考慮摩擦的滑移索結(jié)構(gòu)理論計(jì)算方法

陳詩(shī)再，楊孟剛

(中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長(zhǎng)沙410075)

索結(jié)構(gòu)由于輕質(zhì)高強(qiáng)、造型美觀、經(jīng)濟(jì)合理，在工程中具有廣泛的應(yīng)用。索在工程應(yīng)用中往往存在滑移行為，比如纜索吊裝系統(tǒng)、懸索橋主纜架設(shè)、穹頂結(jié)構(gòu)、高壓輸電結(jié)構(gòu)、索道等?；扑鹘Y(jié)構(gòu)由于張拉或者外荷載的改變，在支點(diǎn)處存在滑移行為，滑移后兩側(cè)索原長(zhǎng)發(fā)生改變，從而影響結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及位移。索結(jié)構(gòu)本身具有高度的幾何非線性，可根據(jù)變形關(guān)系準(zhǔn)確得到變形協(xié)調(diào)方程[1]。索在滑移時(shí)不可避免地會(huì)受到摩擦力的影響。為了準(zhǔn)確分析滑移索結(jié)構(gòu)，需要合理考慮幾何非線性、滑移特性及滑動(dòng)摩擦。

索的幾何非線性使得計(jì)算變得復(fù)雜，滑移問題的求解一般采用數(shù)值方法進(jìn)行，主要以有限元法為主。一些學(xué)者簡(jiǎn)化了幾何非線性的處理，采用直線索單元模擬拉索，把關(guān)注點(diǎn)集中于滑移的分析。Aufaure[2]和Zhou 等[3]提出了三節(jié)點(diǎn)折線單元處理滑移；Lee 等[4]通過直線型整體滑移單元來(lái)進(jìn)行滑移摩擦結(jié)構(gòu)的分析；Chen 等[5]提出了考慮幾何非線性的多折線單元用于分析穹頂結(jié)構(gòu)的滑移問題。基于直線索假定的索單元大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，但是這類單元對(duì)于松弛索滑移的模擬精度不足。

此外，一些學(xué)者同樣采用直線索的假定，利用逐步逼近的辦法來(lái)獲得滑移平衡態(tài)，比如冷凍-升溫法[6]、拉力分配法[7]、角平分線法[8]。這類方法的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在避免了復(fù)雜的迭代過程，然而為了結(jié)果更準(zhǔn)確，也需要更多單元數(shù)。近年來(lái)，一些研究基于直線索的假定建立新型有限元法。俞鋒等[9-10]使用有限質(zhì)點(diǎn)法建立了索桿梁膜結(jié)構(gòu)的滑移分析方法，Kan 等[11-12]利用多體動(dòng)力學(xué)方法分析滑移索結(jié)構(gòu)，他們的方法[9-12]都適用于滑移體系的線性動(dòng)力分析。

為了達(dá)到更高的精度和使用更少的單元數(shù)，滑移分析的數(shù)值模擬普遍采用懸鏈線單元。許多學(xué)者基于彈性懸索解析解推導(dǎo)了索在支點(diǎn)處的滑移剛度[13-15]，利用懸鏈線索有限元法和滑移剛度分析滑移索結(jié)構(gòu)。魏建東等[16-17]直接建立懸鏈線型滑移單元分析纜索吊裝系統(tǒng)。滑移往往涉及接觸摩擦問題，懸鏈線理論使得摩擦力可以準(zhǔn)確使用Euler 摩擦公式進(jìn)行描述。因此，采用懸鏈線理論分析滑移結(jié)構(gòu)，不僅可以大大提高了計(jì)算精度，減少了單元數(shù)，還能準(zhǔn)確考慮摩擦損失。

上述數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果存在一定差異，目前也沒有專門的理論解評(píng)價(jià)其精度。因此，滑移摩擦索結(jié)構(gòu)理論解的研究具有十分重要的意義。滑移索結(jié)構(gòu)理論解的研究很少，唐建民和卓家壽[18]提出了一種近似理論解，只能求解兩跨連續(xù)索，變形協(xié)調(diào)條件采用了近似處理，且不考慮滑移點(diǎn)的摩擦，因而具有較大的局限性。Such 等[19]指出索和桿的變形和滑移行為都可利用解析方法描述，但其方法無(wú)法處理多點(diǎn)滑移和摩擦問題。

