壓電柔性機(jī)械臂系統(tǒng)辨識與振動主動控制?

康建云， 畢 果， 蘇史博

（廈門大學(xué)航空航天學(xué)院 廈門，361005）

引 言

由于具有效率高、能耗低、載荷比大以及構(gòu)建設(shè)計緊湊等優(yōu)點(diǎn)，以空間站吊裝用機(jī)械臂、大型柔性天線、空間太陽能帆板為代表的柔性構(gòu)件在在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1］。但是，柔性結(jié)構(gòu)體由于其固有的低剛度和低阻尼特性，在操作過程中受到不規(guī)律的外擾動力很容易產(chǎn)生幅度較大且不易衰減的彈性振動，影響了操作過程中的定位精度和操作效率，無法滿足實(shí)際操作需要。隨著智能柔性臂的發(fā)展，響應(yīng)速度、定位精度以及重載等關(guān)鍵問題日益突出，因此必須對柔性機(jī)械臂進(jìn)行必要的振動控制。

壓電類材料作為一種能夠?qū)㈦娔芘c機(jī)械能互相轉(zhuǎn)換的材料，具有結(jié)構(gòu)緊湊、響應(yīng)時間快和能量轉(zhuǎn)換效率高等特性，為柔性結(jié)構(gòu)的振動主動控制提供了新的思路。學(xué)者們對基于壓電柔性機(jī)械臂的振動主動控制進(jìn)行了廣泛研究［2-3］。Pereira 等［4］使用積分諧振控制方法對柔性機(jī)械臂進(jìn)行振動抑制，在控制器中加入2 個嵌套反饋回路，實(shí)現(xiàn)了精確的終點(diǎn)定位和有效的振動抑制。Etxebarria 等［5］將最優(yōu)控制和滑膜控制用于機(jī)器人柔性臂的魯棒控制方案，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)跟蹤性能。Resta 等［6］針對多關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂在大位移運(yùn)動過程中的非線性振動問題，采用獨(dú)立模態(tài)控制法進(jìn)行振動控制實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，在不影響機(jī)械臂運(yùn)動和材料強(qiáng)度的情況下，振動控制使系統(tǒng)的阻尼比增加了15%。Zeng 等［7］基于變結(jié)構(gòu)模型參考自適應(yīng)控制理論，設(shè)計了一種利用輸出反饋控制軌道柔性航天器的新型控制器，數(shù)值仿真結(jié)果表明，該控制器對于未知參數(shù)、干擾和未建模動態(tài)的非線性系統(tǒng)具有良好的瞬態(tài)特性和魯棒性。Rew等［8］提出了一種對頻率變化的結(jié)構(gòu)進(jìn)行多模態(tài)振動控制的自適應(yīng)正位置反饋算法，以壓電智能柔性臂為實(shí)驗(yàn)對象進(jìn)行算法驗(yàn)證，取得了良好的效果。婁軍強(qiáng)等［9］從系統(tǒng)模型辨識的角度出發(fā)，針對壓電柔性臂的建模問題，采用ARMAX 作為參數(shù)模型進(jìn)行系統(tǒng)辨識，使用線性二次型調(diào)節(jié)器（linear quadratic regular，簡稱LQR）優(yōu)化算法對壓電柔性機(jī)械臂進(jìn)行了振動控制。張順琦等［10］通過有限元法建立了壓電懸臂梁動力學(xué)模型，設(shè)計了模糊邏輯控制器對懸臂梁進(jìn)行振動主動控制，通過加入LQR 算法和比例積分微分（proportional integral differential，簡稱PID）算法進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模糊控制的有效性。朱曉錦等［11］將濾波U-最小均方算法用于壓電柔性結(jié)構(gòu)的振動主動控制，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的可行性和有效性。邱志成等［12］針對壓電柔性臂的振動問題，采用正位置反饋（positive position feedback，簡稱PPF）和比例微分（proportional differential，簡稱PD）控制算法進(jìn)行振動控制實(shí)驗(yàn)，控制效果較為明顯。

