擬合目標(biāo)反應(yīng)譜的高精度人工加速度時(shí)程生成算法及應(yīng)用

高付海，高 岳

(中國(guó)原子能科學(xué)研究院 反應(yīng)堆工程技術(shù)研究部，北京 102413)

時(shí)程法是進(jìn)行核電廠系統(tǒng)和設(shè)備抗震分析的主要方法之一，設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定可使用單組時(shí)程法和多組時(shí)程法，單組時(shí)程法對(duì)采用的時(shí)程輸入要求更加嚴(yán)格。通過(guò)反演擬合設(shè)備安裝標(biāo)高處的樓層反應(yīng)譜或系統(tǒng)與子系統(tǒng)交界處的交界面反應(yīng)譜可獲得用于時(shí)程法分析的人工加速度時(shí)程(以下簡(jiǎn)稱人工時(shí)程)。文獻(xiàn)[1-3]對(duì)人工時(shí)程提出明確的要求：1) 低于目標(biāo)反應(yīng)譜的控制點(diǎn)數(shù)不超過(guò)5個(gè)；2) 低于目標(biāo)反應(yīng)譜的控制點(diǎn)的最大相對(duì)偏差不超過(guò)10%；3) 單組時(shí)程法額外要求時(shí)程包絡(luò)目標(biāo)功率譜(PSD)的80%，以保證人工時(shí)程在主頻控制點(diǎn)上的能量足夠分布。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)擬合目標(biāo)反應(yīng)譜生成人工時(shí)程(或人工地震波)提出多種方法[4-9]，基本分為兩種：1) 頻域法[4-6]，此方法為傳統(tǒng)做法，它基于共振原理，通過(guò)調(diào)整頻域傅里葉系數(shù)反復(fù)反演迭代以逼近目標(biāo)反應(yīng)譜，其優(yōu)點(diǎn)是算法適用性強(qiáng)，對(duì)于不同形式的目標(biāo)反應(yīng)譜均能較快生成滿足一定精度的時(shí)程，缺點(diǎn)是對(duì)高頻控制點(diǎn)的擬合精度不可控；2) 時(shí)域法[7-8]，其原理是根據(jù)計(jì)算譜與目標(biāo)反應(yīng)譜差值反演出增量時(shí)程，疊加到初始時(shí)程，反復(fù)迭代校正時(shí)程，直到滿足收斂要求，該方法的突出優(yōu)點(diǎn)是能針對(duì)不符合頻率控制點(diǎn)的擬合精度實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)控制。

本文采用一種改進(jìn)的窄帶時(shí)程構(gòu)造函數(shù)，綜合運(yùn)用頻域法和時(shí)域法，提出一種新的人工時(shí)程擬合算法，擬合出滿足核安全法規(guī)要求的高精度人工時(shí)程，提高高頻區(qū)控制點(diǎn)的擬合精度。通過(guò)RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜和樓層反應(yīng)譜的多次擬合測(cè)試證明本文提出算法的有效性和穩(wěn)健性。

1 算法基本原理

1.1 頻域法

頻域法對(duì)目標(biāo)反應(yīng)譜的擬合和目標(biāo)功率譜的包絡(luò)通過(guò)頻域傅里葉系數(shù)調(diào)整和強(qiáng)度非平穩(wěn)包絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)反應(yīng)譜與功率譜密度轉(zhuǎn)換關(guān)系[4]，得到功率譜密度G(ω)為：

(1)

通過(guò)三角級(jí)數(shù)疊加，構(gòu)造出平穩(wěn)高斯過(guò)程X(t)為：

Δω=2π/T

S(ωk)=0.5G(ωk)

ωk=2πk/T

(2)

式中：φk為在區(qū)間(0,2)上隨機(jī)分布的相位角；T為周期。

利用強(qiáng)度包絡(luò)，生成非平穩(wěn)初始時(shí)程a(t)為：

a(t)=f(t)X(t)

(3)

式中，f(t)為強(qiáng)度包絡(luò)線，采用的經(jīng)驗(yàn)公式為：

(4)

