光滑曲面點(diǎn)接觸的理想約束推導(dǎo)1)

趙 振

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

1 簡介

經(jīng)典力學(xué)中，分析力學(xué)采用理想約束的概念實(shí)現(xiàn)了對矢量力學(xué)的“降維”處理。而理想約束概念的形成也經(jīng)歷了相當(dāng)長的歷史[1]。從物體間相互作用的基本概念來講，分析力學(xué)把矢量力學(xué)的“力”轉(zhuǎn)變?yōu)椤傲Α?在“約束” 上“做功”。如果所研究約束(組) 的約束力在系統(tǒng)任意虛位移上所做虛功之和為零，此約束(組) 成為理想約束(組)[2-4]。為了描述清楚理想約束，分析力學(xué)引入了虛位移的概念。虛位移建立在約束的概念之上，為給定瞬時(shí)，約束容許的任何微小位移，也可以采用兩組在給定同一時(shí)刻、同一位形，且在相等時(shí)間間隔內(nèi)完成的可能微小位移之差來給出[2，4]。如果約束為理想的，其約束力可以不出現(xiàn)在系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程中，這樣，系統(tǒng)就實(shí)現(xiàn)了簡化。因此，判斷約束是否為理想對于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的簡化十分重要。

如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿不含摩擦的光滑表面運(yùn)動(dòng)，此表面視作理想約束易于理解。然而，如果是兩個(gè)外形光滑的剛體接觸，判斷接觸是否能夠視為理想約束并不“顯然”。分析力學(xué)在講述形狀光滑的兩剛性面保持點(diǎn)接觸時(shí)，從接觸點(diǎn)的可能微小位移在接觸點(diǎn)法方向的分量相等的條件，推導(dǎo)出法向接觸力為理想約束力；而純滾動(dòng)時(shí)，接觸點(diǎn)的相對速度為零，可以推導(dǎo)出純滾動(dòng)時(shí)的接觸力為理想約束力[1]。至于為什么接觸點(diǎn)法向相對速度為零并不清楚。為了進(jìn)一步明確接觸時(shí)可能微小位移在接觸點(diǎn)法方向的分量相等，以及接觸點(diǎn)相對速度為零的條件，本文從兩物體外沿保持點(diǎn)接觸具有的幾何特征出發(fā)[5-6]，推導(dǎo)上述結(jié)論。兩形狀光滑的剛性曲面保持點(diǎn)接觸時(shí)的幾何特征滿足：

(1) 兩個(gè)接觸點(diǎn)具有相同的空間位置；

(2) 剛性面在接觸點(diǎn)處相切。

本文從上述兩個(gè)條件出發(fā)，給出無摩擦和純滾動(dòng)時(shí)接觸力所做虛功為零的結(jié)論。

2 幾何描述

如圖1 所示。兩曲面視為兩個(gè)剛體的外沿，曲面參數(shù)坐標(biāo)分別設(shè)為ξ1，ξ2和ζ1，ζ2。兩曲面接觸于C 點(diǎn)，記C1在剛體1 上，C2在剛體2 上。法向量n，切平面為T，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)為O。兩曲面上點(diǎn)的位置總可以表示為r1(q1，q2，··· ，qn，ξ1，ξ2，t)和r2(q1，q2，··· ，qn，ζ1，ζ2，t)[5-6]，其中q1，q2，··· ，qn為曲面所在系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)接觸的幾何特征(1)，兩個(gè)曲面，r1(q1，q2，··· ，qn，ξ1，ξ2，t) 和r2(q1，q2，··· ，qn，ζ1，ζ2，t) 接觸于一點(diǎn)，接觸點(diǎn)位置滿足

圖1 兩曲面接觸于C 點(diǎn)

由于接觸點(diǎn)法向單位矢量為 n，根據(jù)幾何特征(2)，接觸點(diǎn)處滿足

如果兩個(gè)曲面保持點(diǎn)接觸，式(1) 和式(2) 一直成立?？蓪κ?1) 求導(dǎo)數(shù)，不僅考慮廣義坐標(biāo)的變化，還考慮接觸點(diǎn)的變化，得

在每一時(shí)刻，接觸點(diǎn)對應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn)是明確的。在物質(zhì)點(diǎn)不變的條件，即(ξ1，ξ2)和(ζ1，ζ2)不變，可以定義這兩個(gè)接觸物質(zhì)點(diǎn)的相對速度為

把式(4) 代入式(3) 可得

由于式(2) 和式(5) 兩邊點(diǎn)乘n 可得

這樣，我們從兩形狀光滑的剛性曲面保持點(diǎn)接觸時(shí)的幾何特征出發(fā)推導(dǎo)出接觸點(diǎn)法向相對速度為零。下面就可按照分析動(dòng)力學(xué)[1]中的推導(dǎo)過程，判斷接觸約束的理想性。

根據(jù)兩個(gè)接觸點(diǎn)的虛位移為任意兩個(gè)等時(shí)可能微小位移之差，接觸點(diǎn)相對虛位移為[2]

2.1 無摩擦

如果點(diǎn)接觸無摩擦，接觸力可以設(shè)為Fn1=λn，F(xiàn)n2=-Fn1。接觸力的虛功為

因此，根據(jù)式(6)，無摩擦?xí)r，形狀光滑的兩剛性曲面點(diǎn)接觸的約束為理想約束。

2.2 純滾動(dòng)

如果點(diǎn)接觸含有摩擦，但為純滾動(dòng)，接觸點(diǎn)的相對速度除了法向滿足式(6)外，切向速度也為零，即vτ=vr-vr·n=0，于是

設(shè)接觸力FC1和FC2=-FC1。根據(jù)式(7)，它們的虛功之和為

因此，根據(jù)式(9)，純滾動(dòng)時(shí)，形狀光滑的兩剛性曲面點(diǎn)接觸約束為理想約束。

3 結(jié)論

本文從兩物體接觸于一點(diǎn)所構(gòu)成的共點(diǎn)相切的幾何特征出發(fā)，推導(dǎo)出接觸點(diǎn)相對法向速度為零，然后根據(jù)無摩擦和純滾動(dòng)的條件，進(jìn)一步獲得接觸約束為理想約束的結(jié)論。相對于以往，本文推導(dǎo)過程的前提條件更加明確。