為了建立考慮摩擦的滑移索結(jié)構(gòu)的理論解，本文首先推導(dǎo)了單索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的解析表達(dá)式；利用該表達(dá)式、Euler 摩擦公式，結(jié)合滑移的總無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)不變(Invariant total unstressed length,簡(jiǎn)稱ITUL)特性和張力平衡條件，分別建立自重下和集中荷載下的多跨連續(xù)索、索桿滑移結(jié)構(gòu)的解析平衡方程組；利用Newton-Raphson 迭代求解該方程組，得到滑移平衡態(tài)。對(duì)兩個(gè)經(jīng)典算例進(jìn)行分析，以對(duì)現(xiàn)有方法進(jìn)行精度評(píng)價(jià)；利用本文方法對(duì)纜索吊裝系統(tǒng)和預(yù)應(yīng)力鋼桁架進(jìn)行計(jì)算分析，驗(yàn)證本文方法的有效性和可靠性。

1 單索的非線性分析

單索的分析是索結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)，而無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)是單索分析的關(guān)鍵因素。目前，單索的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)主要通過近似計(jì)算得到。本節(jié)基于索曲線方程推導(dǎo)了無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的解析表達(dá)式。

索本身具有一定的特性，本文采用以下的基本假定：1)拉索在彈性階段工作，并滿足虎克定律；2)索具有理想柔性，只能受拉，無(wú)抗壓、抗彎剛度。

圖1為沿索曲線分布的均布荷載q作用下的單索簡(jiǎn)圖，y軸與q方向相同。其中TA和TB是端點(diǎn)A 和B的索力；HA、VA、HB和VB是x和y方向上相應(yīng)的索端力分量。懸鏈線索曲線方程如下[20]：

其中：H=HA=HB為索的水平張力；l為索終點(diǎn)與起點(diǎn)x坐標(biāo)的差值；c為索終點(diǎn)與起點(diǎn)y坐標(biāo)的差值。

圖1 沿索曲線的均布荷載作用下的單索Fig.1 Cable under uniformly distributed load along the curve

索力T和水平張力H之間的關(guān)系為：

式中：

將式(6)代入式(5)，再代入式(4)，可以得到索力T與坐標(biāo)x的關(guān)系式，將A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入該關(guān)系式，即可得到TA、TB的表達(dá)式。

式中：E、A分別是索的彈性模量、橫截面積；ε 和ε?分別為總應(yīng)變和溫度應(yīng)變；α?為線膨脹系數(shù)；Δ?為溫度變化量，升溫為正，降溫為負(fù)。

式(11)可以被改寫為：

將式(4)～式(6)、式(9)代入式(12)，積分可以得到設(shè)計(jì)溫度下的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的解析表達(dá)式：

通過以上分析，得到了以水平張力為變量的單索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的解析表達(dá)式。式(13)可用于計(jì)算給定水平張力下的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)，給定無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)時(shí)同理可得水平張力，只要給定上述兩個(gè)參數(shù)之一便可確定單索構(gòu)型。

2 考慮摩擦的滑移索結(jié)構(gòu)的理論解

為了直觀評(píng)價(jià)數(shù)值方法的精度，保證理論解的可靠性，本文的方法選擇在平面內(nèi)建立。

2.1 自重下的多跨連續(xù)索的解析方程組

圖2為N跨連續(xù)滑移索的示意圖，各跨索曲線由第1節(jié)的公式描述。本文不考慮滑輪體積，將滑輪簡(jiǎn)化成一個(gè)點(diǎn)。圖2中除第一個(gè)和最后一個(gè)點(diǎn)外，所有點(diǎn)都是可滑動(dòng)的。第i跨(i=1, 2,3,···,N)的受力如圖3所示。

對(duì)于溫度荷載下的索滑移，由于ITUL特性在當(dāng)前溫度下更加合理，將設(shè)計(jì)溫度的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)換算至當(dāng)前溫度下，再根據(jù)本節(jié)的方法求解：

式中：s?是當(dāng)前溫度下的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)，即式(13)取Δ?為0；q?為當(dāng)前溫度下的荷載。

