考慮溫度效應(yīng)的覆冰導(dǎo)線動力學(xué)建模及舞動特征研究1)

閔光云 劉小會，?， 蔡萌琦，?? 孫測世，? 楊曙光 張春霞

*(重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400074)

?(重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400074)

**(成都大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，成都610106)

??(成都大學(xué)模式識別與智能信息處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610106)

覆冰導(dǎo)線舞動是引起線路發(fā)生破壞的主要原因之一，因此研究覆冰導(dǎo)線舞動這一課題引起了學(xué)術(shù)界的關(guān)注[1]。覆冰導(dǎo)線舞動本質(zhì)屬于自激振動，通常表現(xiàn)為低頻、大振幅的幾何非線性特征[2-3]。在冬季季風(fēng)的作用下，覆冰導(dǎo)線舞動可持續(xù)數(shù)十日，長時間舞動所產(chǎn)生的交變應(yīng)力會導(dǎo)致線路破壞、螺栓松動等事故[4-7]，嚴(yán)重危害著國民經(jīng)濟(jì)和人民安全。針對覆冰導(dǎo)線舞動的研究，科技學(xué)者們在這一領(lǐng)域做了許多貢獻(xiàn)[1-14]。Den Hartog[8]與Nigol 等[9]提出了各自的舞動機(jī)理，在學(xué)術(shù)界受到了廣泛的認(rèn)可。秦力等[11]推導(dǎo)了二分裂覆冰導(dǎo)線舞動所產(chǎn)生的交變張力的表達(dá)式，并分析半波數(shù)等參數(shù)對交變張力的影響，得出覆冰二分裂導(dǎo)線的動態(tài)響應(yīng)特性，最后結(jié)合ANSYS 有限元軟件對理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。向玲等[12]通過FLUENT 仿真軟件模擬了覆冰四分裂導(dǎo)線的氣動力系數(shù)，并將該氣動力系數(shù)與風(fēng)洞試驗(yàn)所得氣動力系數(shù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果比較吻合，接著將模擬所得的氣動力系數(shù)施加到有限元模型上，系統(tǒng)地研究了覆冰四分裂導(dǎo)線的舞動特征。周林抒等[13]采用ABAQUS 有限元軟件對覆冰六分裂導(dǎo)線的舞動進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到了覆冰六分裂導(dǎo)線的位移響應(yīng)、舞動軌跡、交變張力，并將數(shù)值模擬結(jié)果與現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果作對比，驗(yàn)證了數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。蔡萌琦等[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了覆冰八分裂導(dǎo)線的舞動特征，還討論了風(fēng)速、檔距等參數(shù)對覆冰八分裂導(dǎo)線舞動特征的影響。

在研究覆冰導(dǎo)線舞動時，大部分學(xué)者都忽略了溫度效應(yīng)對覆冰導(dǎo)線舞動特征的影響，而實(shí)際工程中，溫度變化會導(dǎo)致覆冰導(dǎo)線膨脹或收縮，在覆冰導(dǎo)線內(nèi)部產(chǎn)生熱應(yīng)力，進(jìn)而可能對覆冰導(dǎo)線的舞動特征造成一定的影響。因此，本文在研究覆冰導(dǎo)線舞動特征時，重點(diǎn)考慮了溫度效應(yīng)對覆冰導(dǎo)線舞動特征的影響，研究成果將對理論建模的完善與實(shí)際工程的指導(dǎo)有一定的參考價值。

1 舞動方程

建立如圖1 所示的覆冰導(dǎo)線數(shù)學(xué)模型，覆冰導(dǎo)線兩端鉸接，且以左鉸接點(diǎn)為笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩鉸接點(diǎn)的連線為x 軸，y 軸正方向與重力加速度方向一致，z 軸正方向垂直于平面指向內(nèi)。圖1 中的Γ1表示覆冰導(dǎo)線的靜態(tài)構(gòu)型，Γ2表示覆冰導(dǎo)線的熱應(yīng)力平衡構(gòu)型，Γ3表示覆冰導(dǎo)線的動態(tài)構(gòu)型。

