基于敏感性分析的協(xié)方差隨機(jī)子空間方法參數(shù)優(yōu)化

劉 威，楊 娜,2，白 凡,2，常 鵬,2

(1.北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京100044；2.結(jié)構(gòu)風(fēng)工程與城市風(fēng)環(huán)境北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

對(duì)于大型工程結(jié)構(gòu)，通過(guò)環(huán)境激勵(lì)[1-3]的工作模態(tài)分析(operational modal analysis，OMA)既能確保結(jié)構(gòu)的安全，還能降低維護(hù)和管理的成本[4]。通常將環(huán)境激勵(lì)視為平穩(wěn)白噪聲，基于這一信號(hào)輸入假定以及線性結(jié)構(gòu)分析的前提，可僅通過(guò)輸出響應(yīng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別。在眾多時(shí)、頻域識(shí)別方法中，隨機(jī)子空間法(stochastic subspace identification，SSI)屬于現(xiàn)代譜分析的范疇，為參數(shù)化的計(jì)算方法，憑借較強(qiáng)的魯棒性和有效性而被廣泛使用[5]。

基于統(tǒng)計(jì)概率意義的多維數(shù)據(jù)模態(tài)分析，SSI具有同時(shí)處理多維數(shù)據(jù)特點(diǎn)[6]。由于其直接利用測(cè)試得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)建計(jì)算結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的矩陣，避免了傳統(tǒng)的模態(tài)識(shí)別方法中采用傅里葉變換造成的譜泄漏等問(wèn)題。識(shí)別過(guò)程中根據(jù)算法不同可分為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間(data-driven stochastic subspace identification，SSI-Data)及協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間(covariance-driven stochastic subspace identification，SSI-Cov)。由于前者涉及投影矩陣的計(jì)算，計(jì)算效率較低，因此本文選擇SSI-Cov進(jìn)行研究。

SSI-Cov 中涉及一些重要參數(shù)，如系統(tǒng)階數(shù)N、Hankel 矩陣中過(guò)去輸出子矩陣的行塊數(shù)g和未來(lái)輸出子矩陣行塊數(shù)h、Toeplitz 矩陣的行塊數(shù)i和列塊數(shù)j等[7]。其識(shí)別模態(tài)參數(shù)的精度不僅取決于環(huán)境因素的影響，還依賴于人為選擇參數(shù)的合理性[8]。合理的參數(shù)選擇是準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)的前提[9]，而準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)對(duì)于結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)及損傷評(píng)估至關(guān)重要。

因此，對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析以及提出建議取值對(duì)模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確識(shí)別具有重要意義。此外，目前關(guān)于利用SSI-Cov 對(duì)藏式古城墻進(jìn)行模態(tài)識(shí)別的研究相對(duì)匱乏，并且用于SSI-Cov 的參數(shù)選擇研究更是鮮有報(bào)道。本文基于敏感性分析，結(jié)合一經(jīng)典數(shù)值算例分析了系統(tǒng)階數(shù)N及Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i對(duì)模態(tài)識(shí)別過(guò)程中穩(wěn)定圖及計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律。提出在利用SSI-Cov進(jìn)行模態(tài)識(shí)別過(guò)程中，可引入奇異熵增量理論確定系統(tǒng)階數(shù)N，并給出i的建議取值范圍。最后根據(jù)藏式古城墻模態(tài)識(shí)別的應(yīng)用，說(shuō)明了本文所研究的參數(shù)優(yōu)化方法可準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

1 協(xié)方差隨機(jī)子空間算法

SSI-Cov 基于隨機(jī)狀態(tài)空間模型[6]，首先將響應(yīng)數(shù)據(jù)表達(dá)為Hankel矩陣，然后通過(guò)計(jì)算響應(yīng)數(shù)據(jù)的協(xié)方差序列組成Toeplitz 矩陣，最后通過(guò)對(duì)Toeplitz 矩陣進(jìn)行奇異值分解和特征值分解得到系統(tǒng)矩陣，從而完成結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