式中：t1為時(shí)程上升段時(shí)間；t2為時(shí)程下降段開(kāi)始時(shí)刻；c為時(shí)程下降段衰減系數(shù)。

對(duì)a(t)進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)目標(biāo)反應(yīng)譜和時(shí)程計(jì)算譜的比值，修正傅里葉系數(shù)C(ωk)為：

(5)

式中，Sa(ω)為人工時(shí)程的計(jì)算反應(yīng)譜。

功率譜要求包絡(luò)目標(biāo)功率譜的80%，若檢查到功率譜不滿足要求，通過(guò)式(6)調(diào)整控制點(diǎn)附近的諧波分量的傅里葉系數(shù)[6]：

(6)

式中：PSDT(ω)為目標(biāo)功率譜；PSDa(ω)為人工時(shí)程的計(jì)算功率譜。

1.2 時(shí)域窄帶時(shí)程疊加法

文獻(xiàn)[7]基于數(shù)字信號(hào)處理中的sinc函數(shù)和窄帶載波原理，提出一種有效的窄帶時(shí)程構(gòu)造方法。本文在此基礎(chǔ)上，根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，增加sinc函數(shù)的階次，提出一種窄帶時(shí)程構(gòu)造的新形式：

(7)

式中：ωc為時(shí)程在頻域的帶寬；ω0為主頻控制點(diǎn)頻率。該時(shí)程在t0時(shí)刻等于1，以t0時(shí)刻為中心沿時(shí)間軸向兩端衰減。與sinc函數(shù)的1次形式相比，本文采用的窄帶形式在鎖定主頻主波信號(hào)的同時(shí)，加速窄帶余波衰減，大幅減小疊加增量窄帶時(shí)程后對(duì)原時(shí)程的改變。

假設(shè)已知人工時(shí)程在控制點(diǎn)ωj處的計(jì)算反應(yīng)譜Sa(ωj,ζ)、絕對(duì)加速度響應(yīng)最大響應(yīng)發(fā)生的時(shí)刻tmax及響應(yīng)最大值aa,j(tmax,j)的正負(fù)號(hào)，基于提出的窄帶時(shí)程形式構(gòu)造出增量窄帶時(shí)程Δaa(t)為：

Δaa(t)=ΔS(ωj,ζ)×

ΔS(ωj,ζ)=sgn(aa,j(tmax,j))×

ω0,j=ωj

(8)

式中：ΔSa(ωj,ζ)為控制點(diǎn)ωj處的計(jì)算譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的差值；sgn表示符號(hào)函數(shù)。

通過(guò)在原始加速度響應(yīng)aa(t)上疊加上Δaa(t)，可保證控制點(diǎn)ωj處的計(jì)算譜值精確滿足目標(biāo)反應(yīng)譜。文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)出單自由度系統(tǒng)的絕對(duì)加速度響應(yīng)與輸入地面運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)Ha(ω)為：

(9)

利用傅里葉變換，反演出與增量時(shí)程Δaa(t)相對(duì)應(yīng)的地面運(yùn)動(dòng)增量時(shí)程Δag(t)為：

(10)

式中：F為傅里葉變換算子；F-1為傅里葉逆變換。

2 算法流程

首先使用頻域法調(diào)整，促使人工時(shí)程靠近目標(biāo)反應(yīng)譜，完成時(shí)程粗調(diào)。若時(shí)程不滿足精度要求，再應(yīng)用窄帶時(shí)程疊加法繼續(xù)進(jìn)行時(shí)程的細(xì)調(diào)，直到滿足收斂要求和擬合精度，基本流程如下。

6) 控制點(diǎn)ωj的計(jì)算反應(yīng)譜滿足擬合精度要求后，開(kāi)始下一控制點(diǎn)的擬合。所有控制點(diǎn)均擬合1輪后，檢查人工時(shí)程是否滿足收斂要求，若不滿足返回步驟5開(kāi)始下一輪調(diào)整。

7) 反應(yīng)譜滿足收斂要求后，檢查功率譜是否滿足80%的包絡(luò)要求，若不滿足，返回步驟1重新迭代。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)表明，窄帶疊加法對(duì)功率譜的改變較小，經(jīng)過(guò)頻域的多次調(diào)整后再應(yīng)用窄帶疊加法調(diào)整，功率譜較易滿足包絡(luò)要求。

