例談數(shù)學(xué)教學(xué)中“四基”的落實(shí)

周潔 王小霞

摘 要：“四基”是在數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)“雙基”的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，反映了人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)的提高。數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)由原來的計(jì)算、證明等知識(shí)和技能學(xué)習(xí)增加到思想方法和做數(shù)學(xué)的高度。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要鉆研落實(shí)“四基”的方法策略，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);“四基”;數(shù)學(xué)活動(dòng)

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-624X（2021）51-0067-03

作者簡介：周潔（1993.3—），女，延安大學(xué)，碩士研究生學(xué)歷。

王小霞（1978.7—），女，延安大學(xué)，副教授。

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在“雙基”的基礎(chǔ)上提出了“四基”的要求，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。它們是一個(gè)有機(jī)的整體，是互相聯(lián)系、互相促進(jìn)的?；A(chǔ)知識(shí)和基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要載體;數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的主線;數(shù)學(xué)活動(dòng)是不可或缺的教學(xué)形式。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)把“四基”作為貫穿于教學(xué)始終的線索，使其體現(xiàn)在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。

一、探尋本質(zhì)，扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

扎實(shí)的基礎(chǔ)是前進(jìn)的基石。基礎(chǔ)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和必要條件，是學(xué)習(xí)過程中最基本也是最重要的部分，是影響學(xué)生深入學(xué)習(xí)的主要因素?；A(chǔ)知識(shí)的掌握情況直接影響學(xué)生深入學(xué)習(xí)的效果。因此，教師在教學(xué)過程中要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)，不斷探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

例如，在教學(xué)“算術(shù)平方根的概念”時(shí)，教師可以從幾何中的正方形入手，提出問題：如果三個(gè)正方形的面積分別為4，16，25，那么這三個(gè)正方形的邊長分別是多少？教師也可以從幾何中的正方體入手，提出問題：如果三個(gè)正方體的體積分別為8，27，64，那么這三個(gè)正方體的棱長分別是多少？

學(xué)生可以根據(jù)這些較簡單的數(shù)據(jù)逆向思維得出正方形的邊長及正方體的棱長，從而感受到平方根及立方根的現(xiàn)實(shí)意義，并且理解平方與開平方互為逆運(yùn)算，立方與開立方互為逆運(yùn)算。教師通過情境引入本節(jié)課，能夠引導(dǎo)學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

二、循序練習(xí)，提煉方法技能

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在基本技能的教學(xué)中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)技能的操作程序和步驟，還要使學(xué)生理解這些程序和步驟的原理?！盵1]也就是說，數(shù)學(xué)基本技能的訓(xùn)練不僅是讓學(xué)生會(huì)寫解題步驟，還要讓學(xué)生理解所學(xué)的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)可以作為實(shí)施這些步驟的邏輯依據(jù)。例如，對于計(jì)算題目的基本技能，教師不僅要讓學(xué)生明白如何進(jìn)行計(jì)算，還要讓學(xué)生明白相應(yīng)的算理;對于證明的基本技能，不僅要讓學(xué)生理解證明的步驟，還要讓學(xué)生了解每一個(gè)步驟的依據(jù)。

這里說的數(shù)學(xué)基本技能，指的是通性通法，而不是特殊的數(shù)學(xué)解題技巧?；炯寄軕?yīng)當(dāng)具有廣泛的適用性，而不是機(jī)械的重復(fù)訓(xùn)練。這樣，學(xué)生的思維才會(huì)被訓(xùn)練得更加敏捷，更容易領(lǐng)悟到不同類型題目的解題方法，根據(jù)題目條件的每一個(gè)細(xì)微的改變轉(zhuǎn)變解題思路，從而真正達(dá)到舉一反三的學(xué)習(xí)效果。因此，教師要設(shè)計(jì)出知識(shí)層層遞進(jìn)的題目，讓學(xué)生可以循序漸進(jìn)地進(jìn)入解題的狀態(tài)，感受數(shù)學(xué)題目的變化，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S，最終達(dá)到提升數(shù)學(xué)方法技能的效果。