Hankel 矩陣定義為：

對(duì)于離散系統(tǒng)，最終只需要求出系統(tǒng)矩陣A及輸出矩陣C即可完成模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，其中C為 Γi的前l(fā)行。

模態(tài)參數(shù)識(shí)別過(guò)程中，穩(wěn)定圖法廣泛應(yīng)用于真假模態(tài)的鑒別。由于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)階數(shù)往往未知，因此通常假定系統(tǒng)階數(shù)為Nmin至Nmax。系統(tǒng)的特征值兩兩共軛，階數(shù)必須為偶數(shù)。通過(guò)將計(jì)算結(jié)果繪制在二維坐標(biāo)圖上(橫軸為頻率、縱軸為系統(tǒng)階數(shù))，從而形成穩(wěn)定圖[14]。其中，對(duì)于相鄰系統(tǒng)階數(shù)為2n和2n+2下的識(shí)別結(jié)果，需要進(jìn)行穩(wěn)定準(zhǔn)則(式10(a)～式10(c))判斷，只有滿足穩(wěn)定準(zhǔn)則的模態(tài)結(jié)果才繪制在穩(wěn)定圖上。

式中：H為Hermit 轉(zhuǎn)置；MAC為模態(tài)置信因子[11]。

2 數(shù)值模型

為了研究SSI-Cov 的關(guān)鍵參數(shù)對(duì)模態(tài)識(shí)別的影響，基于MATLAB語(yǔ)言設(shè)計(jì)程序，通過(guò)參考相關(guān)算例[15]建立一個(gè)5自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的數(shù)值模型(如圖1所示)。

圖1 5自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)模型Fig.1 A 5-DOFmass-spring-dashpot system

模型中每個(gè)單元質(zhì)量、剛度、阻尼系數(shù)分別為：mn=50 kg，kn=2.9×107N/m，cn=1000(N·s)/m。通過(guò)特征值分析，模型前5階頻率、阻尼比以及振型系數(shù)理論值分別，如表1、表2所示。

表1 模型理論頻率和阻尼比Table 1 Theoretical values of model frequency and damping ratio

利用MATLAB對(duì)首個(gè)質(zhì)量塊m1輸入高斯白噪聲激勵(lì)，采樣頻率700 Hz，采樣時(shí)間50 s，各通道采集的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為35 000。提取各質(zhì)量塊輸出信號(hào)如圖2所示。

表2 模型理論模態(tài)振型Table 2 Theoretical value of modal shape of the model

圖2 白噪聲下各質(zhì)量塊輸出信號(hào)Fig.2 Output signal of each massblock under whitenoise

3 SSI-Cov 算法的模型修正及參數(shù)優(yōu)化

利用SSI-Cov 進(jìn)行系統(tǒng)識(shí)別時(shí)，是基于構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型與測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合，以提取未知的模型參數(shù)。通過(guò)對(duì)Toeplitz 矩陣T1|i進(jìn)行奇異值分解以及對(duì)系統(tǒng)矩陣A進(jìn)行特征值分解，從而完成未知模型參數(shù)的計(jì)算。

在利用SSI-Cov 進(jìn)行模態(tài)識(shí)別涉及的參數(shù)中，j應(yīng)趨于無(wú)窮大，然而由于測(cè)試數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不可能為無(wú)限，為充分利用所測(cè)試數(shù)據(jù)，設(shè)數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度為s，則可得：

在對(duì)li×li維的矩陣T1|i進(jìn)行奇異值分解時(shí)可知i與N在算法上需要滿足以下關(guān)系：

由式(12)可知，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)N確定時(shí)，i的選擇存在一個(gè)下限值。但實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻f0相對(duì)于采樣頻率fs較低情況下，此時(shí)i又設(shè)置的較小時(shí)，會(huì)使得Hankel塊矩陣中的輸出協(xié)方差數(shù)據(jù)信息不全，從而導(dǎo)致部分模態(tài)信息的缺失。因此，Reynders[16]通過(guò)不確定性分析給出了i的建議值，令 β=fs/f0，則：