筆者針對壓電柔性機(jī)械臂的彈性振動問題，首先，通過實(shí)驗(yàn)辨識的方法建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型；其次，基于控制理論和優(yōu)化算法，引入線性二次型最優(yōu)控制，并將最優(yōu)控制與遺傳算法結(jié)合，針對加權(quán)矩陣難以解析的關(guān)鍵問題，將遺傳算法應(yīng)用于控制器的設(shè)計中，實(shí)施了加權(quán)矩陣的優(yōu)化設(shè)計；最后，搭建了以工控機(jī)為核心的壓電智能柔性結(jié)構(gòu)振動主動控制系統(tǒng)的硬件實(shí)驗(yàn)平臺，編寫了基于LabVIEW 的系統(tǒng)軟件測控程序，并開展了對壓電柔性臂持續(xù)激勵和自由衰減下的振動控制實(shí)驗(yàn)研究。

1 系統(tǒng)描述

本研究涉及的壓電柔性臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示，測控系統(tǒng)實(shí)物圖如圖2 所示。本實(shí)驗(yàn)用到的傳感器為壓電纖維復(fù)合材料（型號為MFC-0714）；電荷放大器型號為YE5835；數(shù)據(jù)采集卡型號為NIUSB-6002；壓電驅(qū)動電源型號為芯明天-E01。

圖1 壓電柔性臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Block diagram of the flexible manipulator system

圖2 壓電柔性臂測控系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.2 Experimental setup of the flexible manipulator system

2 系統(tǒng)辨識建模

2.1 理論模型

柔性臂和壓電致動器的基本參數(shù)如表1 所示。選用歐拉-伯努利懸臂梁作為受控結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)的表達(dá)式為

其中：ki為開環(huán)傳遞函數(shù)的增益；ξi為i階阻尼比；ωi為i階振動角頻率。

表1 柔性臂和壓電致動器的基本參數(shù)Tab.1 System properties of beam and PZT actuator

由于不能得到柔性梁系統(tǒng)的所有階模態(tài)，且懸臂梁振動在前幾階振動模態(tài)中占主導(dǎo)作用，所以引入模態(tài)截斷技術(shù)，只保留前幾階模態(tài)。通過重新構(gòu)造系統(tǒng)的零點(diǎn)分布［13］，得到系統(tǒng)模型為

其中：ai，bi為第i階模態(tài)的零點(diǎn)。

2.2 實(shí)驗(yàn)辨識

選用正弦掃頻信號作為輸入信號，可以較為充分地激發(fā)壓電柔性臂的各階模態(tài)，以防止某一低階模態(tài)被遺漏。掃頻信號的頻率范圍為0～5 Hz，幅值為±5 V，系統(tǒng)在掃頻激勵下的應(yīng)變輸出電壓信號如圖3 所示。

圖3 掃頻激勵下的輸出電壓信號Fig.3 Sweep excitation output signal

借助Matlab 系統(tǒng)辨識工具箱，使用零極點(diǎn)重新分布的系統(tǒng)模型，對輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識［14］，辨識模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較如圖4 所示。

圖4 辨識模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.4 Comparison of experimental results of identification model

辨識得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

為了定量對比辨識結(jié)果和實(shí)際輸出的匹配程度，引入模型吻合度指標(biāo)

其中：yi(t)為第i個采樣時刻的實(shí)際輸出為辨識模型在第i個采樣時刻的理論輸出；吻合度指標(biāo)J越接近1，表示辨識模型和實(shí)際模型的匹配度越高。

由于實(shí)驗(yàn)辨識得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸出結(jié)果與實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的匹配度為95.22%，故可以用該模型進(jìn)行后續(xù)控制算法的設(shè)計。

在發(fā)展上，核心素養(yǎng)具有終生發(fā)展性，也具有階段性。核心素養(yǎng)在個體不同人生階段中的著重點(diǎn)有所不同，不同教育階段對某些核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也存在不同的敏感性，即一些核心素養(yǎng)在特定的教育階段可能更容易取得良好的培養(yǎng)效果。初中生物的課堂教學(xué)應(yīng)該在學(xué)生初中畢業(yè)之時留給學(xué)生怎樣的學(xué)科素養(yǎng)？教師要以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)為終極目標(biāo)，讓學(xué)生在體驗(yàn)中逐漸積累知識，培養(yǎng)意識，發(fā)展能力。