以“數(shù)的絕對值”的教學(xué)為例，教師可以出一道基礎(chǔ)題，并進(jìn)行講解，如|-5|=5，。這樣的簡單題型學(xué)生可以很快就能掌握，但是當(dāng)絕對值符號(hào)里面為多項(xiàng)式時(shí)，學(xué)生往往思維混亂，容易出錯(cuò)，如有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，試化簡|a|+|a-b|+|c-d|。

學(xué)生認(rèn)為此題難解主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，不知道如何求多項(xiàng)式的絕對值;第二，不會(huì)表示多項(xiàng)式的相反數(shù)。因此，教師可以從這兩方面入手設(shè)計(jì)相關(guān)的習(xí)題，如|b|=b（b≥0），|b|=-b（b<0），引導(dǎo)學(xué)生逐步理順?biāo)悸贰＠?，教師可以從?xí)題入手，然后加入多項(xiàng)式的絕對值的化簡習(xí)題，如|m-n|=m-n（m>n），|c-b|=-（c-b）=b-c（c<b）。通過此類練習(xí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)求多項(xiàng)式的絕對值的問題，其實(shí)在于判斷多項(xiàng)式的正負(fù)，尤其當(dāng)多項(xiàng)式為形如a-b的減法運(yùn)算時(shí)，解題關(guān)鍵就在于比較a和b的大小。當(dāng)a>b時(shí)，|a-b|=a-b。通過這樣的訓(xùn)練，學(xué)生便能把絕對值的基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為解題技能，再遇到此類問題就能快速解決。

再如，已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長，試化簡：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|。這道題目考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的三邊關(guān)系，即三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。這道題的解題方法便是去絕對值符號(hào)，因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊長，所以b+c-a>0，b-c-a=b-（c+a）<0，c-a-b=c-（a+b）<0，a-b+c=a+c-b>0。學(xué)生可對原式進(jìn)行化簡并得出公式，|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b。有了前面知識(shí)點(diǎn)的鋪墊，學(xué)生解答這道題目便容易多了。

三、思考分析，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是從數(shù)學(xué)知識(shí)中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的紐帶。通過教材體系，我們可以看出整個(gè)初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)是按照由淺入深，后面以前面為基礎(chǔ)的原則設(shè)置的，每一個(gè)章節(jié)的知識(shí)都滲透著數(shù)學(xué)思想方法。因而，教師在教授知識(shí)的同時(shí)要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，將基礎(chǔ)的、零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，在講解知識(shí)的過程中提煉解題思路和方法，并升華為數(shù)學(xué)思想，逐步形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系。這樣，學(xué)生才會(huì)感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的“枝繁葉茂”，從內(nèi)心深處體會(huì)到數(shù)學(xué)的藝術(shù)和數(shù)學(xué)之美。

中學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、類比、數(shù)學(xué)建模、整體思想等。對于整體思想，初中生在初步接觸時(shí)往往會(huì)感到抽象難懂，很難想到要把知識(shí)看作一個(gè)整體，因而難以找到解題的突破口。其實(shí)整體思想就是要求學(xué)生從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，對問題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理。整體思想在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何求解或證明等問題中都有廣泛的應(yīng)用。整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在數(shù)學(xué)問題中的具體應(yīng)用。

例如，已知x2-2y+2的值是3，求-3x2+6y+2的值。部分學(xué)生可能會(huì)有一個(gè)方程如何解出兩個(gè)未知數(shù)x，y的疑惑，其實(shí)本題無法直接求出x與y的具體值，而是將x2-2y看作一個(gè)整體，由已知可得x2-2y的值為1，將要求的式子變形為-3x2+6y+2=-3（x2-2y）+2，然后把x2-2y的值代入變形后的式子，即可求出原式的值。

又如，若實(shí)數(shù)a，b滿足，試求分式的值。這道題目可以用整體代入法求分式的值。學(xué)生可以先將待求值的式子變形，使其含有條件中的式子，再將條件中的式子整體代入求值;也可以先將條件中的式子變形，再將變形后的式子整體代入求值。

解法一：由可得a≠0，b≠0， 所以ab≠0。所以

===。

解法二：同樣由可得a≠0， b≠0，所以a2+b2=2ab。所以= ==。

再如，如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB=2， CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求這個(gè)四邊形ABCD的面積。