本文主要針對(duì)N、i這兩個(gè)自定義參數(shù)的選擇對(duì)計(jì)算精度的影響展開分析。由于在對(duì)Toeplitz 矩陣進(jìn)行奇異值分解以及對(duì)系統(tǒng)矩陣進(jìn)行特征值分解過(guò)程中涉及到逆問(wèn)題的求解，故引入條件數(shù)κ來(lái)衡量數(shù)值誤差對(duì)識(shí)別精度的影響：

式 中，λ1、λN分 別為Toeplitz 矩陣T1|i(系統(tǒng) 矩陣A)中的第1個(gè)和第N個(gè)奇異值。

根據(jù)穩(wěn)定圖的工作原理，為了準(zhǔn)確量化模態(tài)識(shí)別的穩(wěn)定性，通過(guò)計(jì)算識(shí)別結(jié)果中頻率(阻尼比)的總變異系數(shù)δF|D作為評(píng)價(jià)指標(biāo)：

式中：n為目標(biāo)識(shí)別模態(tài)的階數(shù)； σi、μi分別對(duì)應(yīng)第i階模態(tài)在Nmax階下計(jì)算結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差和均值。

3.1 系統(tǒng)階數(shù)N

本數(shù)值模型中，目標(biāo)識(shí)別模態(tài)為系統(tǒng)的前5階，即n=5；理論系統(tǒng)階數(shù)為10。為分析參數(shù)N對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，結(jié)合式(13)暫取i=3β ≈60，j=s-2i+1=34881。

由于噪聲的影響不可避免，使得高階的原本等于零的奇異值不完全等于零，從而無(wú)法直接通過(guò)對(duì)Toeplitz 矩陣進(jìn)行奇異值分解確定系統(tǒng)階數(shù)。在使用穩(wěn)定圖方法時(shí)，要先假設(shè)一個(gè)較大的系統(tǒng)階數(shù)N，N的選取是否合理，直接影響穩(wěn)定圖的效果：取值偏大，導(dǎo)致穩(wěn)定圖中出現(xiàn)較多虛假模態(tài)；取值較小，則發(fā)生系統(tǒng)真實(shí)模態(tài)遺漏。因此，設(shè)置最大系統(tǒng)階數(shù)為Nmax∈[6,42]，且公差為4的等差序列。

圖3～圖5分別給出了在不同系統(tǒng)階數(shù)下(N=10、26、42)識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定圖、條件數(shù)及相應(yīng)的變異系數(shù)。其中，對(duì)于該數(shù)值算例，頻率識(shí)別精度相對(duì)較高，故僅針對(duì)阻尼比變異系數(shù)進(jìn)行比較；另外，為了分析計(jì)算精度與變異系數(shù)之間的關(guān)系，同時(shí)在圖5中加入阻尼比總誤差，即所識(shí)別的各階阻尼比與理論值的絕對(duì)誤差的平均值，其中所識(shí)別的各階阻尼比是指穩(wěn)定圖各極軸中對(duì)應(yīng)阻尼比的平均值。

圖3 不同系統(tǒng)階數(shù)下的穩(wěn)定圖Fig.3 Stability diagrams at different system orders

由圖3可知：隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大，頻率穩(wěn)定極軸逐漸出現(xiàn)數(shù)學(xué)虛假模態(tài)的干擾。部分可能的模態(tài)與數(shù)學(xué)模態(tài)相關(guān)聯(lián)而圍繞在物理極點(diǎn)附近形成新的極軸，從而給各階模態(tài)的準(zhǔn)確識(shí)別帶來(lái)困難。當(dāng)N=10，即等于理論系統(tǒng)階數(shù)時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的前5階模態(tài)均很好的識(shí)別，并且無(wú)數(shù)學(xué)模態(tài)出現(xiàn)。

