彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論求解器開(kāi)發(fā)及應(yīng)用研究1)

何 峰 任天嬌 楊 松 趙 娜

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧阜新123000)

彈性力學(xué)課程是普通高校力學(xué)類(lèi)、土木類(lèi)等理工科本科專業(yè)核心課，是從力學(xué)基本理論過(guò)渡到工程實(shí)際應(yīng)用的橋梁；具有教師難教、學(xué)生難學(xué)、工程思維和力學(xué)思維難兼容的“三難”課程特點(diǎn)?；谡n程重要性和特點(diǎn)，眾多學(xué)者進(jìn)行了彈性力學(xué)教學(xué)改革，如張偉偉等[1]提出了彈性力學(xué)三段式教學(xué)方法，即圍繞每一知識(shí)點(diǎn)，按照工程背景、數(shù)理基礎(chǔ)、力學(xué)原理進(jìn)行劃分，在教學(xué)實(shí)施中遵循先工程，后數(shù)理，再力學(xué)的講解順序。潘東輝等[2]將MATLAB/PDE工具箱引入彈性力學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)彈性力學(xué)的可視化教學(xué)。劉楊等[3]提出了“互聯(lián)網(wǎng)+ 項(xiàng)目指派” 式教學(xué)模式在《彈性力學(xué)及有限單元法》的教學(xué)中的實(shí)踐方式和考核辦法。陳小亮等[4]利用Maple 軟件探索了彈性力學(xué)應(yīng)力函數(shù)逆解法的計(jì)算機(jī)求解規(guī)范流程。盧小雨等[5]利用Maple 來(lái)求解彈性力學(xué)中的一些具體問(wèn)題。邢靜忠[6]將MAPLE 引入力學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具的習(xí)慣和能力，強(qiáng)化算法設(shè)計(jì)和程序的通用性和靈活性，為處理復(fù)雜問(wèn)題提供幫助。丁洲祥等[7]詳細(xì)介紹了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)MAPLE 在土力學(xué)與基礎(chǔ)工程研究型教學(xué)中的具體應(yīng)用。

本文基于吳家龍教授編著的《彈性力學(xué)》教材內(nèi)容和課程特點(diǎn)，以應(yīng)力狀態(tài)理論部分的求解斜面應(yīng)力分量及主應(yīng)力和最大切應(yīng)力為例，應(yīng)用Matlab-GUI 模塊，通過(guò)編制程序把繁瑣抽象的力學(xué)公式結(jié)果進(jìn)行圖形可視化，從而提升學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)興趣。

1 應(yīng)力狀態(tài)理論[8]

彈性力學(xué)的研究對(duì)象為三維彈性體，由于滿足連續(xù)性和均勻性假設(shè)，因此從微分單元體分析入手，確定一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律稱為應(yīng)力狀態(tài)分析。研究思路是首先確定應(yīng)力狀態(tài)描述方法，包括應(yīng)力矢量定義及其分解為正應(yīng)力、切應(yīng)力和應(yīng)力坐標(biāo)軸分量，應(yīng)力張量表示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)；其次從靜力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，建立平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件；任意截面的應(yīng)力分量確定；應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；一點(diǎn)的特殊應(yīng)力確定：主應(yīng)力和主平面、最大切應(yīng)力。該部分教學(xué)中學(xué)生和老師常見(jiàn)問(wèn)題有：如何直觀體現(xiàn)已知方向余弦？如何確定應(yīng)力主方向、最大切應(yīng)力微分面方位或已知微分面方程求方向余弦，同時(shí)可視化微分斜面？

2 求解器運(yùn)行原理

(1)微分面三元一次方程系數(shù)與其方向余弦關(guān)系

式(1)～式(3) 中，F(xiàn)(x，y，z) 為三元一次函數(shù)；A，B，C，D 為方程系數(shù)；l，m，n 為方向余弦。

(2) 斜面上應(yīng)力分量(圖1)

圖1 微分斜面上應(yīng)力分量

式(4)～式(7) 中，fvx，fvy，fvz為沿坐標(biāo)軸投影應(yīng)力分量；l，m，n 為方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量；fv為斜面應(yīng)力矢量；σv為斜面正應(yīng)力；τv為斜面切應(yīng)力。

(3) 主應(yīng)力、應(yīng)力主方向和最大切應(yīng)力及方位

式(8)～式(9)中，I1，I2，I3為應(yīng)力張量不變量；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量；σ 為主應(yīng)力。

式(10)中，l1，m1，n1為第一主應(yīng)力方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量；σ1為第一主應(yīng)力。

式(11)中，l2，m2，n2為第二主應(yīng)力方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量；σ2為第二主應(yīng)力。

式 (12) 中，l3，m3，n3為第二主應(yīng)力方向余弦；σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx為正應(yīng)力和切應(yīng)力分量；σ3為第三主應(yīng)力。

3 Matlab–GUI 模塊應(yīng)力狀態(tài)理論求解器及應(yīng)用

編制基于Matlab-GUI 模塊應(yīng)力狀態(tài)理論求解器，程序流程如圖2 所示。通過(guò)該求解器(圖3) 可顯示應(yīng)力狀態(tài)圖和微分斜面，通常遇到題型有兩種：一種題型為給出方向余弦可求出三元一次方程系數(shù)，進(jìn)而顯示微分面方程和斜面圖，另一種題型若直接給出三元一次方程及系數(shù)也可求出方向余弦和顯示微分斜面，同時(shí)可求出三個(gè)主應(yīng)力及主方向和最大切應(yīng)力及方向余弦，可通過(guò)主應(yīng)力微分面按鈕，如圖4 和圖5 所示，分別顯示主平面和最大切應(yīng)力平面，驗(yàn)證主應(yīng)力所處面切應(yīng)力是為零，應(yīng)力矢量和正應(yīng)力相等，取得最大切應(yīng)力微面，正應(yīng)力不一定為零等結(jié)論。

已知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為

4 結(jié)論

論文結(jié)合彈性力學(xué)課程特點(diǎn)，力求突破“三難”瓶頸；以彈性力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論常見(jiàn)題型為例，Matlab-GUI 模塊編制應(yīng)力狀態(tài)理論求解器，通過(guò)界面物理參數(shù)輸入和結(jié)果顯示過(guò)程，體現(xiàn)彈性力學(xué)中數(shù)理求解思路，簡(jiǎn)化了繁雜的計(jì)算過(guò)程；同時(shí)可形象直觀再現(xiàn)和驗(yàn)證學(xué)生彈性力學(xué)數(shù)理計(jì)算結(jié)果，使得數(shù)學(xué)力學(xué)公式可視化，學(xué)生的抽象思維和具象思維達(dá)到兼容。最終達(dá)到提升學(xué)生學(xué)習(xí)彈性力學(xué)興趣的目的。

圖3 應(yīng)力狀態(tài)理論求解器

圖4 第一主應(yīng)力微分斜面

圖5 最大切應(yīng)力微分斜面