多元時間序列因果關(guān)系分析研究綜述

任偉杰 韓 敏

時間序列是指現(xiàn)實世界中的某個觀測變量,按照其發(fā)生的時間先后順序排列的一組數(shù)字序列.時間序列可以分為一元時間序列和多元時間序列,多元時間序列是指多個一元時間序列的組合,可以認為是一次采樣中可以獲得不同來源的多個觀測變量.多元時間序列廣泛存在于自然[1]、醫(yī)學(xué)[2]、社會[3]、工業(yè)[4]等各個領(lǐng)域的復(fù)雜系統(tǒng)中,多個變量之間具有復(fù)雜的關(guān)聯(lián)關(guān)系,相互影響作用不明確.隨著數(shù)據(jù)采集和存儲技術(shù)的發(fā)展,時間序列數(shù)據(jù)的維度和規(guī)模不斷增加,為建立準(zhǔn)確的預(yù)測模型增加了難度.同時,隨著數(shù)據(jù)維度的增加,出現(xiàn)了大量冗余和無關(guān)變量,容易掩蓋重要變量的作用,對模型的建立產(chǎn)生負面的影響[5].時間序列數(shù)據(jù)挖掘[6?7]是當(dāng)前研究的熱門問題,研究如何有效地從多元時間序列中挖掘潛在的有用信息、構(gòu)建預(yù)測模型,能夠為自然、醫(yī)學(xué)、社會、工業(yè)等領(lǐng)域的控制、決策與調(diào)控提供理論指導(dǎo),具有十分重要的現(xiàn)實意義[8].因此,本文主要研究多元時間序列的分析手段,解釋未知系統(tǒng)的動力學(xué)特性與運行規(guī)律,從而為建立更加精確的系統(tǒng)模型奠定基礎(chǔ).

在多變量系統(tǒng)中,通過分析可觀測變量之間的相關(guān)關(guān)系,可以找出對建模貢獻度大的相關(guān)變量,從而推斷出系統(tǒng)的運行機理.目前,多元時間序列相關(guān)性分析主要集中于統(tǒng)計學(xué)手段,例如Pearson相關(guān)系數(shù)、秩相關(guān)系數(shù)、典型相關(guān)分析[9]、互信息[10]、最大信息系數(shù)[11]、灰色關(guān)聯(lián)分析[12]、Copula 分析[13]等.這些方法能夠有效處理線性或非線性相關(guān)關(guān)系,其分析結(jié)果具有對稱性.然而,多個變量之間不僅存在直接相互作用,還存在以中間變量為橋梁的間接相互作用,并且影響關(guān)系通常具有非對稱性.傳統(tǒng)的相關(guān)性分析方法難以處理間接關(guān)系、非對稱影響關(guān)系,在實際應(yīng)用中受到很大限制.

隨著系統(tǒng)復(fù)雜度的增加,相關(guān)性分析難以滿足建模需求,因果關(guān)系分析方法得到廣泛關(guān)注[14].因果關(guān)系是一個系統(tǒng)(因)與另一個系統(tǒng)(果)之間的作用關(guān)系,其中第1 個系統(tǒng)是第2 個系統(tǒng)的原因,第2個系統(tǒng)依賴于第1 個系統(tǒng).1969 年,Granger[15]首次提出了一種評價二變量時間序列之間是否存在相互作用的因果關(guān)系分析方法,即Granger 因果關(guān)系分析方法.該方法基于系統(tǒng)的可預(yù)測性,基本思想是:對于兩個時間序列,如果一個時間序列未來時刻的預(yù)測誤差,能夠通過引入另一個時間序列的歷史信息而減小,則稱第2 個時間序列對第1 個時間序列具有因果影響.由于傳統(tǒng)的Granger 因果分析建立在線性模型的基礎(chǔ)上,僅對二元時間序列進行分析,在提出之后出現(xiàn)了大量改進模型[16].Granger 因果分析方法具有很強的可解釋性,但是此類方法只能給出定性分析結(jié)果,并且對于高維時間序列容易產(chǎn)生虛假因果現(xiàn)象.基于信息測度的因果分析是一類非參數(shù)方法,包括轉(zhuǎn)移熵、條件熵、條件互信息等,這類方法通過建立評價函數(shù),能夠定量分析因果關(guān)系的強弱[17].此外,基于狀態(tài)空間的因果模型[18]、貝葉斯網(wǎng)絡(luò)等模型[19?20],同樣用于分析各種類型的因果關(guān)系.因此,針對多變量系統(tǒng)的建模要求,合理利用因果分析方法的優(yōu)勢,研究系統(tǒng)各個變量之間的驅(qū)動響應(yīng)關(guān)系,進而推斷系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和運行機理,是當(dāng)前研究的熱點問題[21].

綜上所述,相比于常規(guī)的相關(guān)性分析方法,因果分析方法能夠分析出具有方向性的直接因果關(guān)系,更加適用于多變量系統(tǒng)的分析與建模.本文針對多元時間序列因果關(guān)系分析的幾類典型方法進行綜述,包括Granger 因果關(guān)系分析、基于信息理論的因果分析和基于狀態(tài)空間的因果分析,并結(jié)合當(dāng)前流行的機器學(xué)習(xí)方法、不同領(lǐng)域時間序列建模的需求等,討論因果分析方法的實際應(yīng)用和未來發(fā)展趨勢.

1 Granger 因果關(guān)系分析

Granger 因果關(guān)系是由諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主Granger 提出的一種因果關(guān)系分析模型,在金融時間序列分析中發(fā)揮了重要作用,目前已經(jīng)成為自然、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域普遍使用的因果模型.本節(jié)將對Granger因果分析及其改進模型的基本原理、適用范圍進行分析與總結(jié).

1.1 Granger 因果分析基本方法

Granger 因果關(guān)系分析作為一種判別二元時間序列之間是否存在因果關(guān)系的方法,從提出以來受到研究人員的廣泛關(guān)注.這種思想最初由Wiener 提出,之后由Granger 通過隨機過程的線性回歸模型實現(xiàn)[15],其基本思想是:若采用時間序列X和Y的歷史信息對Y進行預(yù)測,優(yōu)于僅采用Y的歷史信息對Y進行預(yù)測的結(jié)果,即時間序列X有助于解釋時間序列Y的未來變化趨勢,那么時間序列X是時間序列Y的Granger 原因.建立如下兩個向量自回歸(Vector autoregressive,VAR)模型:

其中,αj,aj和bj為模型的系數(shù),m為模型的階數(shù),εY和εY|X為模型的殘差.根據(jù)回歸預(yù)測結(jié)果,通過比較VAR 模型殘差的方差大小,判斷X →Y是否存在Granger 因果關(guān)系,Granger 因果指數(shù)(Granger causality index,GCI)定義為

在提出之后的幾十年中,Granger 因果模型在許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用,但是由于其建立在線性模型的基礎(chǔ)上,如果直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng),在某些情況下將失去作用.此外,多變量系統(tǒng)存在復(fù)雜的因果關(guān)系,GCI 僅進行兩個變量的因果分析,處理復(fù)雜系統(tǒng)的能力嚴(yán)重不足.因此,學(xué)者們提出了大量改進模型[22],用于分析多變量、非線性系統(tǒng)的因果關(guān)系,包括條件Granger 因果模型、Lasso-Granger 因果模型、非線性Granger 因果模型和頻域Granger 因果模型等,具體如表1 所示.