圖4 條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律Fig.4 Variation law of condition number with system order

圖5 阻尼比識(shí)別結(jié)果變異系數(shù)及平均誤差Fig.5 Coefficient of variation and average error of damping ratio recognition results

條件數(shù)反映了逆問(wèn)題求解過(guò)程中線性方程組的病態(tài)與否。當(dāng)條件數(shù)越小，求解精度越高，響應(yīng)數(shù)據(jù)的擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)越小。圖4給出了Toeplitz 矩陣以及系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)二者均隨N的增大而增大，整體呈正相關(guān)關(guān)系。

圖5根據(jù)式(15)計(jì)算了阻尼比在不同系統(tǒng)階數(shù)時(shí)的總體變異系數(shù)：當(dāng)N＜26時(shí)，總變異系數(shù)及平均誤差均維持在相對(duì)較低的水平；當(dāng)N＞26時(shí)，阻尼比變異系數(shù)急劇增大，平均誤差也越來(lái)越大。二者表現(xiàn)出一定的相關(guān)性，原因在于變異系數(shù)反映了不同系統(tǒng)階數(shù)下模態(tài)識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性，當(dāng)變異系數(shù)值較大時(shí)，往往對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定圖中出現(xiàn)較多的數(shù)學(xué)極點(diǎn)干擾，從而影響模態(tài)識(shí)別精度，造成較大誤差。另外，當(dāng)N=6時(shí)，第4和第5階模態(tài)出現(xiàn)遺漏，原因在于系統(tǒng)階數(shù)太低(低于真實(shí)系統(tǒng)階數(shù))。

為了對(duì)系統(tǒng)階數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確識(shí)別，本文通過(guò)引入奇異熵增量理論來(lái)確定N。首先，奇異譜表示的是各個(gè)狀態(tài)變量在整個(gè)系統(tǒng)中所占能量的相對(duì)關(guān)系；而熵是一切事物狀態(tài)不確定性的度量，信息熵是考察信號(hào)包含信息量的有效指標(biāo)之一[17-19]；因此，奇異熵對(duì)信號(hào)信噪比的變化反映非常敏感，可用于系統(tǒng)階數(shù)的識(shí)別。

假定系統(tǒng)有m個(gè)狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)存在的概率為pi，則該系統(tǒng)的熵E可表示為：

在無(wú)噪聲或高信噪比情況下，通過(guò)對(duì)Toeplitz矩陣進(jìn)行奇異值分解得到其特征值對(duì)角矩陣為：

式中，k為奇異熵的階數(shù)，k≤N。ΔEi表示奇異熵在階數(shù)i處的增量，其表達(dá)式為：

當(dāng)奇異熵增量降低到漸近值時(shí)，信號(hào)的有效特征信息量才算基本完整；此時(shí)，對(duì)于同一信號(hào)，不論其信噪比高低，對(duì)應(yīng)的奇異譜階數(shù)完全相同?；谄娈愳剡@一特性，當(dāng)奇異熵增量趨于穩(wěn)定時(shí)，所對(duì)應(yīng)的奇異譜階數(shù)即可認(rèn)為是系統(tǒng)階數(shù)。

隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大，對(duì)于指定的一個(gè)系統(tǒng)，不同N值下的奇異熵增量計(jì)算結(jié)果相同。以N=10、26、42為例，截取計(jì)算結(jié)果的前30階進(jìn)行繪圖，該系統(tǒng)奇異熵增量均如圖6所示。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通過(guò)對(duì)奇異熵計(jì)算一階靈敏度可以進(jìn)一步直觀的觀察系統(tǒng)階數(shù)。由圖6可知，當(dāng)N=10時(shí)，奇異熵增量的一階靈敏度降低為0，即該數(shù)值模型的系統(tǒng)階數(shù)為10，結(jié)果與理論值一致。

