一類冷貯備可修系統(tǒng)算子的性質(zhì)

原文志，寇玉芳

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

0 引言

冷貯備是部件在貯備時(shí)沒(méi)有損壞的情況，例如文獻(xiàn)[1-3].現(xiàn)有文獻(xiàn)很多假設(shè)部件損毀后可以馬上修復(fù).但實(shí)際上，當(dāng)系統(tǒng)故障時(shí)可能因?yàn)樾蘩砉げ灰欢ㄔ诂F(xiàn)場(chǎng)或者其他原因而需要一段等待修理時(shí)間.所以在可修系統(tǒng)中考慮修理工休假和空閑狀態(tài)是有意義的，比如文獻(xiàn)[4-5].但是很多文獻(xiàn)只證明了可靠性指標(biāo).

因此本文研究修理工帶休假的冷貯備可修系統(tǒng)算子的性質(zhì)，證明了系統(tǒng)算子是稠密的預(yù)解正算子，并且得到它的共軛算子，運(yùn)用共尾理論證明算子的增長(zhǎng)界和譜上界相等，最后運(yùn)用C0半群理論，證明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)解存在且唯一.

1 系統(tǒng)模型

1.1 模型描述

假設(shè)1：系統(tǒng)里有兩個(gè)不同型的部件分別記作1,2，再加一個(gè)修理工3.

假設(shè)2:初始狀態(tài)時(shí)1和2 都是新部件，而且1可以先使用和維修.

假設(shè)3：當(dāng)1和2都處于正常狀態(tài)時(shí)，1工作則2冷貯備.

假設(shè)4：當(dāng)1工作時(shí)，2冷貯備，3處于休假狀態(tài)，維修后部件恢復(fù)成和新的一樣.

假設(shè)5：當(dāng)部件出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，1)如果3正在休假，那么休假期完成后維修部件；2)如果3空閑，那么立刻進(jìn)行維修；3)如果3處于工作狀態(tài)，那么故障等待維修.

假設(shè)6：3修完一個(gè)部件之后，如果沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其他問(wèn)題就開始休假.休假完成后如果發(fā)現(xiàn)問(wèn)題就要立刻維修；如果系統(tǒng)完好則就要待在系統(tǒng)里進(jìn)入空閑狀態(tài)，等待問(wèn)題出現(xiàn)后立刻維修.

1.2 狀態(tài)描述

狀態(tài)0：1工作，2貯備，3空閑；狀態(tài)1：1工作，2貯備，3休假；狀態(tài)2：1工作，2故障，3休假；狀態(tài)3：1工作，2修理；狀態(tài)4：1和2均待修，3休假；狀態(tài)5：1修理，2待修.

1.3 系統(tǒng)方程

(1)

邊界條件為：

(2)

初始條件為：

P0(0)=1，其余為0.

(3)

做以下合理的假設(shè)：

取狀態(tài)空間

范數(shù)定義為：

在X中定義算子A，B及其定義域如下：

A=

2 算子的性質(zhì)

定理1D(A+B)在X中稠密.

證明 由文獻(xiàn)[6]有D(A)在X中稠密，而且DA+B=D(A)，所以D(A+B)在X中稠密.

定理2[7]算子A+B是預(yù)解正算子.

定理3系統(tǒng)算子A+B的對(duì)偶算子(A+B)*是

(4)

證明 由文獻(xiàn)[8]有〈(A+B)P，Q〉=〈P，(A+B)*Q〉.

定理4(A+B)*的幾何重?cái)?shù)為1的本征值是0，且(1，1，1，1，1，1)T為0的對(duì)應(yīng)的特征向量.

證明 討論方程(A+B)*Q=0.由定理3知

(5)

定義2算子A+B的譜上界s(A+B)=inf{ω∈R|(ω,∞)?ρ(A+B)}.

定理5算子A+B的增長(zhǎng)界ω(A+B)=0.

證明

(6)

定理7{r∈C|Rer〉0或r=ia,a∈R{0}}包含于系統(tǒng)算子A+B的預(yù)解集ρ(A+B)中.

證明 對(duì)任意G={g0,g1(x),g2(x),g3(y),g4(x),g5(y)},考慮算子方程[rI-(A+B)]P=G,可得到方程組

(7)

邊界條件

(8)

解方程組(7)可得：

(9)

根據(jù)T的表達(dá)式看出，矩陣T是不可約的，而且是按列對(duì)角占優(yōu)矩陣，detT≠0.所以方程組[rI-(A+B)]P=G是有唯一解的，從而得到rI-(A+B)是滿射.又由rI-(A+B)是閉的，以及D(A+B)在X中稠密，因此根據(jù)逆算子定理得到[rI-(A+B)]-1存在而且是線性有界的.所以當(dāng){r∈C|Rer〉0或r=ia,a∈R{0}}時(shí)，r∈ρ(A+B)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)解存且唯一.