圖1 覆冰導(dǎo)線數(shù)學(xué)模型

將覆冰導(dǎo)線當(dāng)作連續(xù)體，根據(jù)牛頓力法可得覆冰導(dǎo)線靜態(tài)構(gòu)型上的平衡方程為

式中，s 為弧坐標(biāo)，m 為覆冰導(dǎo)線的單位質(zhì)量，g 為重力加速度，H 為初始張力。

同理，可得到覆冰導(dǎo)線在熱應(yīng)力平衡構(gòu)型上的平衡方程為

式中，u，v，w 分別表示溫度變化引起的覆冰導(dǎo)線x軸、y 軸、z 軸方向位移的變化量；表示溫度變化引起的張力變化量。

同理，也可得到覆冰導(dǎo)線在動態(tài)構(gòu)型上的平衡方程為

式中，F(xiàn)V和FW分別表示y 軸、z 軸方向覆冰導(dǎo)線所受氣動載荷；cU，cV，cW分別表示覆冰導(dǎo)線x軸，y 軸，z 軸方向的阻尼系數(shù)；分別表示在氣動載荷作用下覆冰導(dǎo)線x 軸、y 軸、z 軸方向增加的位移；為氣動載荷作用下覆冰導(dǎo)線張力的變化量。

覆冰導(dǎo)線x 軸方向的振動波速遠(yuǎn)小于y 軸、z軸方向的振動波速，因此忽略x 軸方向的位移，然后根據(jù)式(1)～式(3) 可得覆冰導(dǎo)線y 軸、z 軸方向的舞動控制方程為

式中

覆冰導(dǎo)線在氣動載荷作用下張力的表達(dá)式為

式中，L 表示覆冰導(dǎo)線的跨徑。

覆冰導(dǎo)線在氣動載荷下的位移為

式中，φ2和φ3表示模態(tài)函數(shù)，q2和q3表示振動函數(shù)。

將式(5) 和式(6) 代入式(4)，并根據(jù)Galerkin方法可得覆冰導(dǎo)線的舞動常微分方程

式(7) 中的線性與非線性系數(shù)的表達(dá)式分別為

2 氣動載荷分析

冬季來臨時，在季風(fēng)的影響下導(dǎo)線表面容易結(jié)冰，由于覆冰的影響，導(dǎo)線表面會受到一定大小的氣動載荷，為分析氣動載荷對覆冰導(dǎo)線的作用形式，首先需建立覆冰導(dǎo)線橫截面模型，如圖2 所示。

圖2 覆冰導(dǎo)線橫截面

FL表示氣動升力，F(xiàn)D表示氣動阻力，α 表示攻角，α0表示初始攻角，U 表示風(fēng)速(方向平行于z軸)。可得到

式中，α = α0-αt，αt=/U；ρ 表示空氣密度；D表示迎風(fēng)直徑；Cy和Cz分別表示y 軸、z 軸方向的氣動力系數(shù)，其表達(dá)式為

式中，α1，α2，α3，β1，β2，β3為待定系數(shù)，可通過風(fēng)洞試驗(yàn)測得。

初始攻角為一定常數(shù)，只具備靜力效應(yīng)，不影響覆冰導(dǎo)線的舞動特征，因此忽略初始攻角，然后將式(9) 代入式(8) 可得

根據(jù)Galerkin 方法，上節(jié)內(nèi)容已經(jīng)得到

將式(11) 代入式(10)，并將所得結(jié)果代入式(7) 可得到新的覆冰導(dǎo)線舞動常微分方程

式(12)新增加的線性與非線性系數(shù)的表達(dá)式分別為

3 多尺度法分析

覆冰導(dǎo)線的舞動一般屬于弱非線性系統(tǒng)的振動問題。針對弱非線性系統(tǒng)振動的研究，常用的定量分析方法有攝動法、KBM 漸進(jìn)法、諧波平衡法以及多尺度法等。多尺度法[15-19]因邏輯清晰、計算結(jié)果精度高而受到科技學(xué)者們的青睞。

為滿足多尺度法的求解格式，首先轉(zhuǎn)化式(12)為

式中，ε 表示無量綱的小參數(shù)，涉及到的其他線性與非線性系數(shù)的表達(dá)式分別為

式(13) 的解為

式中，q20和q30表示覆冰導(dǎo)線的周期解，q21和q31表示覆冰導(dǎo)線的修正解，T0和T1為時間尺度(物理意義分別表示關(guān)于時間t 的快變化量與慢變化量)，且滿足

式中，D0和D1為標(biāo)記符號。

將式(14)和式(15)代入式(13)，并將涉及到小參數(shù)ε 的項(xiàng)分類整理可得：ε 的零次項(xiàng)

ε 的一次項(xiàng)