3.2 Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i

圖6 奇異熵增量及其一階靈敏度Fig.6 Singular entropy increment and its first-order sensitivity

結(jié)合式(12)、式(13)可知，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)N確定，i≥max(N/l,0.5β)。即便如此，對(duì)于參數(shù)i，僅可以得到其下限值，并沒(méi)有確保子空間模型和響應(yīng)數(shù)據(jù)擬合更優(yōu)、穩(wěn)定圖更清晰的取值范圍，而i的取值對(duì)計(jì)算結(jié)果和穩(wěn)定圖的影響不可忽視[20]。因此，在數(shù)值模型和實(shí)際應(yīng)用中，首先基于奇異熵理論確定系統(tǒng)階數(shù)N，然后通過(guò)分析i的取值對(duì)Toeplitz 矩陣T1|i(系統(tǒng)矩陣A)的條件數(shù)以及穩(wěn)定圖識(shí)別質(zhì)量的影響，分析其最優(yōu)化取值區(qū)間。

根據(jù)數(shù)值算例，取N=10，i=[β:0.5β:5β]。圖7反映了不同i值對(duì)條件數(shù)的影響，即在β ～5β，Toeplitz 矩陣T1|i(系統(tǒng)矩陣A)的條件數(shù)對(duì)i的取值不敏感，整體波動(dòng)較小。i=β 、 3β 、 5β時(shí)的穩(wěn)定圖結(jié)果如圖8所示。當(dāng)i＞4β時(shí)，由于i的取值過(guò)大而導(dǎo)致第5階模態(tài)在穩(wěn)定圖上出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象(如圖8(c)所示)。由于該5自由度數(shù)值模型系統(tǒng)階數(shù)較小，僅為10階，所以在實(shí)際繪制穩(wěn)定圖時(shí)N的取值也可適當(dāng)大于基于奇異熵識(shí)別的系統(tǒng)階數(shù)。

圖7 條件數(shù)隨i 值的變化規(guī)律Fig.7 Variation law of condition number with i value

圖8 不同i 值下的穩(wěn)定圖Fig.8 Stability diagramsat different valuesof i

圖9給出了阻尼比在不同i值下的變異系數(shù)及平均絕對(duì)誤差。由圖可知：識(shí)別的前5階目標(biāo)阻尼比的變異系數(shù)在i=β～2β時(shí)逐漸增大，在i=4β～5β時(shí)逐漸減小，在i=2β～4β時(shí)呈現(xiàn)先減后增的趨勢(shì)。結(jié)合平均絕對(duì)誤差先減小后增大的規(guī)律可得：當(dāng)i=2β～4β時(shí)，阻尼比變異系數(shù)和平均絕對(duì)誤差均相對(duì)較小。其中，i=3β時(shí)阻尼比的變異系數(shù)最小，為0.89%，前5階阻尼比平均絕對(duì)誤差為8.75%，前5階理論與識(shí)別的振型MAC值分別為1、1、0.994、0.996、0.993。因此，基于數(shù)值算例分析可得：當(dāng)i=2β～4β時(shí)，模態(tài)識(shí)別的精度較高。

圖9 阻尼比識(shí)別結(jié)果的變異系數(shù)及平均誤差Fig.9 Coefficient of variation and average error of damping ratio recognition results

4 應(yīng)用

4.1 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試

4.1.1結(jié)構(gòu)概況

本文研究的藏式古城墻為西藏地區(qū)某典型古城墻。該城墻被門樓、塔樓分為5段。由于墻體周邊地面有起伏，從不同位置測(cè)量高度有差異，各段高度為6.0 m～6.9 m(不考慮女兒墻高度)。底部厚度為4.2 m～5.8 m，頂部為3.1 m～3.8 m。