表1 Granger 因果關(guān)系分析及其改進方法Table 1 Granger causality analysis and its improvement methods

1.2 條件 Granger 因果模型

傳統(tǒng)的Granger 因果模型僅用于分析兩個變量之間的因果關(guān)系,對于多變量系統(tǒng)的因果分析,通常不考慮多個變量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,直接轉(zhuǎn)化為多個二變量問題進行分析.然而,多變量系統(tǒng)的變量之間存在直接或間接的聯(lián)系,在分析任意兩個變量因果關(guān)系時,可能存在中間變量的影響,此時傳統(tǒng)的Granger 因果模型容易產(chǎn)生虛假因果.為了解決上述問題,Geweke[23]提出了條件Granger 因果分析方法,引入條件變量,建立兩個VAR 模型:

其中,Z表示條件變量.條件Granger 因果指數(shù)(Conditional Granger causality index,CGCI)定義為

條件Granger 因果模型建立在多變量回歸模型基礎(chǔ)上,通過將條件變量加入到回歸模型中,有效區(qū)分變量的直接和間接聯(lián)系,得到直接因果關(guān)系.Chen等[24]引入非線性預(yù)測思想,提出了條件擴展Granger因果指數(shù)(Conditional extended Granger causality index,CEGCI),應(yīng)用于多元混沌時間序列因果分析.由于回歸模型(3)中包含很多待求參數(shù),對于包含大量觀測變量的系統(tǒng),其計算過程十分復(fù)雜且容易失效.Siggiridou 等[25]引入了延遲變量選擇策略,限制VAR 模型的階數(shù),提出了限制條件Granger 因果指數(shù)(Restricted conditional Granger causality index,RCGCI),成功應(yīng)用于高維時間序列的因果分析.

1.3 Lasso-Granger 因果模型

針對多變量系統(tǒng)因果分析,Granger 因果模型和條件Granger 因果模型需要對任意兩個變量進行Granger 因果檢測,具有很高的計算復(fù)雜度.盡管建立VAR 模型可以考慮多個變量之間的相互影響,仍然難以獲得理想的分析結(jié)果.針對高維變量Granger因果分析問題,Arnold 等[26]提出了Lasso-Granger因果模型,根據(jù)輸入變量選擇的結(jié)果識別Granger因果關(guān)系,其基本思想是:應(yīng)用全部輸入變量進行Lasso回歸,根據(jù)模型回歸系數(shù)識別Granger 因果關(guān)系的強弱.目標(biāo)函數(shù)如下所示:

其中,Y為預(yù)測變量,X為全部輸入變量,α為回歸系數(shù),λ為正則化參數(shù),用于控制懲罰項大小.如果時間序列Xj對應(yīng)的系數(shù)αj為零或接近于零,則表明時間序列Xj →Y不存在Granger 因果關(guān)系,反之則存在Granger 因果關(guān)系.Lasso-Granger 因果模型通過建立一個回歸模型,分析出全部輸入變量對預(yù)測變量的因果關(guān)系,大大縮減了計算量.

Shojaie 等[27]提出了截斷Lasso-Granger 因果模型,能夠準(zhǔn)確估計時間序列回歸模型的階數(shù),從而提高模型的計算準(zhǔn)確度.為避免群組效應(yīng),Bolstad 等[28]提出了Grouped-Lasso-Granger 因果模型,能夠減少錯誤因果關(guān)系的產(chǎn)生.Yang 等[29]提出了Grouped-Lasso非線性條件Granger 因果模型,該方法利用不同集合的徑向基函數(shù)近似非線性關(guān)系,并結(jié)合群組變量選擇算法,將Lasso-Granger 因果模型擴展到非線性復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)重構(gòu).

1.4 非線性Granger 因果模型

傳統(tǒng)的Granger 因果模型僅用于分析線性因果關(guān)系,隨著應(yīng)用范圍的擴大以及研究的逐漸深入,人們發(fā)現(xiàn)大量系統(tǒng)存在非線性因果關(guān)系,從而涌現(xiàn)出很多非線性Granger 因果模型.根據(jù)前面介紹的Granger 因果分析方法可以看出,已經(jīng)有學(xué)者提出應(yīng)用非線性預(yù)測理論改進線性模型,實現(xiàn)由線性到非線性的擴展.下面詳細介紹幾類代表性的非線性Granger 因果模型.

Ancona 等[30]提出了基于徑向基函數(shù)(Radial basis functions,RBF)的非線性預(yù)測模型,用于衡量二變量之間的非線性Granger因果關(guān)系.建立如下兩個回歸模型:

其中,v,w1,w2為模型系數(shù),Xt=[Xt,Xt?1,···,Xt?m+1]和Yt=[Yt,Yt?1,···,Yt?m+1] 表示時間序列X和Y的歷史信息,Ψ 和 Ψ 為徑向基函數(shù).通過判斷模型殘差的方差大小,可以分析是否存在非線性Granger 因果關(guān)系.

Marinazzo 等[31]提出了基于核方法的非線性Granger 因果模型,在再生核Hilbert 空間中進行線性Granger 因果檢測,根據(jù)核函數(shù)映射實現(xiàn)線性到非線性的轉(zhuǎn)換.該方法的關(guān)鍵在于核函數(shù)的選擇,經(jīng)過核函數(shù)的內(nèi)積運算,很容易實現(xiàn)高維變量的因果關(guān)系分析[32].Wu 等[33]提出了基于核典型相關(guān)分析(Kernel canonical correlation analysis,KCCA)的非線性Granger 因果模型,同樣在典型相關(guān)分析的基礎(chǔ)上引入了核映射,使得該方法具有處理多變量、非線性系統(tǒng)因果關(guān)系的能力.

Hu 等[34]提出了一種基于Copula 的Granger因果模型,成功應(yīng)用于非線性、多變量系統(tǒng)因果分析.該方法是一種非參數(shù)模型方法,基于Granger因果分析的基本思想,應(yīng)用Copula 函數(shù)描述系統(tǒng)的條件概率分布,實現(xiàn)因果關(guān)系分析.Montalto 等[35]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural networks,NN)的Granger因果模型,該方法不需要任何先驗假設(shè)條件,直接根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測結(jié)果判斷因果關(guān)系.

