云聊“力” 為何物

姜錫權 周風華 習會峰 余同希，1)

*(合肥姜水動態(tài)力學實驗技術有限公司，合肥230031)

?(寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室，浙江寧波315211)

**(暨南大學力學與建筑工程學院，“重大災害與控制” 教育部重點實驗室，廣州510632)

??(香港科技大學機械與航空航天工程系，中國香港)

最近在微信群中有人提出物理中的“力”是否與力學中“力”的概念不一樣的問題。我們一些朋友在家工作，通過網絡對力的定義、測量和作用等共同感興趣的幾個問題作了一番云中群聊。

1 關于力的定義

習： 我們當力學教師的幾乎每堂課都會提到“力”，每個課題都會用到“力”，但是“力” 這個詞粗看起來很熟悉，細琢磨起來往往還感到有幾分模糊。的確，大百科全書中已經給出了一個簡潔和準確的定義：力是物質間的一種相互作用，機械運動狀態(tài)變化是由這種相互作用引起的[1]。但是，有些問題就連“力學圈” 的人也不一定每人都能立即說得很清楚。我們能不能在云里聊聊與力有關的幾個基礎性的“傻瓜” 問題？

姜：好啊！先說說“圈外人” 怎么看力？這里所說的所謂“圈外人”是指行走在城市大街上、農村鄉(xiāng)間小路上沒有受到相關力學熏陶的普通人。據我們感知，他們一般不感興趣所謂“力” 的定義，但知道有“力”這個詞的存在。他們會從一個人的力氣大小、大樹被大風刮倒、物體的輕重、汽車的載重量和速度、一個物體被另一個物體砸壞等日常生活現象中感受力的存在和力的大小。在橋上沒有車輛和行人時，他們一般不會覺察到懸索橋上的懸索中力的存在。他們會用秤去稱重物，但一般不去考慮杠桿原理；他們會帶彈簧秤去買菜，但一般不去考慮彈簧材料的本構關系，更不會考慮標定問題。

周：力是表征物體之間相互作用程度的物理量，它的量值通過它產生的效果，即造成物體發(fā)生運動狀態(tài)或形狀的改變來確定。

姜：我認為上述論述中的“相互作用” 限定為“相互間的機械作用” 更合理一些，以區(qū)別于電磁感應、化學反應等相互作用。

習：或者說，力是使物質(氣、液、固) 形態(tài)(包含形狀和姿態(tài)) 發(fā)生變化的一種作用。

余：定性來說，力是表征物體之間相互作用程度的物理量，在牛頓力學中它是一個矢量，具有大小、方向和作用點(線) 三個要素。

定量來說，牛頓首先把“力”定義為動量隨時間的變化率，即

式中F 為研究對象所受到的合力，m 為研究對象的質量，v 為研究對象的速度。

姜:在質量恒定的前提下，式(1) 可改寫為

式中a 為研究對象的加速度，這也正是牛頓第二定律的現代通用形式?！吨袊蟀倏迫珪?力學》中論及力的概念時，也這樣定義：“力是使物體獲得加速度或形變的外因。在動力學中它等于物體的質量與加速度的乘積。”[1]

周：值得說明的是，經查閱文獻可以發(fā)現牛頓最早所說的“運動(motion)” 和“力(force)” 是現代意義下的動量和沖量。這從他的著作原文[2]可以看出(圖1)?！敖缯f二：凡動之幾何為速與質相乘數”、“公論二：凡動之變與所加之力有比例亦準加力之方向”(李善蘭《奈端數理》譯語)?？梢哉f牛頓的“牛頓第二定律” 其實是沖量定理。但是，牛頓在論著中思考的都是一個微小的恒定時間間隔下的變化量，現代版的牛頓第二定律，即上述式(1) 和式(2)，依然是牛頓動力學思想的忠實表達。

圖1 牛頓《原理》關于運動的定義和牛頓第二定律的陳述[2]

余：與牛頓同時代的萊布尼茲出于形而上的哲學思考，也提出過力的另一種概念，有些概念從物理學上似乎更加本質[3]。例如，萊布尼茲提出過“活力(vis viva)” 理論，把mv2稱為“活力”，認為應該用它而不是用動量來度量力[4]。經過對“活力” 進行修正之后，力學家們同意，力也可以定義為動能對位移的微商，即

式中s 為研究對象的位移。

顯然，式(1)～式(3) 都可以被當作力的定義，這些定義把力同幾個基本物理量(m，v，t，s) 聯系起來了。

習：牛頓將力定義為動量隨時間的變化率，而萊布尼茲將力定義為動能隨位移的變化率。初學者可能會問到底誰的定義對呢？這兩種定義之間有什么異同點嗎？

余：這兩個定義分別從不同角度定義了力。從本質上講，這兩種定義是完全等同的。從牛頓對力的定義式可以導出萊布尼茲對力的定義式

因而，兩種定義都是正確的，定義的是同一個力，只是參照的物理量不同。我們常用的還是牛頓關于力的定義，即式(1) 或式(2)。事實上，如果我們將牛頓第二定律式(2)兩邊對時間積分，便可得到動量定理；而如果將該定律兩邊對位移積分，便可得到動能定理。