將式(16) 的解設(shè)為

式中，AV和AW表示覆冰導(dǎo)線的舞動幅值(皆為T1的函數(shù))，cc 表示復(fù)雜的共軛項(xiàng)，i 為虛數(shù)單位。

將式(18) 代入式(17) 可得

根據(jù)微分方程的可解條件，式(19) 有解的充要條件為其久期項(xiàng)需為零，即

將AV和AW改寫為極坐標(biāo)形式，即

式中，ξV和ξW表示振幅，μV和μW表示相位。

將式(21) 代入式(20) 并分離實(shí)部和虛部可得

式(22) 可根據(jù)Newton-Raphson 方法求解，當(dāng)給定覆冰導(dǎo)線的物理參數(shù)與氣動力系數(shù)時，就能得到覆冰導(dǎo)線的位移時程曲線。

4 算例分析

本文的研究會涉及到覆冰導(dǎo)線的物理參數(shù)，具體為：覆冰導(dǎo)線的拉伸剛度EA=13.3×106N，初始張力H=21.73×103N，單位質(zhì)量m=1.53 kg/m，平均風(fēng)速U=4.1 m/s，覆冰導(dǎo)線的直徑D=0.018 8 m，空氣密度ρ=1.292 9 kg/m3，y 軸的黏性阻尼系數(shù)cV=0.01，z 軸的黏性阻尼系數(shù)cW=0.379，熱膨脹系數(shù)α=1.68×10-5°C-1，氣動力系數(shù)α1=-0.667，α2=-16.218 8，α3=33.432 4，β1=3.442，β2=3.33，β3=7.1262，靜態(tài)初始構(gòu)型y =(mgx/2H)×(L-x)，模態(tài)函數(shù)φ2=sin(πx/L)，φ3=sin(πx/L)。

本文推導(dǎo)了覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外固有頻率的計算式，從計算式中得知溫度的變化會導(dǎo)致覆冰導(dǎo)線固有頻率的變化，為系統(tǒng)地分析不同檔距下覆冰導(dǎo)線固有頻率隨溫度變化的趨勢，現(xiàn)給出了覆冰導(dǎo)線檔距L 分別為80 m，150 m，300 m，500 m 下溫度對面內(nèi)、面外固有頻率的影響曲線，見圖3。

從圖3 可知：覆冰導(dǎo)線檔距L 為80 m 和150 m時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加；覆冰導(dǎo)線檔距L 為300 m 和500 m時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加。這是因?yàn)槊鎯?nèi)頻率的表達(dá)式為ω22=?1/?6，即影響面內(nèi)頻率的系數(shù)主要為?1和?6。其中?6= -∫L0 mφ22dx，且?6隨著檔距的增加而增加，?1表達(dá)式為

但?1的變化與檔距和溫度都有關(guān)。檔距較小時，?1的大小主要由決定，即隨著溫度增高、檔距變大，?1的值會增加；檔距較大時，影響系數(shù)?1的多項(xiàng)式

圖3 溫度對固有頻率的影響(不同檔距)

的值會變大，且該值為負(fù)數(shù)，進(jìn)而會使得?1的值變小。面外頻率的表達(dá)式為ω23=ν1/ν5，即影響面內(nèi)頻率的系數(shù)主要為ν1和ν5，且都隨著檔距和溫度的增加而增加，但ν5的增加速度比ν1的增加速度快，即在大檔距下面外頻率的斜率較小。由此可知不同檔距下，溫度對覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的頻率的影響是很顯著的。

覆冰導(dǎo)線的初始張力H 一般在3.0×104N 上下浮動，為分析不同張力下覆冰導(dǎo)線固有頻率隨溫度變化的趨勢，現(xiàn)給出了覆冰導(dǎo)線張力H 分別為2.0×104N，3.0×104N，4.0×104N，5.0×104N 下溫度對面內(nèi)、面外固有頻率的影響曲線，見圖4。

從圖4 可知：覆冰導(dǎo)線初始張力H 為2.0×104N和3.0×104N 時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加；覆冰導(dǎo)線初始張力H 為4.0×104N 和5.0×104N 時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加。這是因?yàn)槊鎯?nèi)的頻率為ω22= ?1/?6，當(dāng)張力較小時，影響系數(shù)?1的多項(xiàng)式

圖4 溫度對固有頻率的影響(不同張力)