1.5 頻域Granger 因果模型

前面介紹的Granger 因果分析方法均為時域模型,然而在頻域中能夠更好地描述神經(jīng)動力學(xué)系統(tǒng)[38],從而產(chǎn)生了頻域Granger 因果模型.Geweke[23]提出了第一個頻域Granger 因果模型,首先建立多變量VAR 模型,經(jīng)過傅里葉變換將時域模型轉(zhuǎn)換為頻域模型,進而分析因果關(guān)系.Barrett 等[39]在前面模型的基礎(chǔ)上,引入了線性變化,得到了簡化的頻域Granger因果模型.

Baccalá 等[36]提出了另一種頻域因果模型-偏定向相干性(Partial directed coherence,PDC),該方法將包含K個變量的VAR 模型系數(shù)進行傅里葉變換,定義時間序列Xj →Xi的因果關(guān)系為

其中,Z表示條件變量,A(f) 為VAR 模型系數(shù)的傅里葉變換,(f) 為矩陣的對應(yīng)元素. PDCXj→Xi|Z(f) 表示在頻率f下Xj →Xi的因果關(guān)系,結(jié)果歸一化到 [0,1]之間,其值接近于0 表示無因果關(guān)系,大于一定的閾值表明有因果關(guān)系.

Kamiński 等[37]提出了直接傳遞函數(shù)(Directed transfer function,DTF)方法,同樣在頻域分析因果關(guān)系.與PDC 模型類似,DTF 對建立的VAR模型系數(shù)進行傅里葉變換,定義H(f)=A?1(f) 為傳遞系數(shù)矩陣,則時間序列Xj →Xi的因果關(guān)系為

其中,Hi,j(f) 為矩陣H(f) 的對應(yīng)元素.DTF 描述在頻率f下時間序列Xj →Xi的直接因果關(guān)系.

2 基于信息理論的因果分析

信息理論能夠度量任意類型的相關(guān)關(guān)系,是分析兩個系統(tǒng)或多個系統(tǒng)之間信息流的重要手段.在轉(zhuǎn)移熵概念提出之后,出現(xiàn)了各種類型的基于信息理論的因果模型.下面首先介紹信息理論的基本概念,然后總結(jié)基于轉(zhuǎn)移熵、條件熵和條件互信息的因果模型.

2.1 信息理論基礎(chǔ)

熵表示一個系統(tǒng)混亂的程度,系統(tǒng)混亂程度越高,其熵值越大.在信息理論中,熵通常也稱作信息熵或香農(nóng)熵,它以數(shù)值形式表達隨機變量取值的不確定性程度,目的是刻畫信息量的多少.假設(shè)X為一個離散的隨機變量,p(x) 表示X的概率密度函數(shù),則變量X的信息熵定義為

聯(lián)合熵主要用來考察多個變量間共同擁有信息的含量,其定義與信息熵類似.假設(shè)X和Y為兩個離散的隨機變量,其聯(lián)合概率密度函數(shù)為p(x,y),則X和Y的聯(lián)合熵定義為

條件熵(Conditional entropy,CE)表示已知一個變量的情況下,衡量變量包含的信息量大小.引入條件概率函數(shù)p(x|y),條件熵具體定義為

互信息反映兩個變量之間的統(tǒng)計依賴程度,表示兩個變量共同擁有的信息量大小.變量X和Y之間的互信息定義為

由定義可知,當(dāng)變量X和Y完全無關(guān)或相互獨立時,互信息值為0,表明變量之間不存在相同的信息;反之,當(dāng)它們相互依賴程度越高時,互信息值越大,所包含的相同信息也越多.根據(jù)熵和互信息的表達式,可以得到互信息與熵的關(guān)系為

基于信息理論的基本概念,學(xué)者提出了一系列因果分析模型,主要包括轉(zhuǎn)移熵、條件熵、條件互信息等,具體如表2 所示.轉(zhuǎn)移熵[40]最初用于評價二變量時間序列之間的非線性因果關(guān)系,是一種非參數(shù)模型方法,受到廣泛關(guān)注.在此之后,學(xué)者們提出了大量改進模型,如偏轉(zhuǎn)移熵、條件熵、條件互信息等.此外,部分時間序列呈現(xiàn)非平穩(wěn)特性,因此有學(xué)者致力于研究非平穩(wěn)時間序列的因果關(guān)系分析,提出了符號轉(zhuǎn)移熵、偏符號轉(zhuǎn)移熵等因果分析模型.

2.2 轉(zhuǎn)移熵及其改進方法

2000 年,Schreiber[40]提出了轉(zhuǎn)移熵(Transfer entropy,TE)的概念,首次根據(jù)信息轉(zhuǎn)移來判斷變量之間的因果關(guān)系.轉(zhuǎn)移熵建立在信息理論的基本框架下,是一種非參數(shù)模型方法,能夠很好地分析兩個系統(tǒng)的耦合強度和非對稱驅(qū)動響應(yīng)關(guān)系.考慮時間序列X與時間序列Y,轉(zhuǎn)移熵定義為

其中,Xt和Yt分別表示時間序列X與Y的歷史觀測值,p(yt+1,xt,yt)、p(yt+1|xt,yt) 和p(yt+1|yt) 分據(jù)轉(zhuǎn)移熵的大小判斷因果關(guān)系的強弱,當(dāng)TEX→Y >0別表示聯(lián)合概率密度函數(shù)和條件概率密度函數(shù).根時,存在由時間序列X到Y(jié)的因果關(guān)系,數(shù)值越大表明因果關(guān)系越強.Barnett 等[41]證明了Granger因果分析與轉(zhuǎn)移熵之間的聯(lián)系,在變量服從高斯分布的假設(shè)條件下,Granger 因果分析與轉(zhuǎn)移熵是等價的,從而為Granger 因果分析與基于信息理論的因果分析方法建立了聯(lián)系.

為了檢測多個變量的因果關(guān)系,考慮到中間變量的影響,提出了多變量轉(zhuǎn)移熵,也稱為偏轉(zhuǎn)移熵(Partial transfer entropy,PTE).考慮時間序列X、Y以及其他變量Z,在給定時間序列Z的條件下,X →Y的轉(zhuǎn)移熵定義為

表2 基于信息理論的因果關(guān)系分析方法Table 2 Causality analysis methods based on information theory

偏轉(zhuǎn)移熵是二變量轉(zhuǎn)移熵的擴展,能夠評價多個相互耦合系統(tǒng)中任意兩個變量之間的信息轉(zhuǎn)移.根據(jù)信息熵和互信息的定義,可以得出轉(zhuǎn)移熵與信息熵、互信息之間的等價關(guān)系為

可以看出,轉(zhuǎn)移熵可以表示為條件熵和條件互信息的形式.上述關(guān)系式通常用于轉(zhuǎn)移熵的計算.

