地震作用下水-軸對(duì)稱柱體相互作用的子結(jié)構(gòu)分析方法

王曉靜，趙 密，王丕光，杜修力，程星磊

(北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，近海工程結(jié)構(gòu)的發(fā)展也越來(lái)越受到關(guān)注，如海上風(fēng)電、人工島、跨海橋梁等[1-3]。地震作用下水-結(jié)構(gòu)的相互作用會(huì)在結(jié)構(gòu)的表面產(chǎn)生動(dòng)水壓力作用，該動(dòng)水壓力會(huì)影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)和動(dòng)力特性[4-6]。因此研究水-柱體結(jié)構(gòu)相互作用對(duì)近海工程結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)具有重要的意義。

地震作用下水-結(jié)構(gòu)的相互作用的研究可以追溯到1933年Westergaard 對(duì)豎直壩面上的地震動(dòng)水壓力的求解。地震作用下水-柱體相互作用的研究則始于1965年橢圓截面剛性柱體上動(dòng)水壓力的推導(dǎo)[7]。之后，Chopra 在討論了水體壓縮性和表面波對(duì)圓柱結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響[8]。水-柱體結(jié)構(gòu)相互作用的分析方法主要有解析法、數(shù)值法、和物理實(shí)驗(yàn)法[9]等。解析法是通過(guò)首先求解水-柱體結(jié)構(gòu)相互作用的定解問(wèn)題的動(dòng)水壓力解析式，進(jìn)而將動(dòng)水壓力公式代入結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析[10-15]。解析法一般只能分析幾何形狀簡(jiǎn)單的等截面柱體結(jié)構(gòu)，如圓柱[10-13]和橢圓柱[14-15]。數(shù)值法則是基于有限元[16-17]、邊界元[18-19]、無(wú)限單元[20]等數(shù)值方法分析水-柱體結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題的方法，數(shù)值方法對(duì)結(jié)構(gòu)的幾何形狀沒有那么高的要求，可以求解幾何形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或者傾斜結(jié)構(gòu)。

軸對(duì)稱柱體結(jié)構(gòu)是近海工程中常見的結(jié)構(gòu)形式，如圓錐柱體、復(fù)合桶形基礎(chǔ)等[17,21-22]。數(shù)值方法可以用于求解地震作用下水-軸對(duì)稱柱體的相互作用問(wèn)題。近海工程中一般將水體介質(zhì)視為無(wú)限域，數(shù)值模型中可通過(guò)引入人工邊界條件將水體分為近場(chǎng)有限域和遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)限域。近場(chǎng)有限域可以用動(dòng)力有限元法進(jìn)行模擬，遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)限域則用人工邊界條件模擬[23-26]。王丕光等[24]提出了一種三維圓柱形高精度時(shí)域人工邊界條件求解三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)與水體的動(dòng)力相互作用問(wèn)題。本文則是針對(duì)地震作用下水-軸對(duì)稱柱體的相互作用問(wèn)題的特點(diǎn)，采用分離變量法將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N環(huán)向解析、豎向和徑向數(shù)值的二維分析模型；二維分析模型中，基于比例邊界有限元法(SBFEM)[27-29]推導(dǎo)了一種模擬遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)限域的高精度人工邊界。比例邊界有限元法能夠降低問(wèn)題的維度，從而減小計(jì)算量、提高計(jì)算效率，并且能自動(dòng)滿足無(wú)限遠(yuǎn)處的輻射邊界條件。

1 問(wèn)題描述

地震作用下水-軸對(duì)稱柱體的動(dòng)力相互作用問(wèn)題如圖1 所示，圖中h表示水深，H為柱體高度；在直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中，z軸為沿著柱體軸線向上，坐標(biāo)原點(diǎn)位于柱體底部；a(z)表示z處截面半徑。假定地基為剛性，地面運(yùn)動(dòng)沿x方向運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的位移時(shí)程為ug；結(jié)構(gòu)-水體系統(tǒng)初始靜止；水體假定為小擾動(dòng)不可壓縮流體，并忽略表面重力波的影響，水體的密度為 ρw=1000 kg/m3。柱坐標(biāo)系(r,θ,z)下水體的控制方程為：

式中，p表示水體的動(dòng)水壓力。

圖1 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)-水相互作用示意圖Fig.1 Axisymmetric cylinder-water interaction

水底、水面和水與結(jié)構(gòu)交界面的邊界條件以及無(wú)窮遠(yuǎn)處的輻射條件分別為：

動(dòng)力壓力p的可以通過(guò)分離變量的方式并結(jié)合邊界條件表示為p=p1(r,z,t)cosθ，則相應(yīng)的軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)-水相互作用問(wèn)題的控制方程和邊界條件可以用動(dòng)水壓力的環(huán)向分量p1表示為：