我們可以看到這是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，要想求它的面積，就要設(shè)法將它補(bǔ)成我們熟悉的三角形或者規(guī)則的四邊形，找出補(bǔ)全的圖形與題設(shè)圖形之間的關(guān)系，再通過求補(bǔ)全的圖形與多余部分的差即可求得所求圖形的面積。

補(bǔ)全方法一：如圖2所示，我們可以延長AD、BC使其相較于點(diǎn)E，而此時(shí)圖形構(gòu)成了一個(gè)直角三角形。

在RT△ABE中，因?yàn)锳B=2，∠A=60°可得BE=AB·tan∠A=。

在RT△CDE中，因?yàn)镃D=1，∠ECD=180°-∠EDC-∠CED=180°-90°-30°=60°， 所以DE=CD·tan∠ECD=1×tan60°=。四邊形ABCD的面積就等于三角形ABE的面積減去三角形CDE的面積，即S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE- CD·DE=×2×-×1×=。

下面再展示一些其他的補(bǔ)全方法。

補(bǔ)全方法二：將原四邊形補(bǔ)成一個(gè)矩形，如圖3所示。

補(bǔ)全方法三：將原四邊形補(bǔ)成一個(gè)直角梯形，如圖4所示。

補(bǔ)全方法四：將原四邊形補(bǔ)成一個(gè)等邊三角形，如圖5所示。

補(bǔ)全方法五：將原四邊形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，如圖6所示。

我們可以根據(jù)題目的已知條件找出較為簡便的補(bǔ)全方法，找到最優(yōu)化的解題方法。在解決以上這些數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生要站在整體的角度去思考，將局部放在整體中去觀察、分析，從而探究問題的解決方法，使問題得以巧妙解決。

四、動(dòng)手操作，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教育家蘇霍姆林斯基說過：“兒童的智慧就在他的手指尖上?！睌?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在學(xué)習(xí)的活動(dòng)過程中所獲得的，而不親身經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)就談不上經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生只有動(dòng)手操作、體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，才能將積累的經(jīng)驗(yàn)最終沉淀到內(nèi)心深處，使其轉(zhuǎn)化為一種素養(yǎng)。因此，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師可以學(xué)生活動(dòng)為主線，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與、思考探索的動(dòng)力。這樣學(xué)生便可以通過各種動(dòng)手操作，直觀有效地分析、解決數(shù)學(xué)問題，從而在活動(dòng)中學(xué)習(xí)和感悟數(shù)學(xué)。

以“勾股定理的實(shí)際應(yīng)用”為例，教師可設(shè)計(jì)以下數(shù)學(xué)活動(dòng)。

如圖7所示，甲為棱長為10 cm的正方體盒子，一只螞蟻沿著表面從A處爬到B處，需要爬行的最短路程是多少呢？如果將盒子換成長為3 cm，寬為2 cm，高為1cm的長方體（乙），螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

對于第一個(gè)題問，由于正方體的六個(gè)面都是正方形，學(xué)生可以根據(jù)正方體的展開圖確定邊長，然后用勾股定理求出最短路徑是 cm。

對于第二個(gè)問題，由于長方體的面不相同，我們會(huì)得到以下三種展開方式，如圖8所示。但是學(xué)生不容易想出不同的兩個(gè)面展開有什么區(qū)別，對所有展開形式，理解起來就有一定困難。

因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，將長方體紙盒沿著不同的棱剪開，分別展開前面和右面、前面和上底面、左面和上底面。學(xué)生就可以直觀地看到不同的展開方式下它們的展開圖各不相同，并且差異很大，連接對角線AB，然后運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算便可以得出三種不同展開方式的路徑長度分別為cm ;

cm ;

cm ;

學(xué)生通過比較便可得出最短路徑為cm，即cm。

結(jié) 語

總之，從“雙基”到“四基”，是一個(gè)提升的過程，后者對前者不是否定，而是發(fā)展和深化。學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)日積月累的過程，教師不能急于一時(shí)，更不能一蹴而就。教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能為載體，強(qiáng)化思想方法的滲透和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展、能力的提升。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.