古城墻原為夯土墻，夯土中摻入了卵礫石，后來(lái)先后在城墻內(nèi)外立面各增加一層0.5 m 厚的石砌體。墻體采用收分設(shè)計(jì)，高大厚重，兩側(cè)的石砌體為方石疊壓片石的結(jié)構(gòu)，沿石砌體墻面不同高度處還不規(guī)則的設(shè)置了透氣孔。根據(jù)上述建造工藝，從而形成了藏式傳統(tǒng)古城墻獨(dú)特的建筑風(fēng)格。然而經(jīng)歷數(shù)個(gè)世紀(jì)的自然災(zāi)害洗禮，古城墻局部出現(xiàn)了較嚴(yán)重的病害，如東墻北段曾發(fā)生大面積坍塌，如圖10所示。

圖10 E 段墻發(fā)生坍塌Fig.10 Collapse of section E wall

4.1.2環(huán)境激勵(lì)測(cè)試方案

對(duì)于城墻結(jié)構(gòu)，振動(dòng)主要體現(xiàn)為平面外振動(dòng)。為了獲取其平面外振動(dòng)特性，從而了解各段墻體的模態(tài)信息，具體包括結(jié)構(gòu)頻率、阻尼比、振型。根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及測(cè)試條件限制，按照?qǐng)D11所示的截面(A1～E2)分別對(duì)5段城墻進(jìn)行加速度信號(hào)動(dòng)力測(cè)試，截面選取原則為：1)對(duì)于較短的墻A、D，選擇跨中作為測(cè)試截面；2)對(duì)于較長(zhǎng)的墻B、C、E，選擇近似三分點(diǎn)處；3)考慮墻體中部透氣孔分布的隨機(jī)性。

圖11 城墻測(cè)試截面示意圖/m Fig.11 Schematic diagram of the test section of the city wall

為避免對(duì)城墻結(jié)構(gòu)造成影響和破壞，采用環(huán)境激勵(lì)法進(jìn)行動(dòng)力測(cè)試。測(cè)點(diǎn)布置原則為：1)結(jié)合城墻結(jié)構(gòu)分布有透氣孔這一特點(diǎn)，各測(cè)試截面按照內(nèi)側(cè)墻底、內(nèi)側(cè)墻中、內(nèi)側(cè)墻頂、外側(cè)墻頂、外側(cè)墻底分別布置5個(gè)測(cè)點(diǎn)(如圖12)；2)其中內(nèi)側(cè)墻中測(cè)點(diǎn)優(yōu)先選在1/2高處，實(shí)際布置高度均予以測(cè)量；3)測(cè)點(diǎn)方向布置為朝墻體內(nèi)側(cè)方向，即南墻傳感器方向均為由南向北，東(西)墻傳感器方向均為由東(西)向西(東)。各測(cè)點(diǎn)傳感器通過(guò)快干粉固定并調(diào)至水平。

圖12 墻體透氣孔分布及傳感器布置情況Fig.12 Distribution of air permeability holesin wallsand arrangement of sensors

測(cè)試設(shè)備如圖13所示：數(shù)據(jù)采集設(shè)備為北京東方所INV3062T 四通道采集儀，測(cè)試時(shí)最多需要3臺(tái)采集儀同時(shí)工作(對(duì)于A、D兩段墻為5通道，B、C、E三段墻為10通道)；傳感器為941B型超低頻加速度測(cè)振儀，內(nèi)置前置放大器功能。采樣頻率為128 Hz，采樣時(shí)長(zhǎng)為50 min，每個(gè)測(cè)點(diǎn)采集加速度數(shù)據(jù)總量為384000個(gè)。測(cè)試過(guò)程中，確保附近無(wú)其他干擾激勵(lì)源。

圖13 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試設(shè)備Fig.13 Field test equipment