為方便敘述在下文的推導(dǎo)過(guò)程中p1稱為動(dòng)水壓力。

在r=R0處引入人工邊界條件，則無(wú)限域水體可以分為近場(chǎng)有限域 ΩI和遠(yuǎn)場(chǎng)無(wú)限域 ΩII。近場(chǎng)有限域可以用軸對(duì)稱有限元離散。

2 軸對(duì)稱有限元推導(dǎo)

采用與有限元相同的四節(jié)點(diǎn)四邊形單元等參單元變換，再利用高斯積分即可得到剛度矩陣的值。

3 高精度人工邊界條件

3.1 比例邊界坐標(biāo)變換

基于比例邊界中心線的思想，本文將oz軸選取為比例邊界中心線，如圖2所示，圖中比例邊界坐標(biāo) ξ 和 η，為局部坐標(biāo)。徑向坐標(biāo) ξ可以看作是比例系數(shù)，因此域內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)(r,z)可以用局部比例邊界坐標(biāo) ξ 和 η表示為：

式中：N=N(η)=[(1-η)/2 (1+η)/2]為形函數(shù)；zb=[z1z2]T為邊上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。

圖2 SBFE 坐標(biāo)變換Fig.2 Thetransformation of SBFE coordinates

3.2 比例邊界有限元方程

對(duì)控制方程式(6)運(yùn)用加權(quán)余量法可得：

將相應(yīng)的坐標(biāo)變換關(guān)系式(21)、式(22)和式(23)代入式(24)，并對(duì)其中的兩項(xiàng)進(jìn)行分部積分得：

對(duì)動(dòng)水壓力和權(quán)函數(shù)采用相同的形函數(shù)插值：

式中：p1=p1(ξ)為單元節(jié)點(diǎn)動(dòng)水壓力向量；w=w(ξ)為權(quán)函數(shù)向量。定義B1=b1N，B2=b2N,η，下標(biāo)撇號(hào)表示導(dǎo)數(shù)，如N,η即表示形函數(shù)N 對(duì)坐標(biāo)η的導(dǎo)數(shù)。

將式(26)、式(27)代入式(25)，并消去任意權(quán)函數(shù)w和對(duì) ξ的積分可得：

其中：

將式(28)沿人工邊界處進(jìn)行裝配，消去系數(shù)為零的項(xiàng)，并利用上下表面的邊界條件可得：

4 水-軸對(duì)稱柱體系統(tǒng)的時(shí)域方程

4.1 水體有限元方程

整個(gè)水域的動(dòng)水壓力可以表示為：

4.2 水-軸對(duì)稱柱體系統(tǒng)的時(shí)域方程

柱體結(jié)構(gòu)可以用梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量矩陣可以用一下公式表示[30]：

5 數(shù)值算例

本文中算例的結(jié)構(gòu)的彈性模量、密度、泊松比和阻尼比分別為：21 GPa，7800 kg/m3，0.3和0.02，結(jié)構(gòu)的厚度為0.06 m。圖3為本文中選取的作用在剛性地基上的地震動(dòng)時(shí)程曲線，圖4為對(duì)應(yīng)的地震動(dòng)的傅里葉幅值曲線。

圖3 地震動(dòng)時(shí)程Fig.3 Time history of earthquakes

5.1 方法驗(yàn)證

首先，對(duì)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的等效梁?jiǎn)卧M(jìn)行驗(yàn)證。表1為本文軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的等效梁?jiǎn)卧虯BAQUS中的實(shí)體梁?jiǎn)卧?jì)算的自振頻率的比較，可以看出相對(duì)誤差在5%以內(nèi)，因此本文選用的等效變換方法是符合精度要求的。

其次，對(duì)二維分析模型中的人工邊界的驗(yàn)證。分別選取等截面圓柱和圓錐柱體兩個(gè)模型：模型1等截面圓柱的半徑和高度分別為3 m、80 m，模型2圓錐形柱體的半徑、傾角和高度分別為a=3 m 、θ0=atan(80/1)和80 m。模型1的參考解為解析解，模型2的參考解為20 000×80的擴(kuò)展有限元解，網(wǎng)格大小為5×5。人工邊界的設(shè)置在r=50m 處。圖5為剛性軸對(duì)稱柱體上的動(dòng)水力分布本文解和參考解的對(duì)比。由圖5可以看出，采用本文提出的人工邊界條件得到的本文解與參考解極好地吻合。

最后，對(duì)本文提出的水-軸對(duì)稱相互作用的子結(jié)構(gòu)分析方法的驗(yàn)證。等截面圓柱的參考解為將柱體結(jié)構(gòu)與動(dòng)水壓力的解析解耦合求得的結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)；圓錐柱體模型的參考解為柱體結(jié)構(gòu)有限元方程與動(dòng)水力的擴(kuò)展有限元方程與柱體結(jié)構(gòu)有限元方程耦合解得的結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)。在模型1、模型2施加圖3所示的編號(hào)為No.1地震動(dòng)荷載，將結(jié)構(gòu)的頂部位移作為參考量。圖6為結(jié)構(gòu)頂部位移響應(yīng)本文解和參考解的對(duì)比。由圖6可以看出本文方解與參考解吻合較好。