Staniek 等[42]提出了符號轉(zhuǎn)移熵(Symbolic transfer entropy,STE),將輸入變量轉(zhuǎn)化為秩向量,可以應(yīng)用于非平穩(wěn)時間序列的因果關(guān)系分析,表達式為

2.3 用于因果分析的其他信息測度

在轉(zhuǎn)移熵提出之后,出現(xiàn)了一系列用于識別非線性時間序列因果關(guān)系的信息測度,例如條件熵、條件互信息等,其基本思想與轉(zhuǎn)移熵理論一致.

Faes 等[44]提出了基于條件熵的因果關(guān)系分析方法,用于檢測多變量因果關(guān)系

該方法可以看作偏轉(zhuǎn)移熵的歸一化形式.

Frenzel 等[45]提出了偏互信息(Partial mutual information,PMI)的概念,即采用條件互信息檢測因果關(guān)系.在互信息的基礎(chǔ)上,引入了條件變量,具體表達式為該方法能夠建立三變量系統(tǒng)的因果關(guān)系圖.可以證明,偏互信息與偏轉(zhuǎn)移熵是等價的.

Kugiumtzis[46]應(yīng)用條件互信息檢測多個變量的因果關(guān)系,提出了基于混合嵌入的偏互信息準(zhǔn)則(Partial mutual information from mixed embedding,PMIME),表達式為

其中,RX→Y|Z表示變量X →Y的因果關(guān)系,Z表示條件變量.該方法能夠檢測變量之間的直接因果關(guān)系,效果優(yōu)于偏轉(zhuǎn)移熵.

在實際應(yīng)用中,由于轉(zhuǎn)移熵、條件熵和條件互信息需要計算概率密度函數(shù),隨著輸入變量維度的增加,高維概率密度函數(shù)計算困難,限制了其應(yīng)用范圍.因此,選擇條件變量十分關(guān)鍵,根據(jù)狀態(tài)空間重構(gòu)理論,學(xué)者提出應(yīng)用非均勻嵌入方法[47],可以有效處理高維變量.Runge 等[48]提出了基于圖模型的方法,將偏轉(zhuǎn)移熵分解為多個有限維轉(zhuǎn)移熵的組合,從而避免維數(shù)災(zāi)難問題.

3 基于狀態(tài)空間的時間序列分析

建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析系統(tǒng)的基礎(chǔ).現(xiàn)代控制理論引入了狀態(tài)空間的概念,通過建立狀態(tài)空間模型,能夠很好地描述系統(tǒng)內(nèi)部變量、輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系,并解釋系統(tǒng)的運動規(guī)律.根據(jù)觀測到的時間序列建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,是分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知系統(tǒng)的重要手段,同時揭示系統(tǒng)內(nèi)部的驅(qū)動-響應(yīng)關(guān)系.然而,對于未知結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng),狀態(tài)空間模型的建立十分困難.為了有效分析非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性,Takens 提出了基于時間序列的狀態(tài)空間重構(gòu)理論[49],為分析非線性系統(tǒng)的運行機制提供了理論支撐.本節(jié)首先介紹時間序列的狀態(tài)空間模型,然后總結(jié)基于狀態(tài)空間重構(gòu)理論的因果模型.

3.1 狀態(tài)空間模型

狀態(tài)空間模型是描述系統(tǒng)動態(tài)過程的有力工具,為時間序列分析提供了理論基礎(chǔ).狀態(tài)空間模型最早由Kalman[50]提出,是一種通過觀測值研究確定性和隨機動態(tài)系統(tǒng)的重要手段.狀態(tài)空間模型將物理系統(tǒng)表示為由輸入變量、輸出變量和狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分(或差分)方程組,一般由狀態(tài)方程和輸出方程組成

其中,u(t) 為輸入變量,y(t) 為輸出變量,x(t) 為狀態(tài)變量,f(·)和h(·) 為線性或非線性函數(shù).狀態(tài)空間模型是一類線性或非線性的時域模型,用狀態(tài)方程描述動態(tài)系統(tǒng),用輸出方程描述量測信息.系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和信號的作用方向,即反映了系統(tǒng)狀態(tài)變量的因果關(guān)系.建立狀態(tài)空間模型主要有分析和辨識兩種方式.分析方式適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的系統(tǒng),基于物理或化學(xué)機理直接建立狀態(tài)空間模型.針對結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng),一般采用辨識方式,即通過實際觀測的輸入輸出數(shù)據(jù)建立狀態(tài)空間模型.狀態(tài)空間模型參數(shù)估計方法主要有Kalman 濾波、貝葉斯推理、EM 算法等.

狀態(tài)空間模型利用狀態(tài)變量表示一個時間序列,狀態(tài)變量包含與預(yù)測值相關(guān)的所有歷史信息,從而建立了多元時間序列模型[51].狀態(tài)空間模型是一類應(yīng)用十分廣泛的模型,任何時間序列模型都可以寫成狀態(tài)空間的形式,如自回歸模型、滑動平均模型等,在時間序列建模和因果分析方向得到了廣泛應(yīng)用.Jinno 等[52]建立了非線性狀態(tài)空間模型,采用二階泰勒展開式近似非線性系統(tǒng),根據(jù)擴展Kalman 濾波算法更新模型參數(shù),實現(xiàn)非線性系統(tǒng)辨識與時間序列預(yù)測.Hong 等[53]針對中長期徑流量時間序列預(yù)測,選擇狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)為基于二階泰勒展開式的非線性微分方程組,并利用遺傳算法更新狀態(tài)空間模型參數(shù).可以看出,狀態(tài)空間模型能夠識別線性或低階非線性系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),從而推斷系統(tǒng)的因果關(guān)系,實現(xiàn)對未來信息的預(yù)測.

3.2 基于狀態(tài)空間的因果模型

建立時間序列狀態(tài)空間模型,需要預(yù)先假設(shè)模型結(jié)構(gòu),如一階線性微分方程、泰勒展開式近似的非線性微分方程等,然后根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)辨識模型參數(shù).然而,很多動力學(xué)系統(tǒng)具有很強的非線性,甚至表現(xiàn)出混沌特性,難以建立準(zhǔn)確的狀態(tài)空間模型[54].20 世紀(jì)80 年代,Takens 提出的延遲坐標(biāo)狀態(tài)空間重構(gòu)方法[49]解決了此類問題,重構(gòu)系統(tǒng)可以在高維狀態(tài)空間中恢復(fù)原系統(tǒng)的動力學(xué)特性,并與原系統(tǒng)保持微分同胚,為深入研究時間序列和非線性系統(tǒng)奠定了理論基礎(chǔ).在狀態(tài)空間重構(gòu)理論的基礎(chǔ)上,學(xué)者提出了一系列因果分析模型,下面分別介紹狀態(tài)空間重構(gòu)理論和兩類因果分析模型.