3 控制算法設(shè)計

為了便于反饋控制器的設(shè)計，將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間表達(dá)式［15］，從能觀的角度構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)方程

其中：A，B和C分別為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣、控制矩陣和輸出矩陣；系統(tǒng)輸入u(k)為施加在壓電致動器上的控制電壓；系統(tǒng)輸出y(k)為壓電傳感器的檢測電壓。

假設(shè)狀態(tài)反饋控制器為

其中：K為狀態(tài)反饋增益矩陣，使得閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足期望的性能。

將式（6）代入系統(tǒng)狀態(tài)方程，得到

對于式（5）的開環(huán)系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為系統(tǒng)矩陣A的特征值。當(dāng)變成式（7）的閉環(huán)形式，狀態(tài)矩陣變成了（A?BK），因此通過配置反饋矩陣K可以使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)達(dá)到期望的狀態(tài)。

3.1 線性二次最優(yōu)控制LQR

為了便于最優(yōu)極點(diǎn)的選擇和狀態(tài)反饋矩陣的計算，引入LQR 來設(shè)計最優(yōu)控制器。對于完全能控且能觀的系統(tǒng)，定義其二次性能泛函為

最優(yōu)控制的目的是尋找最優(yōu)輸入u（k），使得系統(tǒng)線性二次型性能泛函達(dá)到最小。

為了便于計算，取

其中：P滿足Riccati 方程

3.2 加權(quán)系數(shù)矩陣Q 和R 的選取

從線性二次型最優(yōu)控制的控制原理可以發(fā)現(xiàn)，控制器的控制效果是否優(yōu)良，關(guān)鍵在于設(shè)置合適的加權(quán)矩陣。如何確定矩陣參數(shù)目前還沒有特定的數(shù)值解決方案，只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法或試湊法獲得具體矩陣中的數(shù)值。遺傳算法可以在指定的閾值內(nèi)進(jìn)行智能搜索并不斷優(yōu)化，將其在線性二次型調(diào)節(jié)器設(shè)計中使用，實(shí)現(xiàn)對加權(quán)矩陣的優(yōu)化設(shè)計，以便于縮短控制器的設(shè)計時間和增強(qiáng)控制器的控制性能。遺傳算法優(yōu)化設(shè)計LQR 控制器示意圖如圖5 所示。

從線性二次型性能指標(biāo)可以看出，系統(tǒng)的振動能量越小，表明柔性臂的控制效果越好；控制能量越小，則表明輸出的控制量越小。因此，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可以表示為

圖5 遺傳算法優(yōu)化設(shè)計LQR 控制器示意圖Fig.5 Optimum design of LQR controller by genetic algorithms

對于加權(quán)矩陣Q，R，設(shè)定其值為其中：Q為對角陣，取值大小反應(yīng)了不同的控制效果；q1=0.78；q2=0.004；R為單位 對角陣。

3.3 加權(quán)系數(shù)優(yōu)化結(jié)果

遺傳算法尋優(yōu)過程中參數(shù)設(shè)置如表2 所示。

表2 遺傳算法參數(shù)設(shè)置Fig.2 Parameter setting of genetic algorithms

圖6 為平均適應(yīng)度的遺傳進(jìn)化過程，顯示了基于遺傳算法的LQR 參數(shù)的最優(yōu)值搜索過程。可以看出，當(dāng)進(jìn)化代數(shù)進(jìn)行到第50 代以后，種群個體之間的平均距離明顯變小，進(jìn)化結(jié)果收斂到了最優(yōu)值。對最優(yōu)的染色體串進(jìn)行解碼，可得到最佳的Q，R矩陣，進(jìn)而得到最優(yōu)控制的增益反饋矩陣K。