3 工程應(yīng)用實(shí)例測(cè)試驗(yàn)證

選用3個(gè)不同類型的目標(biāo)反應(yīng)譜測(cè)試驗(yàn)證本文提出的人工時(shí)程擬合算法的有效性和穩(wěn)健性。算例1是美國(guó)核管會(huì)發(fā)布的用于核電廠抗震設(shè)計(jì)的RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜[10]，它由大量天然地震波的統(tǒng)計(jì)分析確定，具備天然地震波的頻譜特征。算例2和3是核電廠抗震樓層反應(yīng)譜，它由設(shè)備安裝標(biāo)高處的計(jì)算反應(yīng)譜拓寬獲得，頻譜特征受人為因素影響較大，擬合難度較RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜偏大。算例2和3分別是單峰譜和雙峰譜，隨譜峰數(shù)量增加，譜形復(fù)雜度增加，相應(yīng)擬合難度增大。

3.1 RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜擬合測(cè)試

選用RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜的阻尼比ζ=0.05。人工時(shí)程上升段時(shí)間為5 s，平穩(wěn)段時(shí)間為10 s，總持續(xù)時(shí)間為30 s，零周期加速度為1.0g，時(shí)程時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s，生成的人工時(shí)程如圖1所示。

圖1 以RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜作為目標(biāo)反應(yīng)譜擬合得到的人工時(shí)程Fig.1 Matching artificial time history with RG1.60 standard response spectrum as targeted spectrum

以RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜為目標(biāo)反應(yīng)譜，圖2為擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜的對(duì)比，圖3為擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜相對(duì)于目標(biāo)反應(yīng)譜(RG1.60)的相對(duì)偏差，可看出，只有兩個(gè)控制點(diǎn)低于目標(biāo)反應(yīng)譜，且相對(duì)偏差在0.5%以內(nèi)，所有控制點(diǎn)的最大相對(duì)偏差均控制在2.5%以內(nèi)。圖4為擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的功率譜與目標(biāo)功率譜的包絡(luò)對(duì)比，可看出，其符合包絡(luò)要求。同時(shí)測(cè)試本算例時(shí)發(fā)現(xiàn)：由于RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜由天然地震波統(tǒng)計(jì)分析而來(lái)，譜本身的譜頻協(xié)調(diào)性較好，僅使用頻域法也能獲得較高精度的時(shí)程，頻域傅里葉系數(shù)一般調(diào)整30次即達(dá)到收斂要求。

圖2 目標(biāo)反應(yīng)譜(RG1.60)與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜的比較Fig.2 Comparison between targeted response spectrum (RG1.60) and calculated response spectrum for matching time history

圖3 擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜相對(duì)于目標(biāo)反應(yīng)譜(RG1.60)的相對(duì)偏差Fig.3 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (RG1.60)

3.2 單峰樓層反應(yīng)譜測(cè)試驗(yàn)證

圖5為擬合獲得的人工時(shí)程，其中時(shí)程的上升段時(shí)間為5 s，平穩(wěn)段時(shí)間為15 s，總持續(xù)時(shí)間為40 s，峰值加速度為0.53g，步長(zhǎng)為0.01 s。圖6為目標(biāo)反應(yīng)譜(算例2)與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜的比較，可看出，算例2的目標(biāo)反應(yīng)譜僅有1個(gè)峰值平臺(tái)，占據(jù)一定的頻率范圍，阻尼比ζ取0.04，目標(biāo)反應(yīng)譜與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜匹配性較好。擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜相對(duì)于目標(biāo)反應(yīng)譜(算例2)的相對(duì)偏差如圖7所示，可看出，僅有1個(gè)控制點(diǎn)低于目標(biāo)反應(yīng)譜，相對(duì)偏差不超過(guò)1%，所有控制點(diǎn)的最大相對(duì)偏差不超過(guò)4%。同時(shí)高頻區(qū)控制點(diǎn)擬合一致性較好。本算例說(shuō)明窄帶時(shí)程疊加法可實(shí)現(xiàn)控制點(diǎn)擬合精度的精準(zhǔn)控制和改善，彌補(bǔ)傳統(tǒng)傅里葉系數(shù)調(diào)整法的不足。圖8為擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的功率譜與目標(biāo)功率譜對(duì)比，其符合包絡(luò)要求。