3.2.1 Takens 狀態(tài)空間重構(gòu)理論

狀態(tài)空間重構(gòu)的目的是在高維狀態(tài)空間中恢復(fù)混沌吸引子,是分析混沌動力學(xué)系統(tǒng)的第一步.對于混沌系統(tǒng),系統(tǒng)中任一分量的演化過程均由與其相互作用的其他分量所決定,產(chǎn)生的時間序列包含了系統(tǒng)全部變量的運動信息.因此,通過研究觀測到的時間序列,將某些固定時間的延遲點觀測值構(gòu)成新的坐標(biāo),重構(gòu)出與原系統(tǒng)等價的狀態(tài)空間,就能夠恢復(fù)出原動力學(xué)系統(tǒng)的運行規(guī)律.

Takens 定理[49]指出找到狀態(tài)空間嵌入維數(shù)的下界,即延遲坐標(biāo)維數(shù)m ≥2D+1 (D為系統(tǒng)的維數(shù)),就能夠在狀態(tài)空間中恢復(fù)吸引子的動力學(xué)特性,重構(gòu)出的狀態(tài)空間與原系統(tǒng)保持微分同胚.Takens 定理為混沌系統(tǒng)的分析與預(yù)測提供了堅實的理論依據(jù),問題的關(guān)鍵在于如何選取合適的延遲時間τ和嵌入維數(shù)m.根據(jù)嵌入方式的不同,狀態(tài)空間重構(gòu)可分為均勻嵌入和非均勻嵌入兩種方法.

均勻嵌入指延遲時間τ設(shè)定為固定數(shù)值,考慮時間序列X(t),根據(jù)Takens 定理建立重構(gòu)的狀態(tài)空間為

對于延遲時間τ和嵌入維數(shù)m的選取,主要有兩種觀點.一種思想是分別選取延遲時間τ和嵌入維數(shù)m.對于延遲時間的選擇,主要有自相關(guān)、互信息等方法.對于嵌入維數(shù)的選擇,主要有偽最近鄰[55]、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)、Cao 方法[56]、最小描述長度[57]等方法.另一種思想認為延遲時間τ和嵌入維數(shù)m是相關(guān)的,同時選擇兩個參數(shù).Kugiumtzis[58]提出了嵌入窗口的概念,即τ和m由時間窗口τw=(m-1)τ決定.Kim 等[59]提出的C-C 方法常用于求解時間窗口和延遲時間.

非均勻嵌入指延遲時間τ選擇不同的數(shù)值,時間序列X(t) 的狀態(tài)空間為

其中,嵌入維數(shù)為m,延遲時間為 [τ1,τ2,···,τm].非均勻嵌入的狀態(tài)空間能夠完全描述原系統(tǒng)的動力學(xué)特性,同時保持嵌入變量之間相互獨立,即具有低的冗余性.相比于均勻嵌入,非均勻嵌入能夠用更精簡的狀態(tài)變量描述原系統(tǒng),適合解決多變量系統(tǒng)的重構(gòu)問題.Vlachos 等[47]提出了基于聯(lián)合互信息的非均勻嵌入方法,Faes 等[44]提出了基于條件熵的非均勻嵌入方法.此外,為了尋找最優(yōu)的狀態(tài)空間,合理的搜索策略是十分必要的,常用方法有順序前向選擇、遺傳算法、蟻群優(yōu)化算法[60]等.

3.2.2 非線性相互依賴指標(biāo)

非線性相互依賴指標(biāo)(Nonlinear interdependence measures)是基于狀態(tài)空間重構(gòu)和近鄰距離的方法,用于判定因果關(guān)系的方向和大小.對于兩個系統(tǒng)X和Y,根據(jù)狀態(tài)空間重構(gòu)理論建立兩個系統(tǒng)的狀態(tài)空間.

對于狀態(tài)空間X中的樣本點xn,xrn,1,xrn,2,···,xrn,k表示xn在狀態(tài)空間X中的k個近鄰點,計算xn與k個近鄰點的歐氏距離平均值

對于狀態(tài)空間Y中的樣本點yn,ysn,1,ysn,2,···,ysn,k表示yn在狀態(tài)空間Y中的k個近鄰點,將其映射到狀態(tài)空間X中,計算xn與k個近鄰點xsn,1,xsn,2,···,xsn,k的歐氏距離平均值

為了簡化計算,可以采用xn與全部N個樣本點的平均距離

非線性相互依賴指標(biāo)為狀態(tài)空間方法,根據(jù)狀態(tài)空間的映射關(guān)系判斷系統(tǒng)的因果關(guān)系.Arnhold 等[61]首先提出了指標(biāo)S,定義為

根據(jù)定義可以得出,0

Arnhold 等[61]提出了另一個指標(biāo)H,定義為

可以看出,HX→Y沒有上界.當(dāng)HX→Y=0 時,系統(tǒng)X和Y完全獨立;當(dāng)HX→Y >0 時,存在由系統(tǒng)X到Y(jié)的因果關(guān)系.該方法同樣具有較強的魯棒性,對弱因果關(guān)系的靈敏度更高.

Quiroga 等[62]提出了第三個指標(biāo)N,定義為

與指標(biāo)H相比,指標(biāo)N采用了算術(shù)平均和標(biāo)準(zhǔn)化操作.NX→Y=1的充要條件是(X|Y)=0.由于并且只有周期性系統(tǒng)滿足所以對于一般系統(tǒng)NX→Y <1.指標(biāo)N的大小主要由(X|Y) 決定,受自相關(guān)性和系統(tǒng)有限維數(shù)影響較大.Andrzejak 等[63]提出了指標(biāo)M,改進了指標(biāo)N的不足,具體定義為

Chicharro 等[64]提出了指標(biāo)L,該方法采用秩統(tǒng)計量代替距離統(tǒng)計量.對于樣本xn,令gn,j表示距離‖xn-xj‖在所有距離 (j=1,2,···,N,jn) 中的排序.因此,狀態(tài)空間Y中樣本點yn的k個近鄰點映射到狀態(tài)空間X時,計算平均秩統(tǒng)計量為指標(biāo)L定義為

其中,Gn(X)=n/2和(X)=(k+1)/2 分別表示全部樣本和k個近鄰點的平均秩統(tǒng)計量.與指標(biāo)M類似,指標(biāo)L同樣限制在 [0,1].相比于基于距離統(tǒng)計量的指標(biāo),基于秩統(tǒng)計量的指標(biāo)對定向耦合關(guān)系具有更強的敏感性與特異性.

3.2.3 收斂交叉映射

2012 年,Sugihara 等[65]提出了收斂交叉映射(Convergent cross mapping,CCM)方法,論文發(fā)表于Science上,引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.該方法建立在非線性狀態(tài)空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上,分析兩個系統(tǒng)之間的非線性因果關(guān)系,其基本思想是:如果系統(tǒng)Y對系統(tǒng)X有因果關(guān)系,則認為系統(tǒng)X中包含系統(tǒng)Y的演化信息,通過分析系統(tǒng)X和Y重構(gòu)流形之間的相關(guān)性,進而檢測出系統(tǒng)之間的因果關(guān)系.