圖4 地震動(dòng)的傅里葉幅值曲線Fig.4 Furrier amplitude spectrum of ground motions

表1 等效變換梁?jiǎn)卧蛯?shí)體單元的自振頻率Table 1 The natural frequency of vibration comparison of solid element and equivalent beam

圖5 剛性柱體上無(wú)量綱動(dòng)水力沿高度分布Fig.5 The distribution of dimensionless hydrodynamic pressure

5.2 應(yīng)用分析

計(jì)算了不同水深時(shí)水-軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的地震響應(yīng)，分析水深對(duì)水-軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)相互作用。引入無(wú)量綱系數(shù)Ru=uim/u0m，其中uim表示不同水深時(shí)水-軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)相互作用時(shí)位移響應(yīng)的最大值，u0m表示軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)在空氣中時(shí)位移響應(yīng)的最大值。

以模型2為例，分別計(jì)算了水深為20 m、40 m、60 m 和80 m 時(shí)，荷載分別為圖3所示的7條地震動(dòng)時(shí)的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)；圖7為Ru隨水深的變化。由圖7可以看出，地震動(dòng)水壓力對(duì)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響隨水深相對(duì)結(jié)構(gòu)高度(h/H)的增加呈增大趨勢(shì)，這主要是由于作用在結(jié)構(gòu)上的地震動(dòng)水壓力隨水深的增加而增大。需要指出的是，由于不同地震動(dòng)的頻譜特性不同，因此不同地震動(dòng)作用下動(dòng)水壓力對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響也不相同。

定義自振頻率降低率為：

圖6 柱體頂部位移響應(yīng)Fig.6 Top displacement of the axisymmetric structure

圖7 R u 與水深的關(guān)系Fig.7 R u vary with different earthquakes

式中，ωws和ωs分別是指水-結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的自振頻率和結(jié)構(gòu)無(wú)水時(shí)的自振頻率。

表2為不同水深時(shí)水-軸對(duì)稱相互作用系統(tǒng)的自振頻率。表3為不同水深時(shí)自振頻率的相對(duì)值。由表2和3可以看出當(dāng)水深相對(duì)結(jié)構(gòu)高度較小時(shí)(h/H≤0.25)，系統(tǒng)的基頻和結(jié)構(gòu)無(wú)水時(shí)的基頻相差不大，由圖7也可以看出此時(shí)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)與無(wú)水時(shí)沒有明顯差異；這表明水深相對(duì)結(jié)構(gòu)高度較淺時(shí)，地震動(dòng)水壓力對(duì)柱體結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響可忽略。隨著水深相對(duì)結(jié)構(gòu)的高度的增大(0.25＜h/H≤1)，系統(tǒng)的頻率降低率逐漸減小，自振頻率的減低可能會(huì)使得系統(tǒng)的二階自振頻率出現(xiàn)在地震動(dòng)的卓越頻率范圍內(nèi)，圖7中也可以看出此時(shí)結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)與無(wú)水時(shí)相差較大；因此水深相對(duì)結(jié)構(gòu)高度較深時(shí)，地震動(dòng)水力對(duì)柱體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)和自振特性的影響不可忽略。

表2 水-軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)相互作用系統(tǒng)的自振頻率Table2 Thenatural frequency of vibration of wateraxisymmetric interaction system

表 3自振頻率降低率Table 3 The reduction ratio of natural vibration frequency

6 結(jié)論

基于不可壓縮水體，本文提出了一種地震作用下水-軸對(duì)稱柱體相互作用的動(dòng)力響應(yīng)的子結(jié)構(gòu)分析方法。首先將水體三維模型轉(zhuǎn)化為環(huán)向解析、豎向和徑向離散的二維模型，其次用高精度人工邊界條件模擬無(wú)限域水體的作用，在保證了精度的同時(shí)大大提高了計(jì)算效率。

數(shù)值算例中分別驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)的等效梁?jiǎn)卧?、?dòng)水壓力和水-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用耦合模型的精確性。以圓錐柱體為例分析了地震作用下水深對(duì)水-軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)相互作用的地震響應(yīng)的影響，數(shù)值算例表明隨著水深的增加，動(dòng)水力對(duì)結(jié)構(gòu)的自振頻率和動(dòng)力響應(yīng)的影響呈增大的趨勢(shì)。

由于本文提出的子結(jié)構(gòu)可以將水-軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的相互作用通過(guò)附加質(zhì)量的模擬，易于在商業(yè)有限元軟件中實(shí)現(xiàn)和方便于工程應(yīng)用。