圖4 擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的功率譜與目標(biāo)功率譜(RG1.60)的比較Fig.4 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (RG1.60)

圖5 以算例2樓層譜作為目標(biāo)反應(yīng)譜擬合得到的人工時(shí)程Fig.5 Matching artificial time history with sample 2 floor spectrum as targeted spectrum

樓層反應(yīng)譜是由廠房結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜拓寬獲得的，相較于RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜，受人為因素影響較大，譜頻協(xié)調(diào)性差。試算經(jīng)驗(yàn)表明：若只采用頻域法，迭代周次多，又不滿足收斂性要求，而使用窄帶時(shí)程疊加法對(duì)所有控制點(diǎn)迭代調(diào)整30輪后即可達(dá)到收斂條件，收斂性獲得顯著改善。

圖6 目標(biāo)反應(yīng)譜(算例2)與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜的比較Fig.6 Comparison between targeted response spectrum (sample 2) and calculated response spectrum for matching time history

圖7 擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜相對(duì)于目標(biāo)反應(yīng)譜(算例2)的相對(duì)偏差Fig.7 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (sample 2)

3.3 雙峰樓層反應(yīng)譜測(cè)試驗(yàn)證

圖9為以算例3樓層反應(yīng)譜作為目標(biāo)反應(yīng)譜擬合得到的人工時(shí)程，其中上升段時(shí)間為5 s，平穩(wěn)段時(shí)間為15 s，總持續(xù)時(shí)間為40 s，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s。圖10為目標(biāo)反應(yīng)譜(算例3)與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜的比較，阻尼比ζ取0.04，算例3的目標(biāo)反應(yīng)譜有兩個(gè)峰值平臺(tái)，各占據(jù)一定的頻段范圍，擬合難度較單峰樓層反應(yīng)譜大，目標(biāo)反應(yīng)譜(算例3)與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜匹配性較好。圖11為擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜相對(duì)于目標(biāo)反應(yīng)譜(算例3)的相對(duì)偏差，可看出，有4個(gè)控制點(diǎn)低于目標(biāo)反應(yīng)譜，偏離程度不超1%，所有控制點(diǎn)的最大相對(duì)偏差不超2%，高頻段控制點(diǎn)擬合精度較高。圖12為擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的功率譜與目標(biāo)功率譜對(duì)比，其符合包絡(luò)性要求。

圖8 擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的功率譜與目標(biāo)功率譜(算例2)的比較Fig.8 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (sample 2)

圖9 以算例3樓層反應(yīng)譜作為目標(biāo)反應(yīng)譜擬合得到的人工時(shí)程Fig.9 Matching artificial time history with sample 3 floor spectrum as targeted spectrum

4 結(jié)論

本文采用一種改進(jìn)的窄帶時(shí)程構(gòu)造函數(shù)，綜合運(yùn)用頻域法和時(shí)域法，提出一種新的人工時(shí)程擬合方法，可擬合出滿足核安全法規(guī)要求的高精度人工時(shí)程，顯著提高了高頻區(qū)控制點(diǎn)的擬合精度。RG1.60標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜和單峰、雙峰樓層反應(yīng)譜的擬合測(cè)試結(jié)果表明本文提出的算法是有效和穩(wěn)健的。本文提出的人工時(shí)程擬合算法可應(yīng)用到核電工程抗震設(shè)計(jì)中。

圖10 目標(biāo)反應(yīng)譜(算例3)與擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜的比較Fig.10 Comparison between targeted response spectrum (sample 3) and calculated response spectrum for matching time history

圖11 擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的計(jì)算反應(yīng)譜相對(duì)于目標(biāo)反應(yīng)譜(算例3)的相對(duì)偏差Fig.11 Relative deviation of calculated response spectrum for matching time history and targeted response spectrum (sample 3)

圖12 擬合時(shí)程對(duì)應(yīng)的功率譜與目標(biāo)功率譜(算例3)的比較Fig.12 Comparison between calculated PSD for matching time history and targeted PSD (sample 3)