假設(shè)X(t)和Y(t) 分別為系統(tǒng)M投影于一維空間產(chǎn)生的兩個時間序列.對于時間序列X(t)和Y(t),設(shè)重構(gòu)流形的嵌入維數(shù)為m,延遲時間為τ,重構(gòu)出的狀態(tài)空間為

根據(jù)狀態(tài)空間重構(gòu)理論[49],重構(gòu)流形X、Y與系統(tǒng)M是微分同胚的.在系統(tǒng)X中尋找樣本X(i) 的m個近鄰點{X(i,k)}={X(i,1),X(i,2),···,X(i,m)},將其映射到流形Y中,對應(yīng)的樣本點為{Y(i,k)},計算Y(i) 的估計值

‖·‖表示樣本之間的歐氏距離.定義為Y(t) 從流形X到Y(jié)的交叉映射,計算與Y(t) 的相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)計算公式為

隨著樣本長度L增加,逐漸收斂于Y(t),最終相關(guān)系數(shù)收斂到 [0,1],表明存在由系統(tǒng)Y到系統(tǒng)X的因果關(guān)系.

圖1 給出了收斂交叉映射的基本原理示意圖,建立了兩個系統(tǒng)X和Y之間的交叉映射.如圖1(a)所示,流形X中的樣本點X(i) 及其鄰近點映射到流形Y中,對應(yīng)鄰近點收斂于樣本點Y(i),則表明存在由系統(tǒng)Y到系統(tǒng)X的因果關(guān)系;如圖1(b)所示,經(jīng)過交叉映射,鄰近點呈現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象,則不存在由系統(tǒng)Y到系統(tǒng)X的因果關(guān)系.

圖1 收斂交叉映射基本原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of the basic principle of convergence cross mapping

4 時間序列因果模型的對比及應(yīng)用

本文的研究對象為多元時間序列,前面詳細介紹了三類時間序列因果分析模型,分別為Granger因果關(guān)系分析、基于信息理論的因果分析和基于狀態(tài)空間的因果分析.三類方法分別從不同的角度提出,本節(jié)將總結(jié)每類方法的優(yōu)勢、不足以及適用范圍,并討論存在的問題和未來發(fā)展方向.然后,針對不同的應(yīng)用領(lǐng)域,分別介紹時間序列因果分析模型的典型應(yīng)用,并進一步明確模型的適用范圍.

4.1 因果分析模型對比與發(fā)展方向

針對不同維數(shù)、特性的時間序列,Granger 因果分析模型、基于信息理論的因果模型和基于狀態(tài)空間的因果模型具有特定的適用范圍,例如傳統(tǒng)的Granger 因果模型只能分析二變量線性因果關(guān)系,轉(zhuǎn)移熵可以分析二變量非線性因果關(guān)系,收斂交叉映射能夠?qū)崿F(xiàn)二變量非線性時間序列的因果分析.下面詳細分析三類因果模型的適用范圍、存在的問題以及發(fā)展方向,表3 給出了三類方法對非線性、多變量和非平穩(wěn)時間序列因果分析的應(yīng)用情況.

從表3 可以看出,隨著研究的深入,時間序列因果模型的適用范圍由二變量、線性因果向多變量、非線性因果發(fā)展.此外,少數(shù)因果模型突破了對時間序列平穩(wěn)性的要求,能夠?qū)崿F(xiàn)對非平穩(wěn)時間序列的因果分析.下面,分別對三類方法進行具體對比分析.

1) Granger 因果關(guān)系分析方法應(yīng)用十分廣泛,其建立在時間序列模型的基礎(chǔ)上,形式簡單且具有很強的可解釋性.然而,Granger 因果分析方法是一種定性的因果分析模型,不能根據(jù)檢驗結(jié)果直接判斷因果關(guān)系的強弱.Granger 因果分析是基于模型的方法,因此對于時間序列模型階數(shù)的確定是一個至關(guān)重要的問題,常用的確定模型階數(shù)的方法有AIC (Akaike information criterion)、BIC (Bayesian information criterion)等信息準(zhǔn)則.由于時間序列模型的參數(shù)較多,因此在進行Granger 因果檢驗時,計算復(fù)雜度較高.例如,對于具有n個樣本的時間序列X和Y,建立一個模型階數(shù)為m的VAR模型的計算復(fù)雜度介于 O到O (mn) 之間.對l個時間序列進行兩兩因果分析,計算復(fù)雜度將達到 O,Lasso-Granger 因果模型可以將計算復(fù)雜度降為 O[26].此外,Granger 因果模型的應(yīng)用對象是平穩(wěn)時間序列,因此在進行Granger 因果檢驗之前,需要對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗和平穩(wěn)化.學(xué)者提出了非平穩(wěn)時間序列的因果分析模型[66],在VAR 模型中引入時變參數(shù),實現(xiàn)了非平穩(wěn)時間序列的因果關(guān)系分析.隨著時間序列數(shù)據(jù)維度和規(guī)模的不斷增加,挖掘復(fù)雜環(huán)境下時間序列存在的因果關(guān)系,是當(dāng)前面臨的重要挑戰(zhàn).因此,Granger 因果模型未來將著重解決非線性、多變量、非平穩(wěn)等復(fù)雜環(huán)境的因果分析,同時提高模型的計算效率.

表3 因果分析方法應(yīng)用范圍比較Table 3 Comparison of application range of causality analysis methods

2) 基于信息理論的因果模型是一類定量分析方法,通過建立評價函數(shù)實現(xiàn)對時間序列因果關(guān)系的定量描述.該方法只需要計算信息指標(biāo)就可以得出因果分析結(jié)果,對于低維復(fù)雜系統(tǒng),其分析結(jié)果明顯優(yōu)于只能定性分析的Granger 因果模型.此類方法也是建立在平穩(wěn)時間序列的基礎(chǔ)之上,對于非平穩(wěn)時間序列,有學(xué)者應(yīng)用符號轉(zhuǎn)移熵實現(xiàn)非平穩(wěn)時間序列的因果分析,它將輸入變量轉(zhuǎn)化為秩向量,為非平穩(wěn)時間序列的因果分析提供了指導(dǎo)性思想.雖然基于信息理論的因果分析方法形式簡單,但嵌入變量的選擇需要進行深入研究,文獻[67]對基于信息理論的因果模型的參數(shù)求解做了詳細分析.在實際的應(yīng)用中,信息測度需要計算概率密度函數(shù),當(dāng)變量維數(shù)增加時,其計算復(fù)雜度增加,計算精度下降.因此,未來我們需要重點關(guān)注條件變量的選取,通過合理選取條件變量,達到簡化計算的目的.

