含邊界層的機(jī)械臂分?jǐn)?shù)階滑?？刂?/h1>

2021-03-05 10:08:56劉世杰黃志來楊明星徐培民

上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)訂閱 2021年4期 收藏

關(guān)鍵詞：邊界層微積分微分

劉世杰，黃志來，楊明星，徐培民

（安徽工業(yè)大學(xué) a.特種重載機(jī)器人安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.機(jī)械工程學(xué)院,馬鞍山 243000）

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的拓展，由L’Hopital 和Leibniz 于1695 年首次提出[1]，進(jìn)一步演變?yōu)槲⒎?積分階次為任意復(fù)數(shù)，稱之為復(fù)數(shù)階微積分[2].分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的應(yīng)用受到許多學(xué)者的關(guān)注[3]，并將其移植于整數(shù)階控制器，取得了系列研究成果[4].

滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)[5]是一種確定、非線性、魯棒控制方法，屬于變結(jié)構(gòu)控制[6]，滑模面對(duì)應(yīng)的函數(shù)滿足李雅普諾夫穩(wěn)定[7]，保證系統(tǒng)相軌跡在預(yù)定的滑模面附近切換，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制[8].引入分?jǐn)?shù)階微積分設(shè)計(jì)滑?？刂剖钱?dāng)前研究的熱點(diǎn)[9]，對(duì)解決滑?？刂扑逃械亩墩駟栴}有積極意義[10]，并具有更好的控制效果[11].分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于滑?？刂?，簡(jiǎn)稱分?jǐn)?shù)階滑?？刂?(Fractional Order Sliding Mode Control，F(xiàn)OSMC)，在控制器的設(shè)計(jì)過程中，部分學(xué)者將分?jǐn)?shù)階算子與滑模面結(jié)合構(gòu)成分?jǐn)?shù)階滑模面.Huang 等[12]針對(duì)多機(jī)電力系統(tǒng)，將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于滑?？刂?，提出一種自由空間滑?？刂破?，仿真結(jié)果表明該控制器能有效減少抖振現(xiàn)象.Nguyen 等[13]針對(duì)半主動(dòng)車輛懸架系統(tǒng)，提出一種基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的滑?？刂破?，數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出的控制方法能使給定系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)漸趨穩(wěn)定.此外，還有學(xué)者將分?jǐn)?shù)階算子與趨近律結(jié)合構(gòu)成新的分?jǐn)?shù)階趨近律.Ma 等[14]針對(duì)不確定離散時(shí)間系統(tǒng)，將分?jǐn)?shù)階微分和高階擾動(dòng)補(bǔ)償器引入趨近律中，提出一種新的分?jǐn)?shù)階趨近律，仿真結(jié)果表明所提出的方法能進(jìn)一步減輕抖振并提高控制精度.Babaei 等[15]將非線性趨近律與基于分?jǐn)?shù)階模型的灰色預(yù)測(cè)算法相結(jié)合，提出一種新的分?jǐn)?shù)階模糊灰色預(yù)測(cè)滑模控制器，仿真和試驗(yàn)結(jié)果顯示，所提出的方法跟蹤速度更快，對(duì)干擾具有較強(qiáng)的魯棒性.

機(jī)械臂廣泛應(yīng)用于裝備制造、外科醫(yī)療等領(lǐng)域[16]，隨著工業(yè)領(lǐng)域?qū)π屎唾|(zhì)量的不斷追求，對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)控制也有了更高要求[17]，如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[18]、精確的軌跡跟蹤[19]等.將分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鲬?yīng)用于機(jī)械臂控制有很好的前景[20].

本研究引入分?jǐn)?shù)階微積分，構(gòu)造一類分?jǐn)?shù)階滑模面和飽和函數(shù)趨近律，獲得新的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?，并證明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最終通過機(jī)械臂系統(tǒng)的控制算例驗(yàn)證其控制效果.