習：這樣說來，只有在動力學的意義下才能真正地定義力是什么。而我們在教理論力學課程的時候通常是按照“靜力學、運動學、動力學” 這樣一個順序來教。在沒有教動力學之前，我們在靜力學部分應該怎樣解釋力呢？

余：從歷史上來看，人類對于“力”的概念始自于自己在做推、拉、提、舉、扛等動作時肌肉的緊張程度，然后推廣至牛、馬等服役家畜的干活能力的評估?？梢哉f，“力” 最先來自人自身肌肉的感受。靜力學解釋了力的分解、合成及平衡，實際上講的是矢量數學的規(guī)律，沒牽涉到力的本身；而對力本身的理解，也只能停留在自身肌肉的感受，以及對物體重量的感知。在靜力學范疇內是無法給出力的定義的。

姜:力具有MLT-2的量綱，它是根據F =ma，由質量、長度、時間的基本量綱M、L、T 導出的量綱。質量、長度、時間這三個量都是可以直接度量的基本量，它們有國際公認的基準，即千克、米、秒。力只是一個導出量，而不是基本量。我們這里對“力”的量綱的理解直接支持上述論斷，即：“力只能在動力學意義下定義”。

2 力的標定與測量

習：那么，力可以用什么方法測量呢？是不是先要對“力” 進行標定呢？

姜:標定“力”的意思是標定力傳感器。關鍵在于如何知道作用在一個具體傳感器上的標準的力，即精確的“力”。這種標定所需的物理量必須是已知的或精確可測的。由于力的定義來自牛頓第二定律，只能通過牛頓第二定律(在物體運動速度遠低于光速和它的幾何尺度遠大于量子幾何尺度的條件下，它可以被認為是自然界物體運動規(guī)律的正確表述) 來測得這樣的標準力。具體方法可以分為兩步：

第一步：測量當地的重力加速度g

最簡單的重力加速度測定是直接度量落體在給定時間內下落的距離。為了獲得更精細讀數，1784年，G. 阿脫伍德將質量同為M 的重塊用輕質細繩連接后，跨在光滑的輕質滑輪上，再在一個重塊上附加一重量小得多的重塊m (如圖2 所示)[5]。這時，重力拖動大質量物塊，使其產生一微小加速度a=mg/(2M +m)。測得a 后，即可算出g。

圖2 阿脫伍德機[5]

第二步：測量作用在一個彈性體上的力

在一光滑平臺的最左端固定一個輕質彈性體(如輕質彈簧)，彈性體的右端與一放置在光滑平臺上的質量塊m2相連，質量塊m2的右側經過輕質細繩跨過平臺邊緣的輕質滑輪與另一質量塊m1相連，如圖3 所示。在重力m1g 的作用下，測得質量塊m2和m1的共同加速度a， 可以得到彈性體作用于質量塊m2的力的大小。從而完成了對力傳感器(彈簧)的標定與力的精確測量。

圖3 彈簧受力的標定

周：同意上面的原理性描述，“力” 的定義來自牛頓第二定律，力的標定只能通過這個定律進行。由于人們對力的直接感覺往往來自于重力，只要標定了重力加速度，就可以通過物體(如砝碼) 質量來標定力。從另一個角度來看，既然“重力= 質量× 重力加速度”，也可以利用單擺或者其他重力擺的振動頻率來測量重力加速度。

常見的測量力的方法是通過測量固體的變形(利用胡克定律) 來進行。胡克說過“ut tensio， sic vis (the extension is proportional to the force)” (“伸長與力成正比”)，把力F 和變形x 直接聯系起來了:F = kx。力導致固體(如彈簧) 發(fā)生形變，如果已知彈簧的彈性常數k，根據測量彈簧的拉伸量，就可以計算出F。但是，如何去確定k？一般人可能會想到中學實驗，用砝碼和直尺來標定它的彈性常數-- 這個實驗的隱含條件是砝碼的重力是先驗確定的。其實，我們可以繞過“已知力”的假設，只要將輕質彈簧與一個已知質量塊m 連接，形成一個“彈簧-質量塊” 系統(tǒng)(圖4)，其振動圓頻率通過測出這個系統(tǒng)的振動周期T =2π/ω，就可以很方便地確定彈簧的彈性常數