3) 狀態(tài)空間模型是一類基于模型的方法,根據(jù)模型內(nèi)部信號的作用方向判斷因果關(guān)系,該方法需要預(yù)先假設(shè)模型結(jié)構(gòu),對于非線性時間序列的因果分析能力較弱.隨著狀態(tài)空間重構(gòu)理論的提出,使得非線性系統(tǒng)的分析與建模更為便捷,出現(xiàn)了基于狀態(tài)空間的因果分析方法.此類方法在非線性因果分析問題上具有很好的效果,特別是小規(guī)模、短期時間序列的因果關(guān)系分析[68].Clark 等[69]提出了多空間收斂交叉映射,能夠分析出小數(shù)據(jù)量時間序列(長度小于10)之間存在的因果關(guān)系.基于狀態(tài)空間的因果分析方法具有較強的因果識別能力,如收斂交叉映射對于弱耦合系統(tǒng)的因果關(guān)系的靈敏度較高,但在強耦合系統(tǒng)可能會產(chǎn)生錯誤結(jié)果[18].然而,該方法建立在狀態(tài)空間基礎(chǔ)上,根據(jù)樣本點的鄰域信息分析因果關(guān)系,受到噪聲點的影響較大[70],嚴(yán)重影響分析結(jié)果的準(zhǔn)確性,需要提升方法的抗噪能力.此外,該方法常用于分析兩個系統(tǒng)之間的直接因果關(guān)系,將其擴展至分析多個系統(tǒng)的因果關(guān)系,是未來的研究方向.

4.2 應(yīng)用

多元時間序列的因果關(guān)系分析技術(shù)廣泛應(yīng)用于自然、醫(yī)學(xué)、社會科學(xué)等領(lǐng)域,在日常生活中發(fā)揮著重要作用,已經(jīng)成為大規(guī)模數(shù)據(jù)挖掘的重要手段.不同領(lǐng)域的時間序列具有不同的特性,下面具體介紹時間序列因果分析在不同領(lǐng)域的典型應(yīng)用,并進一步討論模型的適用范圍.在自然界中,氣象、水文、環(huán)境等系統(tǒng)的內(nèi)部和系統(tǒng)之間具有復(fù)雜的驅(qū)動響應(yīng)關(guān)系,借助于時間序列因果分析手段,有助于揭示系統(tǒng)的運行規(guī)律,模擬和預(yù)測自然現(xiàn)象的未來發(fā)展趨勢.例如,隨著經(jīng)濟快速發(fā)展,以霧霾為代表的大氣污染已經(jīng)成為主要環(huán)境問題之一,我國積極參與一系列國際大氣污染防治的公約和協(xié)議,并制定了具體措施和監(jiān)管機制.然而,霧霾的成因十分復(fù)雜,以PM2.5 空氣質(zhì)量指數(shù)為例,其濃度不僅受到NO2、CO、O3、SO2等大氣污染物的影響,而且受到氣溫、氣壓、濕度、風(fēng)速、風(fēng)向等環(huán)境變量的影響,如果分析出PM2.5的主要污染物和生成機理,能夠為國家治理大氣污染以及各地制定針對性的治理手段發(fā)揮重要作用.因果分析方法能夠利用一定范圍內(nèi)的觀測序列,快速識別PM2.5 與影響變量之間的因果關(guān)系,判斷主要影響因素,從而為決策與調(diào)控提供理論依據(jù)[71].此外,在其他實際問題中,因果分析方法同樣發(fā)揮了重要作用.Liang[72]通過建立回歸模型,研究了厄爾尼諾和印度洋偶極子兩個氣象子系統(tǒng)的因果關(guān)系,確定了系統(tǒng)之間的非對稱因果關(guān)系.Faybishenko[73]應(yīng)用條件Granger 因果分析方法,分析具有非線性混沌特性的水文過程,并建立了時空分布的因果循環(huán)圖.Zhu 等[74]將Granger 因果分析擴展到時空空間,分析氣象、交通等影響變量對空氣質(zhì)量的影響.Sugihara 等[65]在狀態(tài)空間重構(gòu)理論的基礎(chǔ)上,提出了收斂交叉映射,分析復(fù)雜生態(tài)系統(tǒng)的因果關(guān)系.Chen 等[75]應(yīng)用收斂交叉映射方法,分析京津冀區(qū)域氣象因子與PM2.5 濃度的因果關(guān)系,得出定量的分析結(jié)果.基于以上研究成果可以看出,Granger 因果分析方法廣泛用于自然界復(fù)雜系統(tǒng)的因果分析,通過建立時間序列模型,從可預(yù)測性角度評價因果關(guān)系.此外,收斂交叉映射是針對生態(tài)系統(tǒng)提出的因果分析模型,目前在氣象、環(huán)境等自然領(lǐng)域取得了很好的應(yīng)用效果.

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,隨著信息采集和存儲技術(shù)的不斷發(fā)展,醫(yī)學(xué)信號的分析與判別是一項十分復(fù)雜的工作,在醫(yī)療輔助決策中發(fā)揮著重要作用,因此時間序列分析方法在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.例如,常見的腦部神經(jīng)疾病癲癇,由大腦皮層神經(jīng)元異常放電引起,其發(fā)病機制十分復(fù)雜.腦電信號是鑒別癲癇病是否發(fā)作的重要依據(jù),從多通道腦電信號的功能性連接的角度,建立癲癇發(fā)作期大腦不同區(qū)域神經(jīng)活動的因果關(guān)系網(wǎng)絡(luò),能夠有效定位癲癇病灶,對癲癇發(fā)作機理的研究具有重要價值.近年來,應(yīng)用時域和頻域Granger 因果分析方法,為癲癇病的診斷和手術(shù)治療提供了有力保障[76].此外,在其他醫(yī)學(xué)研究中,因果分析方法同樣取得了突出成果.Dhamala 等[77]應(yīng)用二變量和條件Granger 因果分析方法,分析猴子大腦局部場電位信號的因果關(guān)系,研究感覺運動任務(wù).Wu 等[78]提出了一種基于擴展典型相關(guān)分析的多變量Granger 因果分析方法,分析癲癇病患者的大腦皮層和深層腦電信號的網(wǎng)絡(luò)連接.Li 等[79]提出了一種基于Lp范數(shù)的Granger 因果分析方法,應(yīng)用于包含眼電偽跡的腦電信號分析,能夠有效消除干擾并還原網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).Hu 等[80]提出了一種基于Copula 的Granger 因果分析方法,應(yīng)用于神經(jīng)脈沖序列數(shù)據(jù),揭示脈沖序列的非線性、高階因果關(guān)系.Faes 等[81]應(yīng)用具有特定延遲變量的轉(zhuǎn)移熵指標(biāo),度量心血管和心肺系統(tǒng)的信息轉(zhuǎn)移,并得出確定的方向、大小和時間.Wang 等[82]根據(jù)定向信息建立因果分析模型,應(yīng)用于功能性磁共振成像數(shù)據(jù)分析,很好地反映出非線性因果關(guān)系.Heskamp 等[83]采用具有非線性分析能力的收斂交叉映射,定性分析大腦自動調(diào)節(jié)能力.綜上所述,Granger 因果分析方法廣泛應(yīng)用于腦電等生理學(xué)時間序列,其中頻域Granger因果模型能夠更好地刻畫神經(jīng)動力學(xué)系統(tǒng),在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的因果分析中占據(jù)重要位置.由于醫(yī)學(xué)信號通常包含大量噪聲且具有非平穩(wěn)特性,基于信息理論的因果分析方法適用于解決此類問題,取得了很好的應(yīng)用效果.

