter， high pass filter， band-pass filter and band stop filter are completed. Finally， the amplitude frequency characteristic curve of Butterworth digital filter is obtained， and the related amplitude frequency characteristics of Butterworth digital filter are studied.

Keywords： digital filter; butterworth; MATLAB; amplitude frequency characteristic

數(shù)字濾波器作為數(shù)字信號處理的基礎(chǔ)單元，可以完成對數(shù)字信號實現(xiàn)信號過濾、信號檢測和相關(guān)參數(shù)估計等處理工作。伴隨著全球信息化、數(shù)字信號處理時代的到來，數(shù)字濾波器技術(shù)處理已經(jīng)成為一門非常重要的應(yīng)用學(xué)科和應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域。數(shù)字通信系統(tǒng)在進(jìn)行數(shù)字信號傳輸處理時，傳輸信號中經(jīng)常不可避免地混雜各種類型頻率的干擾信號，所以相當(dāng)多的信號分析處理都是基于數(shù)字濾波器而展開工作的。這種數(shù)字濾波器不僅具有非常高的精度和可靠性，還具有程控改變相關(guān)特性或復(fù)用、系統(tǒng)比較容易集成處理等優(yōu)勢。數(shù)字濾波器在數(shù)字語言信號處理、數(shù)字圖像信號的處理、數(shù)字醫(yī)學(xué)生物信號的處理以及其他領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

1 數(shù)字濾波器原理

通信系統(tǒng)中的數(shù)字濾波器包括數(shù)字乘法器、延時單元與加法器，其主要功能是對外部輸入的離散數(shù)字信號的數(shù)字代碼進(jìn)行相關(guān)運算處理后，進(jìn)而實現(xiàn)改變相應(yīng)信號頻譜[1]。

數(shù)字濾波器主要是通過對輸入的數(shù)字信號進(jìn)行相關(guān)數(shù)字運算處理，讓輸入信號當(dāng)中對系統(tǒng)有用的某些頻率成分以比較高的保真度通過系統(tǒng)，進(jìn)一步濾除掉那些對系統(tǒng)處理沒有用的某些頻率成分，這樣來達(dá)到和實現(xiàn)對輸入數(shù)字信號的選頻處理[2]。

數(shù)字濾波器一般情況下包括低通濾波、高通濾波、帶通濾波、帶阻濾波等類型。數(shù)字濾波器可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。從目前來看，得到實際應(yīng)用最多的數(shù)字濾波器是線性時不變數(shù)字濾波器[3]。

按照對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者單位脈沖響應(yīng)類型進(jìn)行分類，數(shù)字濾波器包括無限脈沖響應(yīng)（IIR）濾波器和有限脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器兩類[2]。

IIR數(shù)字濾波器能夠利用較少的階數(shù)來獲取較高的頻率選擇特性，因為使用存儲單元少，而且運算次數(shù)少，所以經(jīng)濟(jì)效益相對較高。但相應(yīng)的代價是存在相位的非線性缺陷，如果頻率選擇特性越好，那么相應(yīng)的相位非線性越嚴(yán)重。從結(jié)構(gòu)上看，IIR數(shù)字濾波器是遞歸類型結(jié)構(gòu)，其極點位置按照要求必須在單位圓之內(nèi)，如果落在單位圓之外，那么這種數(shù)字濾波器是不穩(wěn)定的。除此之外，IIR數(shù)字濾波器在進(jìn)行四舍五入相關(guān)處理時，一般情況下會產(chǎn)生寄生振蕩。特別是在比較高階的IIR數(shù)字濾波器的應(yīng)用處理中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的收斂性都不可避免地存在一些問題，這些都是亟待解決的[2]。

FIR數(shù)字濾波器雖然能夠獲得比較嚴(yán)格的線性相位特性，但是想要具有相應(yīng)的選擇特性，就必須要有較多的存儲單元器件，而且數(shù)字信號的延遲時間會長一些。如果需要等同的線性相位特性和相應(yīng)的選擇特性要求，那么IIR數(shù)字濾波器需要利用全通網(wǎng)絡(luò)來完成相位校對，這樣會極大增加數(shù)字濾波器的階數(shù)和系統(tǒng)復(fù)雜程度。從結(jié)構(gòu)上看，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器是非遞歸類型結(jié)構(gòu)，無論是在理論上還是在相對有限精度運算中，都沒有太大的問題，并且系統(tǒng)運算誤差也相對較小[3]。在滿足相同階數(shù)的應(yīng)用條件下，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器可以充分利用FFT算法的優(yōu)勢，極大地提高數(shù)字濾波器的運算速度[2]。

2 巴特沃斯數(shù)字濾波器

巴特沃斯數(shù)字濾波器最先由英國工程師Stephen Butterworth發(fā)表在《無線電工程》上的一篇論文中提出來的。巴特沃斯數(shù)字濾波器在通頻帶以內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線符合最大限度平坦，沒有起伏，在阻頻帶以內(nèi)卻是緩慢下降至零為止。通過研究發(fā)現(xiàn)，巴特沃斯數(shù)字濾波器特別適合低頻信號處理，這種濾波器對于保持增益的平坦特性尤為關(guān)鍵[4]。

巴特沃斯數(shù)字濾波器具有最大平坦特性。在ω=0處，存在最大值，對應(yīng)的幅頻特性相關(guān)導(dǎo)數(shù)是零，在ω=0附近是相對平坦的;對應(yīng)的幅頻特性是單調(diào)下降的，而且相應(yīng)的相頻特性也是單調(diào)下降的;無論數(shù)字濾波器的階數(shù)是多少，都可以保證其對應(yīng)的幅頻響應(yīng)符合理想工作情況要求[5]。