圖4 采用“彈簧-質量塊” 系統(tǒng)標定彈性系數

姜:前面基于動力學原理獲得了標準“力”，也完成了力傳感器的標定與對力的精確測量，比如圖3和圖4 彈簧剛度標定和彈簧力的測量。在力已標定的基礎上，或者說，在材料本構已知的前提下，從力的效果考慮，在一個平衡系統(tǒng)中，便可以通過測量固體的變形從而測量出產生該變形的力，例如彈簧秤和應變片都基于這個原理。力還具有其他表觀的物理效果，如肌電、壓電、壓磁、壓阻、壓力相變、壓力發(fā)光(triboluminescence) 等，利用這些原理也能夠構筑新的傳感器和測試系統(tǒng)。對相應傳感器進行標定后，被用來進行廣泛的、工程意義上的力的測量。

目前只能用“運動狀態(tài)改變” 來進行本源意義上的力的測量，因為這種測量所用到的物理量都有相應的國際標準。利用任何一個經過“標準力”標定的變形、壓電等類型的力傳感器都可在實驗室和工程中進行力的測量。

周：上面的討論很有意義，牛頓第二定律給出了“力” 的動力學定義，也給出了力的測量方法，從而形成完整的邏輯關聯。在這里我想強調一下胡克定律在“測力”過程中也具有動力學意義：早期通過變形(肌肉緊張等) 來理解力，是“靜力學” 的概念；但是胡克定律在動力學系統(tǒng)中依舊有效。不必借助其他的“高階(更加敏感)”的力傳感器，直接采用動力學方法，也能標定彈性元件的彈性系數，如圖4 和式(5) 所示，通過振動系統(tǒng)的周期可以標定彈簧的“彈性系數”。

歷史上，采用這種方法測量力，解決了許多重要物理問題。例如：在著名的卡文迪許實驗[6]中，通過測量懸吊金屬絲的扭轉角度，乘以其扭轉剛度，來測量質量之間引力的大小(圖5)；同樣，庫倫也利用扭桿(圖6) 測量了帶電球體間的相互作用力、進而研究靜電力隨空間距離的變化關系[7]。在這些著名實驗中，卡文迪許的懸吊金屬絲[6]、以及庫倫的扭桿[7-8]的“扭轉剛度”都是通過測量扭擺振動周期，再利用系統(tǒng)的轉動慣量而換算出來的，其換算公式類似于式(5)。這表明，扭擺這樣的精密測力系統(tǒng)，其測量基礎也是牛頓動力學。庫倫和卡文迪許正是通過這些精確的力測量，給出了電荷量的測量基準、以及地球質量和萬有引力常數等基本物理數據。

圖5 卡文迪許測量地球質量實驗[6]

3 力的分類及表現形式

習：把改變物體運動狀態(tài)的“力” 同產生物體變形的“力”統(tǒng)一起來以后，我們是不是可以說在牛頓力學中，“力”只有一種，但表現形式有很多種呢？

周：在牛頓力學的范疇內，“力” 只有一種，即前面所定義的相互作用的量。力本身源于牛頓第二定律F = ma，而在胡克定律F = kx，或者萬有引力公式F = Gm1m2/r2之中所見到的F 同樣都是這個力。造成運動狀態(tài)變化的相互作用、物質之間或者內部的電磁力作用、或者物質之間的萬有引力作用，在物理上的效果都是一樣的。

余：除萬有引力(包括重力) 和電磁力外，牛頓力學中大量處理的是表面力。比如，雖然不容易觀察到空氣與物體的接觸，但空氣中傳播的沖擊波對物體的作用顯然也是一種表面的接觸力。

姜：如果跳出牛頓力學討論“力” 的分類，自然界所有的基本力可以分為四個基本類，即：強相互作用力、弱相互作用力、電磁(相互作用) 力、萬有引力。

周：我的理解是，現代物理學中“力” 代表物質世界的自然的相互作用，根據具體的物理本質，分為兩種長程相互作用(即質量之間的萬有引力、電荷之間的電磁力) 和兩種亞原子核尺度的短程相互作用(即夸克之間的強相互作用和弱相互作用)。物理學關注力的本源，即相互作用本源的探討。如現代物理學已經證實兩種長程相互作用的等價性；而經典力學(即牛頓力學)則主要討論這兩種長程相互作用力的作用效果。

余：我認為，“物理中的力”和“力學中的力”之所以概念有所不同，除了物理學著重于機理與本源、力學著重于運動狀態(tài)與變形等效果這個基本的學科特性的差異之外，也在于物理學研究的物質尺度(微觀，以μm 為量級) 同經典力學研究的尺度(宏觀，以mm 和m 為量級) 有著重大差異。