圖6 平均適應(yīng)度的遺傳進(jìn)化過程Fig.6 Evolution process of the mean fitness

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證優(yōu)化參數(shù)后LQR 控制器具有良好的性能，針對壓電柔性臂的振動主動控制設(shè)計了模糊邏輯控制器。其基本工作原理是：將測量得到的狀態(tài)輸入量通過模糊化的方式轉(zhuǎn)化成可以用語言描述的模糊量，通過制定模糊規(guī)則，模糊推理轉(zhuǎn)化成為模糊輸出值，再通過清晰化接口將模糊輸出值轉(zhuǎn)化為能夠用來進(jìn)行實(shí)際控制的精確值。

圖7 為控制前后應(yīng)變輸出電壓信號，給出了在10 s 停止施加激勵后，利用所設(shè)計的控制器對柔性臂振動進(jìn)行抑制響應(yīng)實(shí)驗(yàn)曲線?？梢钥闯觯悍謩e施加線性二次型最優(yōu)控制和模糊控制6 s 后，柔性臂的振動幅度分別下降到±0.05 V 和±0.1 V；而如果不施加控制，在6 s 的時候柔性臂的振動為±1.3 V。

圖7 控制前后應(yīng)變輸出電壓信號Fig.7 Experimental result of sensor output with control

圖8 為控制前后對應(yīng)輸出的頻域曲線。可以看出，施加線性二次型最優(yōu)控制和模糊控制后，在一階振動頻率處柔性臂的振動得到了很好抑制，大大降低了柔性臂振動的衰減時間，且線性二次型最優(yōu)控制相較于模糊控制具有較好的控制效果。

圖8 控制前后對應(yīng)輸出的頻域曲線Fig.8 Experimental result of sensor output with control in frequency domain

柔性臂在受持續(xù)正弦激勵的作用下，利用所設(shè)計的控制器對柔性臂的振動進(jìn)行抑制響應(yīng)實(shí)驗(yàn)。圖9 為控制前后應(yīng)變輸出電壓信號曲線。

圖9 控制前后應(yīng)變輸出電壓信號Fig.9 Experimental result of sensor output with control

由時域曲線可知，柔性臂的振幅逐漸增大，并做幅值為±2.5 V 的等幅振動，在10 s 時分別施加線性二次型最優(yōu)控制和模糊控制后，柔性臂的振動幅度下降到±0.1 V 和±0.2 V。圖10 為控制前后對應(yīng)輸出的頻域曲線?？梢钥闯觯谝浑A模態(tài)頻率處柔性臂的振幅得到了較好抑制，且線性二次型最優(yōu)控制相較于模糊控制具有較好的控制效果。

圖10 控制前后對應(yīng)輸出的頻域曲線Fig.10 Experimental result of sensor output with control in frequency domain

5 結(jié) 論

1）從系統(tǒng)辨識的角度研究了壓電柔性臂的建模問題，采用實(shí)驗(yàn)辨識方法對壓電柔性臂系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行辨識。為了定量對比辨識的結(jié)果和實(shí)際輸出的匹配程度，引入了模型匹配度指標(biāo)函數(shù)。結(jié)果表明，辨識得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸出結(jié)果與實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的匹配度為95.22%。

2）基于控制理論和優(yōu)化算法，引入線性二次型最優(yōu)控制，將最優(yōu)控制與遺傳算法結(jié)合，針對加權(quán)矩陣難以解析的關(guān)鍵問題，將遺傳算法應(yīng)用于控制器的設(shè)計中，實(shí)施了加權(quán)矩陣的優(yōu)化設(shè)計。為了對比優(yōu)化參數(shù)下控制器的有效性，設(shè)計了模糊邏輯控制器。

3）開展了壓電柔性臂在自由衰減和持續(xù)激勵情況下的振動主動控制實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，2 種控制算法對柔性臂的振動均有較好的抑制效果，且基于遺傳算法的線性二次型最優(yōu)控制效果更好。該方法可應(yīng)用于其他柔性構(gòu)件，對于柔性構(gòu)件的系統(tǒng)辨識和振動抑制提供了一些借鑒和嘗試。