在社會科學(xué)領(lǐng)域,金融、能源等序列的分析與預(yù)測具有十分重要的戰(zhàn)略意義,并且受到政治、經(jīng)濟、氣候變化等多個因素的共同影響,借助于時間序列因果關(guān)系分析技術(shù),進行準(zhǔn)確的定性分析與定量預(yù)測是重要的研究內(nèi)容.例如,我國人口眾多、經(jīng)濟快速發(fā)展,導(dǎo)致能源需求巨大,節(jié)能減排已經(jīng)成為國家戰(zhàn)略,是維持可持續(xù)發(fā)展的長遠之計.然而,節(jié)能減排必須注重社會效益和環(huán)境效益的均衡,關(guān)于能源消耗與經(jīng)濟增長相互影響關(guān)系的研究具有重要意義.因果分析方法在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用,合理解釋能源消耗與經(jīng)濟增長之間的因果關(guān)系,能夠為節(jié)能減排政策的制定提供理論指導(dǎo),在可持續(xù)發(fā)展和國民經(jīng)濟建設(shè)方面具有重要意義[84].目前,因果分析方法在社會科學(xué)領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用.Zhou等[85]應(yīng)用Granger 因果分析方法,調(diào)查中國的經(jīng)濟結(jié)構(gòu)、能源消費結(jié)構(gòu)、收入、城市化、外商直接投資和貿(mào)易總額等變量對中國二氧化碳排放量的影響.Rafindadi 等[86]提出采用向量誤差修正和Granger因果分析模型,評價可再生能源消費對德國經(jīng)濟增長的影響.Tiwari[87]應(yīng)用頻域Granger 因果分析方法,定性分析生產(chǎn)商的批發(fā)價格指數(shù)與消費者物價指數(shù)之間的相互作用,得到二者之間的雙向因果關(guān)系.Bekiros 等[88]應(yīng)用轉(zhuǎn)移熵和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論,研究美國股票和商品期貨市場之間的動態(tài)因果關(guān)系.Papana 等[89]提出了一種基于偏轉(zhuǎn)移熵的因果分析方法,并成功應(yīng)用于非平穩(wěn)金融時間序列分析.根據(jù)上述研究成果可以發(fā)現(xiàn),Granger 因果分析模型最早在金融領(lǐng)域取得突破,目前仍然在社會科學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.另外,金融時間序列同樣具有非平穩(wěn)特性,基于信息理論的因果模型在金融領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.

5 總結(jié)與展望

隨著海量時間序列的出現(xiàn),時間序列因果關(guān)系分析已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點.首先,本文對多元時間序列因果分析的研究現(xiàn)狀進行了詳細的綜述,包括三類典型方法.第1 類方法是Granger 因果關(guān)系分析,從可預(yù)測性角度出發(fā),根據(jù)時間序列模型預(yù)測結(jié)果定性分析因果關(guān)系,該方法易于操作且可解釋性強.第2 類方法是基于信息理論的因果分析,根據(jù)信息測度建立因果關(guān)系評價指標(biāo),定量分析時間序列的因果關(guān)系,對時間序列的類型沒有特殊要求,具有廣泛的適用范圍.第3 類方法是基于狀態(tài)空間的因果分析,根據(jù)重構(gòu)狀態(tài)空間的映射關(guān)系,定量評價兩個系統(tǒng)之間的因果關(guān)系強弱,在非線性系統(tǒng)因果分析問題上具有很好的效果.然后,對三類方法的代表性模型進行了對比分析,并指出每類方法適用范圍、存在的主要問題和發(fā)展方向.最后,本文總結(jié)了因果分析方法在自然、醫(yī)學(xué)、社會科學(xué)領(lǐng)域的實際應(yīng)用,并進一步討論了模型的適用范圍.

根據(jù)因果分析模型的適用范圍,可以將其劃分為線性和非線性、二變量和多變量等不同類型方法,隨著研究的深入,當(dāng)前因果分析方法主要面向非線性、多變量、非平穩(wěn)系統(tǒng).對于今后的研究工作可以從以下幾個方向展開:

1) 針對非線性因果關(guān)系分析,可以從三個角度展開研究:a)根據(jù)Granger 提出的可預(yù)測性理論,建立非線性預(yù)測模型,如核方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等;b)基于非線性相關(guān)性指標(biāo)建立因果關(guān)系模型,如互信息、Copula 分析等;c)根據(jù)非線性狀態(tài)空間重構(gòu)理論,應(yīng)用狀態(tài)空間模型建立因果關(guān)系.在實際應(yīng)用中,采用幾種不同方法的組合,能夠?qū)崿F(xiàn)對復(fù)雜系統(tǒng)的非線性因果關(guān)系分析.

2) 針對多變量因果關(guān)系分析,可以從兩個角度展開研究:a)建立多變量回歸模型,根據(jù)Granger因果理論分析多變量系統(tǒng)因果關(guān)系;b)引入條件變量,從條件概率的角度建立多變量因果關(guān)系指標(biāo).目前,大部分研究成果集中于二維或多維變量的因果分析,對于高維或超高維時間序列的因果分析缺少有效的處理手段.借助于稀疏化建模等技術(shù)手段,展開對海量數(shù)據(jù)的因果分析,是未來的重點研究內(nèi)容之一.

3)針對非平穩(wěn)時間序列的因果關(guān)系分析,可以從以下兩個方面展開研究:a)對時間序列本身進行處理,實現(xiàn)平穩(wěn)化,如差分方法、符號化等,然后對平穩(wěn)化后的時間序列進行因果關(guān)系分析;b)建立時變的回歸模型,實現(xiàn)非平穩(wěn)時間序列的因果關(guān)系分析,如時變廣義部分有向相干方法.建立時變參數(shù)模型對非平穩(wěn)時間序列進行因果關(guān)系分析是未來的一個研究方向.

4) 對系統(tǒng)的歷史信息或狀態(tài)空間的選擇,嚴(yán)重影響因果分析的結(jié)果.對于Granger 因果模型,確定模型的階數(shù),應(yīng)用輸入變量選擇算法構(gòu)建合適的輸入變量,能夠有效提高因果分析的準(zhǔn)確性.對于基于狀態(tài)空間的因果分析指標(biāo)及模型,應(yīng)用非均勻嵌入方法建立狀態(tài)空間,有助于降低模型的復(fù)雜度,提高因果分析的計算精度.