4 力學發(fā)展及與其他學科的交叉

習：近幾十年來由于微尺度力學、納米力學、物理力學和分子動力學的興起，物理中的“力”和力學中的“力” 之間的上述差異是否在逐漸彌合之中？

姜：我不認為兩者在彌合。在二十世紀之前，科學界普遍認為牛頓力學的定律在自然界具有普適性。在相對論和量子力學得到科學界認可后，牛頓力學的定律在物體的運動速度接近光速和所研究粒子的幾何尺度接近量子幾何尺度的情況下不再適用，相應的“力” 的概念也不再相同，因此物理中的“力” 和力學中的“力” 之間的差異并沒有“彌合” 之意，界線本來就是清楚的。在我們的研究對象沒有跨入量子范疇之前(即：研究對象的軌跡還是可確定的)，牛頓力學與物理中的力學沒有本質區(qū)別，所以牛頓力學原理對細觀力學、微尺度力學、納米力學都是有用的。當我們的研究對象的尺度與量子同量級(或相近) 時，相應作用規(guī)律應當用量子力學去研究。需要強調的是，“量子力學” 的“力學” 只是沿用了“力學” 這個詞而已，與我們常規(guī)討論的牛頓力學中的“力學” 已經沒有多少關系。有點像“對物體的作用力” 與社會學中“生產力” 之間的關系，只是使用的“力” 字在表面相同而已。

周：現代物理學認為力只是相互作用的定量表征，因此追究其本源，即相互作用勢U(r)，力作為勢能的空間導數F=-?U/?r，是一個導出量[9]。在力學或者工程學中，力則是一個具有清晰定義、可量測、可計算的本質物理量。由于引入“力” 的量，加之有關連續(xù)性的一些假設，物質之間的相互作用、運動、變形等問題能夠在一個相當清晰和優(yōu)雅的數學分析框架中進行分解、分析和計算；有了描述固體、流體、流變體等介質的“力學” 模型，并因此而積累的大量描述具體材料的變形、損傷、破壞等與力相關的數據庫，形成了各種力學分析和計算軟件、建立了工程結構的性能和安全性分析的規(guī)范和標準?？梢哉f，“力” 以及據此建立的力學是現代工業(yè)發(fā)展和人類文明進步的不可缺少的一個學科體系。

網友:(北京航空航天大學殷莎) 隨著交叉力學的發(fā)展，比如在多尺度多物理場耦合問題中，力學人也開始關注物理本質，因此是否可以說傳統(tǒng)力學與物理之間在力學概念和研究內涵上差別越來越??？另外，在新的交叉學科中如與化學、生物醫(yī)學、信息學、人機交互中，力的概念在本質上有沒有改變呢？

姜：殷莎和習會峰老師的問題帶有普遍性，從另一個角度也反映我們這次云聊的意義?；谌祟惖幕旧嫘枰?，力學和天文學是發(fā)展最早的科學，可以說它們是科學的始祖。后來天文學的好多課題都成了力學的研究內容。力學為后來的科學提供了許多重要的思想和方法。隨著力學研究工作在多個領域的深入開展，出現了所謂的“交叉力學”。我個人認為所謂“交叉” 其實是“深入和應用”。我們這里討論的是有“力” 的力學，對它我是這樣理解的：研究在牛頓力學中定義的力的作用下，作用過程滿足質量守恒、動量守恒、能量守恒方程，涉及連續(xù)介質時還遵循相應的本構方程的研究對象的運動、變形和破壞規(guī)律的科學。所謂微尺度力學、納米力學和混凝土力學等等只是上述有“力”的力學的思想和方法在某個尺度上或以某個材料為主的研究對象中的深入、具體的應用。因而大多數所謂“交叉力學” 都仍然沒有脫離牛頓力學的框架，都滿足四類基本方程。另一方面，隨著力學的術語為大眾所熟悉，逐步滲透到其他學科，也出現了許多“沒有力” 的“XX力學”，但這已經不在我們討論的范疇之內了。

習：通過這次云中群聊，對“力” 的概念、力的測量及力學的重要地位真是越聊越明白了呢！

余：確實如此，我們這樣的云聊可以互相啟發(fā)、集思廣益，同時對于有爭議的問題，也能夠各抒已見、求同存異。比如說，在這次云聊中我們找到了為什么力學教師在靜力學部分總是講不清楚“力”到底是什么的原因，這就是，只有在動力學中才能真正給出力的定義。我們也談到了牛頓第二定律定義的力與萊布尼茲從能量角度詮釋的力的一致性。再比如，我們可以通過觀測受力物體的運動狀態(tài)改變來標定力，也可以利用力所產生的物體運動或變形的周期、頻率來標定力；而一旦建立起了力的基準，根據胡克定律就可以利用固體(例如彈簧或傳感器)的變形相當便捷地測定科學實驗和工程中的力的量值。

力學的教學和研究中還有一些大家都關心的共同話題，也許下次我們還可以繼續(xù)云聊。