4.2 模態(tài)識(shí)別與參數(shù)分析

4.2.1系統(tǒng)階數(shù)N的確定

本文以E段墻為例，進(jìn)行其模態(tài)參數(shù)的識(shí)別。主要針對(duì)古城墻面外振動(dòng)的前3階模態(tài)進(jìn)行識(shí)別，即n=3。根據(jù)頻域譜分析可知，結(jié)構(gòu)基頻約為6 Hz。為分析參數(shù)N對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，結(jié)合3.1節(jié)的分析結(jié)果先選定i=3β ≈66，j=s-2i+1=383869，設(shè)置最大系統(tǒng)階數(shù)為Nmax∈[18,58]，且公差為4的等差序列。

圖14給出了N=22、38、54時(shí)的穩(wěn)定圖識(shí)別結(jié)果?？梢钥闯觯弘S著系統(tǒng)階數(shù)的增大，SSI-Cov識(shí)別的穩(wěn)定圖中數(shù)學(xué)模態(tài)隨之而增多。對(duì)于識(shí)別的前3階目標(biāo)模態(tài)，當(dāng)N=22時(shí)物理極軸相對(duì)穩(wěn)定，干擾最小；N=38時(shí)，第3階模態(tài)附近開始出現(xiàn)數(shù)學(xué)模態(tài)的極點(diǎn)；N=54時(shí)，第1階和第3階模態(tài)周圍出現(xiàn)較多的數(shù)學(xué)模態(tài)形成的極軸。

圖15、圖16分別為不同系統(tǒng)階數(shù)下，條件數(shù)及變異系數(shù)變化規(guī)律：1)Toeplitz矩陣及系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的增大近似呈線性增大；2)識(shí)別結(jié)果中阻尼比的變異系數(shù)明顯比頻率大，且阻尼比變異系數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化波動(dòng)較大，而頻率變異性很小。

根據(jù)3.1節(jié)奇異熵理論，識(shí)別藏式古城墻的E 段墻的系統(tǒng)階數(shù)：該結(jié)構(gòu)奇異熵增量及其一階靈敏度如圖17所示，當(dāng)N在22附近時(shí)，奇異熵增量一階靈敏度趨于0，因此識(shí)別出該系統(tǒng)階數(shù)為22。結(jié)合圖14(a)，同時(shí)也說(shuō)明了當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)設(shè)置的越接近實(shí)際值，基于SSI-Cov 方法識(shí)別的穩(wěn)定圖越穩(wěn)定。

4.2.2 Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i的選擇

已知藏式古城墻面外振動(dòng)系統(tǒng)階數(shù)N=22，取i=[β:0.5β:5β]。圖18反映了不同i值對(duì)條件數(shù)的影響，與數(shù)值算例不同的是：在 β ～5β，Toeplitz矩陣T1|i(系統(tǒng)矩陣A)的條件數(shù)隨i的增大而減小，且減小速率逐漸變緩。頻率和阻尼比的變異系數(shù)在2β ＜i＜4β時(shí)變化趨勢(shì)相對(duì)平緩，隨后急劇增長(zhǎng)(圖19)。i=β 、3 β 、5 β時(shí)的穩(wěn)定圖結(jié)果如圖20所示。當(dāng)i=β時(shí)，第2階模態(tài)在穩(wěn)定圖上出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象(圖20(a))；當(dāng)i=5β時(shí)，第2階模態(tài)周圍出現(xiàn)數(shù)學(xué)模態(tài)干擾。綜合來(lái)看，當(dāng)i=2β～4β時(shí)，既能得到清晰的穩(wěn)定圖，又能滿足識(shí)別結(jié)果的數(shù)值穩(wěn)定性，i的建議取值范圍與算例結(jié)論一致。

圖14 不同系統(tǒng)階數(shù)下的穩(wěn)定圖Fig.14 Stability diagrams at different system orders

圖15 條件數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律Fig.15 Variation law of condition number with system order

圖16 頻率、阻尼比變異系數(shù)隨系統(tǒng)階數(shù)的變化規(guī)律Fig.16 Variation law of variation coefficientsof frequency and damping ratio with different system orders