的值會隨著溫度的升高而變大，且該值為負(fù)數(shù)，因此會使得面內(nèi)的頻率變小；當(dāng)張力較大時，多項(xiàng)式

的值對頻率的影響將越來越小，因此當(dāng)初始張力H為4.0×104N 和5.0×104N 時，面內(nèi)的頻率表現(xiàn)為緩慢增加的趨勢。由此可知不同張力下，溫度對覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的頻率的影響也是很顯著的。

根據(jù)上述分析得知：溫度變化會導(dǎo)致覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外頻率的改變，進(jìn)而可能導(dǎo)致舞動幅值發(fā)生改變。實(shí)際生活中500 m 的大跨越覆冰導(dǎo)線隨處可見，因此下面給出檔距L 為500 m 的覆冰導(dǎo)線在ΔT = -40°C，ΔT = 0°C，ΔT = 40°C 時的位移時程曲線，見圖5 ～圖7。

圖5 位移響應(yīng)曲線(T =-40°C)

從圖5 ～圖7 可知：覆冰導(dǎo)線的舞動是一個能量逐漸積累的過程。在600 s 之前，隨著時間的推移，面內(nèi)、面外的幅值逐漸增加，當(dāng)達(dá)到600 s 左右時，導(dǎo)線逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后幅值保持不變；溫度對幅值的影響比較顯著。當(dāng)溫度降低時，導(dǎo)線穩(wěn)定后的幅值會降低，當(dāng)溫度升高時，導(dǎo)線穩(wěn)定后的幅值會增加，因此針對覆冰導(dǎo)線舞動特征研究時，有必要考慮溫度效應(yīng)對覆冰導(dǎo)線舞動特征的影響。

圖6 位移響應(yīng)曲線(T =0°C)

圖6 位移響應(yīng)曲線(T =0°C) (續(xù))

圖7 位移響應(yīng)曲線(T =40°C)

根據(jù)上述分析可知，溫度變化會對覆冰導(dǎo)線的舞動幅值造成影響，為了更加清楚地對比不同溫度變化下覆冰導(dǎo)線舞動幅值的區(qū)別，圖8～圖10 給出了處于穩(wěn)定狀態(tài)下10 s 內(nèi)的幅值對比分析圖，還給出了數(shù)值解用來驗(yàn)證本文結(jié)果的有效性、適用性。

圖8 面內(nèi)的位移響應(yīng)曲線(不同溫度下)

圖9 面外的位移響應(yīng)曲線(不同溫度下)

圖9 面外的位移響應(yīng)曲線(不同溫度下) (續(xù))

圖10 軌跡曲線(不同溫度下)

從圖8～圖10 可知：當(dāng)覆冰導(dǎo)線穩(wěn)定時，導(dǎo)線面內(nèi)、面外的幅值都將保持不變，穩(wěn)定時點(diǎn)的軌跡近似為橢圓，穩(wěn)定后舞動的周期保持不變；且隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的幅值明顯增加，隨著溫度的降低，覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的幅值明顯降低，因此考慮溫度變化對導(dǎo)線舞動特征的影響是必要的；多尺度法所得解與數(shù)值法所得解比較吻合，驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性。

5 結(jié)論

本文推導(dǎo)了考慮溫度效應(yīng)的覆冰導(dǎo)線舞動方程，隨后采用多尺度法求得了覆冰導(dǎo)線的位移響應(yīng)表達(dá)式，最后進(jìn)行了參數(shù)分析、算例分析，且通過數(shù)值法對所得結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，所得結(jié)論如下：

(1) 覆冰導(dǎo)線檔距L為80 m 和150 m 時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加；覆冰導(dǎo)線檔距L為300 m 和500 m 時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加。因此，不同檔距下，溫度對覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的頻率的影響是很顯著的。

(2) 覆冰導(dǎo)線張力H為2.0×104N 和3.0×104N 時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)的頻率將下降、面外的頻率將增加；覆冰導(dǎo)線張力H為4.0×104N 和5.0×104N 時，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線的面內(nèi)、面外的頻率都將增加。因此，不同張力下，溫度對覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的頻率的影響是很顯著的。

(3)覆冰導(dǎo)線的舞動是一個能量積累的過程，隨著溫度的升高，覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的幅值明顯增加，隨著溫度的降低，覆冰導(dǎo)線面內(nèi)、面外的幅值明顯降低。針對覆冰導(dǎo)線舞動特性分析時，考慮溫度變化對導(dǎo)線舞動特征的影響是必要的。