巴特沃斯數(shù)字濾波器可以根據(jù)數(shù)字濾波器選頻作用，把濾波器類型分成以下4種。

首先是低通濾波器，頻率范圍為0～f2，數(shù)字濾波器的幅頻特性按照水平發(fā)展，頻率低于f2的某些頻率成分通過數(shù)字系統(tǒng)幾乎不衰減，而頻率高于f2的某些頻率成分幾乎無法通過數(shù)字系統(tǒng)。

其次是高通濾波器，頻率范圍為f1～∞，數(shù)字濾波器的幅頻特性按照水平發(fā)展，頻率高于f1的某些頻率成分通過數(shù)字系統(tǒng)幾乎不衰減，而頻率低于f1的某些頻率成分幾乎不能通過數(shù)字系統(tǒng)。

再次是帶通濾波器，頻率f1～f2范圍之間是帶通濾波器的通頻帶區(qū)間，頻率高于f1或者頻率低于f2的某些頻率成分通過數(shù)字系統(tǒng)幾乎不衰減，而其他范圍內(nèi)的頻率成分幾乎不能通過數(shù)字系統(tǒng)。

最后是帶阻濾波器，頻率f1～f2范圍之間是帶阻濾波器的阻帶區(qū)間，頻率高于f1或者頻率低于f2的某些頻率成分幾乎不能通過數(shù)字系統(tǒng)，而其他范圍內(nèi)的頻率成分通過數(shù)字系統(tǒng)可以不衰減[5]。

3 巴特沃斯數(shù)字濾波器仿真實現(xiàn)

巴特沃斯數(shù)字濾波器設(shè)計步驟如下。首先，按照一定規(guī)則把需要的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)換算成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后再根據(jù)轉(zhuǎn)換以后的技術(shù)指標(biāo)進(jìn)一步設(shè)計模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（S）;其次可以按照雙線性變換法把H（S）轉(zhuǎn)換成H（z）;最后把需要實現(xiàn)的高通濾波、帶通濾波和帶阻濾波的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。再重復(fù)上述步驟設(shè)計得到低通H（S），再按照雙線性變換法把H（S）轉(zhuǎn)換成需要的H（z）[6]。

首先完成巴特沃斯低通濾波器的仿真操作和相關(guān)分析。數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)包括：通帶截止頻率200 Hz，阻帶截止頻率400 Hz，通帶最大衰減0.5 dB，阻帶最小衰減40 dB，采樣頻率2 000 Hz，如圖1所示。該低通濾波器的通帶截止頻率是200 Hz，阻帶截止頻率是400 Hz，通帶最大衰減是0.5 dB，阻帶最小衰減是24 dB，符合預(yù)期的性能指標(biāo)要求。

其次完成巴特沃斯高通濾波器的仿真操作和相關(guān)分析。數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)包括：通帶截止頻率600 Hz，帶通波紋系數(shù)1，阻帶截止頻率200 Hz，阻帶衰減系數(shù)20 dB，采樣頻率2 000 Hz，如圖2所示。該高通濾波器的通帶截止頻率是600 Hz，帶通波紋系數(shù)是1，阻帶截止頻率是200 Hz，阻帶最小衰減是20 dB，符合預(yù)期的性能指標(biāo)要求。

然后完成巴特沃斯帶通濾波器的仿真操作和相關(guān)分析。數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)包括：通帶上限頻率500 Hz，通帶下限頻率200 Hz，通帶衰減0.5 dB，阻帶最小衰減40dB，下阻帶上限頻率150 Hz，上阻帶上限頻率600 Hz，采樣頻率2 000 Hz，如圖3所示。該帶通濾波器的通帶下限頻率是200 Hz，通帶上限頻率是600 Hz，下阻帶上限頻率是150 Hz，上阻帶上限頻率是600 Hz，符合預(yù)期的性能指標(biāo)要求。

最后完成巴特沃斯帶阻濾波器的仿真操作和相關(guān)分析。數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)包括：通帶下限頻率100 Hz，通帶上限頻率600 Hz，通帶衰減為0.5 dB，阻帶最小衰減20 dB，下阻帶上限頻率200 Hz，上阻帶上限頻率500 Hz，采樣頻率2 000 Hz，如圖4所示。該帶阻濾波器的通帶上限頻率是600 Hz，通帶下限頻率是100 Hz，符合預(yù)期的性能指標(biāo)要求。

4 結(jié)語

在MATLAB軟件中，可以利用相關(guān)函數(shù)快速實現(xiàn)設(shè)計出需要的巴特沃斯數(shù)字濾波器。在設(shè)計過程中，可以將巴特沃斯數(shù)字濾波器的相關(guān)技術(shù)性能指標(biāo)參數(shù)通過指定的參數(shù)或者需要的某個設(shè)計方法（如雙線性變換法或是脈沖響應(yīng)不變法等），依次轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的模擬濾波器的技術(shù)性能指標(biāo)參數(shù)，進(jìn)一步按照給出的模擬濾波器設(shè)計出相應(yīng)的巴特沃斯數(shù)字濾波器。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李正周.MATLAB數(shù)字信號處理與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[2] 張德豐.詳解MATLAB數(shù)字圖像處理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[3] 劉明，徐洪波，寧國勤.數(shù)字信號處理：原理與算法實現(xiàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

[4] 蔡坤寶.數(shù)字信號處理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2011.

[5] 劉波.MATLAB信號處理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2006.

[6] 桂志國，婁國紅，陳友新.數(shù)字信號處理[M].北京：科學(xué)出版社，2009.