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分由整數(shù)階微積分推廣至任意非整數(shù)階，近年來，其大量應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域.分?jǐn)?shù)階微分用算子表示[21]，其有多種定義，本研究中取Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子，定義為式中：α 為階次，m?1<α

分?jǐn)?shù)階微積分具有全局特性和記憶性，是初始點(diǎn)到終止點(diǎn)間所有狀態(tài)信息的綜合體現(xiàn)，其數(shù)值實(shí)現(xiàn)難度遠(yuǎn)超整數(shù)階微積分.目前采用逼近方法以有限的整數(shù)階狀態(tài)信息近似出分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值[22].本研究使用頻域?yàn)V波算法中Oustaloup 方法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計(jì)算，其本質(zhì)是在限定頻段內(nèi)近似實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分算子，具有計(jì)算精度較高、運(yùn)算簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)[23].考慮頻帶范圍(ω1,ω2)，構(gòu)造Oustaloup 算法的濾波器傳遞函數(shù)為

式中：r為逼近后整數(shù)階傳遞函數(shù)的階數(shù)，為非負(fù)整數(shù)；頻帶范圍 (ω1,ω2)=(0.001 rad/s,1 000 rad/s).

性質(zhì)1Caputo 型分?jǐn)?shù)微分算子用代換，即

當(dāng)且僅當(dāng)分?jǐn)?shù)微分的下端t=z時(shí)，函數(shù)f(t)滿足條件

性質(zhì)2常數(shù)的Caputo 型分?jǐn)?shù)微分

式中：r為任意常數(shù).

性質(zhì)3與整數(shù)階微分類似，分?jǐn)?shù)階微分是一種線性運(yùn)算，有

性質(zhì)4Caputo 定義下的Laplace 變換為

2 滑模趨近律

趨近律是描述狀態(tài)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至滑模面的速率，通過其可調(diào)節(jié)到達(dá)滑模面的時(shí)間及產(chǎn)生的沖擊，可有效保證滑?？刂频钠焚|(zhì)[24]，是滑?？刂浦邢魅醵墩窈透纳瓶刂苿?dòng)態(tài)性能的重要途徑[25].

2.1 傳統(tǒng)滑模趨近律

1）等速趨近律

令ε=[sign(s1),sign(s2),···,sign(sn)]T，定義常量η為系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)切換面的趨近速率，表達(dá)式為

η值大小決定趨近速率快慢，η過大，則狀態(tài)點(diǎn)將以較大的速度到達(dá)切換面，易引起較大抖振.si(t)為 切換函數(shù)，且，求解式(8)可得

2）指數(shù)趨近律

在等速趨近律基礎(chǔ)上引入指數(shù)項(xiàng) ?τs，遠(yuǎn)離切換面時(shí)，主要體現(xiàn)為指數(shù)趨近；而到達(dá)切換面附近時(shí)，指數(shù)趨近速度銳減，此時(shí)等速趨近項(xiàng) ?ηε確?；Ｗ兞吭谟邢迺r(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，即

求解式(10)得

3）冪次趨近律

狀態(tài)點(diǎn)以冪次規(guī)律的趨近速率在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，冪次項(xiàng)保證狀態(tài)點(diǎn)接近滑動(dòng)模態(tài)時(shí)減緩趨近速率，可有效削弱抖振，可得

對(duì)式(12)積分可得

2.2 含邊界層的滑模趨近律

經(jīng)典滑模控制中符號(hào)函數(shù)導(dǎo)致控制器存在不連續(xù)切換，引起系統(tǒng)抖振[26]，引入邊界層法能夠有效消除抖振[27].邊界層法屬于準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制方法之一，準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)被吸引至理想滑動(dòng)模態(tài)的某一 μ 鄰域內(nèi)，μ 鄰域稱為滑動(dòng)模態(tài)切換面的邊界層[28].本研究采用飽和函數(shù)來替代符號(hào)函數(shù)，選取飽和函數(shù) sat(si)為

式中：μ>0為 邊界層厚度，i=1,2,···,n.