圖17 奇異熵增量及其一階靈敏度Fig.17 Singular entropy increment and itsfirst-order sensitivity

4.2.3模態(tài)識(shí)別結(jié)果

根據(jù)上述系統(tǒng)階數(shù)及Toeplitz 矩陣行塊數(shù)的選擇分析，再次驗(yàn)證了基于奇異熵理論確定系統(tǒng)階數(shù)N，且i選擇為2β～4β時(shí)，可更好地識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。文中針對(duì)藏式古城墻結(jié)構(gòu)最終選擇N=22，i= 3β進(jìn)行模態(tài)識(shí)別。表3給出了E段墻的前3階頻率和阻尼比信息。由于各段城墻兩端均連接著角樓或者門樓，故假定各段城墻兩端為固接。由于E段墻沿高度方向布置了上、中、下3處測(cè)點(diǎn)，沿長(zhǎng)度方向布置了兩處截面，故僅將前兩階振型繪制如圖21所示。

圖18 條件數(shù)隨i 值的變化規(guī)律Fig.18 Variation law of condition number with i value

圖19 頻率、阻尼比變異系數(shù)隨i 值的變化規(guī)律Fig.19 Variation law of variation coefficient of frequency and damping ratio with i value

圖20 不同i 值下的穩(wěn)定圖Fig.20 Stability diagramsat different valuesof i

表3 E 段墻面外振動(dòng)前3階模態(tài)參數(shù)Table 3 The first third-order modal parametersof external vibration of section Ewall

圖21 E 段墻面外振動(dòng)模態(tài)識(shí)別結(jié)果Fig.21 Modal recognition results of out-of-plane vibration of section Ewall

根據(jù)圖21可知，E 段城墻面外振動(dòng)的一階振型中兩截面振動(dòng)方向相同，截面E1、E2均近似為彎曲型；二階振型中兩截面振動(dòng)方向相反，截面E1、E2均為彎曲型，此時(shí)沿墻體縱向發(fā)生一定程度扭轉(zhuǎn)變形。

5 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間法中的幾個(gè)參數(shù)優(yōu)化進(jìn)行敏感性分析，重點(diǎn)研究了系統(tǒng)階數(shù)N及Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i對(duì)模態(tài)識(shí)別過(guò)程中穩(wěn)定圖及計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律。首先，結(jié)合Toeplitz矩陣和系統(tǒng)矩陣的條件數(shù)分析計(jì)算模態(tài)結(jié)果的精度；然后，基于模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的變異系數(shù)分析其與穩(wěn)定圖質(zhì)量的關(guān)系。利用一經(jīng)典數(shù)值算例(五自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼結(jié)構(gòu))進(jìn)行了驗(yàn)證，進(jìn)而應(yīng)用于藏式古城墻結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)。主要結(jié)論如下：

(1)Toeplitz 矩陣或系統(tǒng)矩陣A的條件數(shù)越小計(jì)算結(jié)果精度越高；識(shí)別頻率、阻尼比的變異系數(shù)越小，對(duì)應(yīng)的模態(tài)穩(wěn)定圖質(zhì)量越好。

(2)通過(guò)奇異熵增量理論可準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)階數(shù)N，奇異熵增量的一階靈敏度降至0時(shí)對(duì)應(yīng)的階數(shù)即為系統(tǒng)階數(shù)。

(3)協(xié)方差驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間法中，Toeplitz 矩陣行塊數(shù)i的建議取值范圍為2β～4β ( β為采樣頻率與結(jié)構(gòu)基頻的比值)。

(4)基于本文提出的參數(shù)優(yōu)化方法，利用協(xié)方差隨機(jī)子空間法能有效識(shí)別藏式古城墻的動(dòng)力特性，包括頻率、振型和阻尼比：識(shí)別該結(jié)構(gòu)的前3階頻率分別為5.93 Hz、7.80 Hz、11.15 Hz；前3階阻尼比分別為0.0238、0.0364、0.0479。