中立型雙曲泛函微分方程邊值問題的可解性分析

徐校會

(滁州城市職業(yè)學院 教育系，安徽 滁州 239000)

0 引言

近年來，隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，在自然科學與社會科學的許多學科中，例如動力學、生物遺傳工程、控制論和醫(yī)學等，提出了大量新的泛函微分方程問題，急需用相關的數(shù)學理論去解決[1-3].雖然很多學者對泛函微分方程邊值問題的可解性理論作了很多工作，也取得了一些成果，但由于大部分研究不考慮方程問題邊值問題的振動準則[4,5]，導致對于中立型雙曲泛函微分方程邊值問題的可解性研究難以取得進一步突破[6]，為了解決該問題，在應用意義和數(shù)學理論上，需要在意義更寬廣的條件下研究非線性中立型雙曲泛微分函數(shù)方程[7-9].

本文對中立型雙曲泛函數(shù)微分方程邊值問題的可解性進行分析[10,11]，分別從兩個方向進行分析.一方面以振動準則為基礎，分析該方程邊值問題的可解性[12]；另一方面去除振動準則的情況下研究該方程邊值問題的周期解.

1 振動準則下的周期解分析

(1)

(Ai)

其中，Z表示?Ω上的單位外法向量，e(x,t)∈D(?Ω,R+)

給出以下條件：

(F1)fj(w)∈D(R,R),wfi(w)>0對w≠0，且在(0,+∞)內(nèi)fi(w)是凸函數(shù)，j∈J;

(F2)τj是非負常數(shù)，0<τj<τ，且?j(t)，λk(t)∈D(R+,R+)有界，i∈I,j∈J,k∈K.

引理1假設條件(F1)～(F2)成立，若w(x,t)是邊值問題(Ai)(i=1,2,3)在Ω×[T,+∞)(T≥0)的一個正解，則微分不等式為：

(2)

1.1 超線性情形

則邊值問題(1)～(A)有一個有界的最終正解.

則AD區(qū)間內(nèi)存在一個有界閉凸集[18]，用S表示.再定義如下算子T：S→AD：

(3)

其中T=t0+λ，對t≥T

(4)

(5)

則

(6)

因此，S上存在一個壓縮算子T.由壓縮映象原理得[19]，T在S上有一個不動點U*=U*(t).則：

(7)

易知U*(t)是方程(8)的一個有界最終正解：

(8)

其式(8)中ΔU*(t)=0，ΔU*(t-λk(t))=0，通過式(8)得：

(9)

1.2 次線性情形

定理2(D3)fj(w)(?j∈J)是增函數(shù)；

(10)

再選擇整數(shù)n>0滿足nτ≥λ，(n+1)τ

定義如下函數(shù)：

(11)

(12)

否則，存在t1∈(t0,∞)使得下列兩種情形成立.

若(V1)成立，通過式(11)和(12)，知：

(13)

式(13)矛盾，則(V1)不成立,如果(V2)成立，則

(14)

式(14)也矛盾，因此(V2)不成立，因此(12)式成立，易知U(t)滿足方程：

(15)

注意到ΔU(t)=0和ΔU(t-λk(t))=0，通過(15)式得：

(16)

2 去除振動準則的周期解分析

對于中立型雙曲泛函微分方程邊值問題的研究，通常情況下利用特征值問題研究振動準則下的周期解情況比較多[21-23]，而去除振動準則情況下的中立型雙曲泛函微分方程并未發(fā)現(xiàn)研究[24].本文研究去除振動準則情況下的中立型雙曲泛函微分方程邊值問題的可解性分析[25].

另一方面去除振動準則的情況下研究方程(1)邊值問題的周期解[26]，簡化該二階中立型泛函微分方程為：

w″(t)=dw″(t-δ)+b(t)w(t)=μf(t,w(t-τ(t)))

(17)

研究該方程的周期正解，參數(shù)和常數(shù)分別是μ>0和d，δ且|d|<0.采用錐拉伸壓縮理論和一些分析方法[27]，分析了該方程周期正解.

為了使方程(17)的解更簡便，做出如下假設：

(F3)b(t)∈D(R,(0,+∞))，τ(t)∈D(R,R)，f∈D(R×[0,∞),[0,∞))，f(t,w)>0，(w>0)，R=(-∞,+∞)；

為了方便描述，給出以下定義和引理.

2.1 幾個引理

針對重要定理，將其中比較容易證明的引理給出了結論.

令X={x|x∈D(R,R),x(t+ω)=x(t),t∈R}.若x∈X，定義‖x‖=max{|x(t)|：t∈[0,ω]}，則X屬于一個Banach空間.

y″(t)+b(t)(B-1y)(t)=μf(t,(B-1y)(t-τ(t))).

(18)

引理2y(t)是式(18)的解，當(B-1y)(t)是方程(17)的解時，將方程(17)改寫成：

(19)

其中，E(y(t))=y(t)-(B-1y)(t)=-c(B-1y)(t-δ).

1)若η>0，使得f(t,(B-1y)(t-τ(t)))≥η(B-1y)(t-τ(t))，(t∈[0,ω),y∈K)，則

2)若∈>0，使得f(t,(B-1y)(t-τ(t)))≤∈(B-1y)(t-τ(t))，(t∈[0,ω),y∈K)，則

(20)

2.2 主要結果分析

‖Pμy‖≥μC1ωn(r1)>‖y‖,(?y∈?Ωr1,μ>μ0)

(21)

(22)

(23)

且Ωr1?Ωr3.通過Krasnoselskii錐拉伸錐壓縮不動點定理得知，y是Pμ在Ωr3/Ωr1的一個不動點，當μ>μ0時，(B-1y)(t)是方程(23)的正ω-周期解.

(24)

(25)

(26)

通過式(26)可知，Ωr3?Ωr1.則Pμ在Pr1/Pr2最少有一個不動點y，當0<μ<μ0時，(B-1y)(t)是方程(17)的ω-周期解.

(27)