飽和函數(shù)與符號(hào)函數(shù)如圖1 所示.在邊界層內(nèi)，采用連續(xù)控制；在邊界層外，采用切換控制，從而削弱在滑模面上的抖振現(xiàn)象.令 ψ=[sat(s1),sat(s2),···,sat(sn)]T，構(gòu)造飽和函數(shù)趨近律為

圖1 飽和函數(shù)與符號(hào)函數(shù)Fig.1 Saturation function and sign function

3 機(jī)械臂分?jǐn)?shù)階滑模控制

3.1 機(jī)械臂系統(tǒng)模型

n關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

3.2 含邊界層的分?jǐn)?shù)階滑?？刂?/h3>

令C=diag(c1,c2,···,cn),ci>0，系統(tǒng)誤差e=qd?q，K=diag(k1,k2,···,kn),ki>0，則定義分?jǐn)?shù)階滑模面為

根據(jù)式(3)中給出的性質(zhì)，可得

式(18)求導(dǎo)可得

合并式(15)和式(20)構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑?？刂坡?/p>

利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析，定義李雅普諾夫函數(shù)為

對(duì)于任意的s≠0都有V(t)>0.對(duì)式(22)求導(dǎo)，同時(shí)考慮式(20)可得

將式(21)代入式(23)中化簡(jiǎn)可得

根據(jù)飽和函數(shù)的定義可知sisat(si)≥0，因此，可得，即控制律滿足穩(wěn)定條件.

4 仿真算例

以含擾動(dòng)的兩自由度機(jī)械臂為仿真系統(tǒng)，為驗(yàn)證式(21)FOSMC 的控制律的控制效果，取對(duì)比控制律SMC 為，式(16)中系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)如下[29]

式中：質(zhì)量參數(shù)m1=4kg，m2=2kg；長(zhǎng)度參數(shù)l1=2 m，l2=1 m ；重力加速度g=9.8m/s2；擾動(dòng)Δ(t)=3sin(2πt)；期望軌跡q1d=cos(πt)和q2d=sin(πt)；系統(tǒng)初始狀態(tài)；控制器參數(shù)c1=c2=5，μ=0.9，η=0.5；仿真時(shí)長(zhǎng)10s，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示.

圖2 軌跡跟蹤Fig.2 Trajectory tracking

圖3 軌跡跟蹤誤差Fig.3 Trajectory tracking error

圖2中，選取α=0.2，兩種控制方法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤，相比SMC，F(xiàn)OSMC的軌跡，更加接近期望軌跡.

軌跡跟蹤誤差如圖3 所示.i=1,2為機(jī)械臂關(guān)節(jié)1 和2；j=1,2,3,4 為FOSMC 階數(shù)α=0.2,0.4,0.6,0.8；ei和ei j分別為SMC和FOSMC軌跡跟蹤誤差.SMC和FOSMC 取不同階次時(shí)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間見表1.當(dāng) α=0.2時(shí)軌跡跟蹤誤差曲線能較快趨于平緩.兩種控制方法的誤差最終都趨于0，F(xiàn)OSMC 的誤差收斂速度更快，即調(diào)整時(shí)間更短.

表1 系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間Table 1 System reaching steady state time

由圖2 和圖3 可知，兩種控制方法均能實(shí)現(xiàn)對(duì)三角函數(shù)形式的期望軌跡的精確跟蹤，與SMC 相比，F(xiàn)OSMC 的跟蹤誤差更小，能更快收斂于0，調(diào)整時(shí)間更短，具有更好的跟蹤特性和穩(wěn)定性.

5 結(jié)語

針對(duì)兩自由度機(jī)械臂系統(tǒng)，本研究基于經(jīng)典滑?？刂疲敕?jǐn)?shù)階微積分理論，構(gòu)造一種新的分?jǐn)?shù)階滑模控制器.對(duì)滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}，采用飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)構(gòu)造含邊界層的滑模趨近律，利用李雅普諾夫直接法證明方法的穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典滑?？刂葡啾龋驴刂破骶哂懈斓氖諗克俣群透玫目刂菩阅?

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