因此以下公式不含溫度相關(guān)的參數(shù)。另外，以下公式中，上標(biāo)“t”代表滑動(dòng)平衡狀態(tài)。

基于ITUL特性，可以得到滑移前后總無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)不變方程

圖2 多跨連續(xù)滑移索示意圖Fig.2 Diagram of multi-span continuous sliding cable

圖3 第i 跨索的受力圖Fig.3 Mechanical diagram of the span i

摩擦力的方向由張拉或者后期荷載的行為決定。為了進(jìn)一步在計(jì)算中考慮摩擦方向，在式(17)中引入符號(hào)函數(shù)ρ：

式中：i和i-1為相鄰的兩跨編號(hào)；(i)為滑移點(diǎn)編號(hào)。

對(duì)于自重下的N跨連續(xù)滑移索結(jié)構(gòu)，存在由式(16)和式(23)組成的N元解析方程組。通過求解N個(gè)未知數(shù)(各跨水平張力Hit)的方程組，可以得到各跨在滑移平衡狀態(tài)下的水平張力，進(jìn)而可以根據(jù)第1節(jié)得到各跨索的其他參數(shù)。

2.2 集中荷載下的多跨連續(xù)索的解析方程組

為了給工程中帶集中力的索滑移問題提供可靠的理論方法進(jìn)行支撐，本節(jié)基于解析法建立相應(yīng)的多元方程組。當(dāng)受集中力的連續(xù)索在支點(diǎn)處滑移時(shí)，與滑移點(diǎn)相連索段的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)也為變量，因此2.1節(jié)的自重下多跨連續(xù)索的方程組需要被進(jìn)一步拓展。由于集中力的參與，2.1節(jié)的ITUL只在滑移點(diǎn)兩側(cè)索段成立，不再包含全部索段。N跨連續(xù)索的示意圖仍為圖2，區(qū)別在于內(nèi)部索段的受力，其中第i跨索的受力圖示見圖4。

圖4 受集中力的連續(xù)索中跨i 索段的受力圖Fig.4 Mechanical diagram of the span i under concentrated loads

2.3 索桿滑移結(jié)構(gòu)的解析方程組

2.1節(jié)和2.2節(jié)都不考慮滑輪中心設(shè)置在桿系上，只考慮連續(xù)索本身，這種做法只能滿足部分工程結(jié)構(gòu)，比如塔架剛度較大的纜索吊裝系統(tǒng)、索道、起重機(jī)、海上升降機(jī)等。對(duì)于工程中的張弦桁架、張拉穹頂?shù)然扑鹘Y(jié)構(gòu)[21]，往往需要考慮桿件對(duì)結(jié)構(gòu)整體的貢獻(xiàn)，這時(shí)候就需要加入桿件的參數(shù)和變形協(xié)調(diào)方程。

索桿滑移結(jié)構(gòu)如圖5所示，連續(xù)索搭接在桿件上形成整體，共同受力和變形。受集中力的多跨連續(xù)索的方程組已在2.2節(jié)給出，無(wú)集中力作用時(shí)，退化為2.1節(jié)的方程組。由于加入了桿件，需要在2.2節(jié)的基礎(chǔ)上增加桿件的變量和方程。對(duì)于索桿滑移結(jié)構(gòu)，連續(xù)索的變形方程同式(24)～式(30)。增加桿件的端點(diǎn)坐標(biāo)變量(Xk,Yk)共2n個(gè)(n為桿件節(jié)點(diǎn)數(shù)，k=1,2,···,n)，桿件的軸力變量Tj共p個(gè)(p為桿件節(jié)點(diǎn)數(shù)，j=1,2,···,p)。每根桿件變形前后可根據(jù)定義建立p個(gè)變形協(xié)調(diào)方程[19]：

式中：Xba=Xb-Xa,Yba=Yb-Ya(注：索節(jié)點(diǎn)也有此等式)；下標(biāo)“b”和“a”代表?xiàng)U件的兩個(gè)端點(diǎn)號(hào)；Et、At分別為桿件的彈性模量和橫截面積；lt0為桿件的原長(zhǎng)。

在桿件的端點(diǎn)處受力平衡，可以建立2n個(gè)方程(下式為矢量形式)：

圖5 索桿滑移結(jié)構(gòu)Fig.5 Sliding cable-supported truss

另外，注意到引入桿件端點(diǎn)坐標(biāo)變量后，2.2節(jié)式中的Li和Ci可能受到其影響，不再為常數(shù)。此時(shí)Li和Ci由(Xk,Yk)替換式(26)和式(27)中的相應(yīng)端點(diǎn)坐標(biāo)表示。

2.2節(jié)的式(24)～式(30)和本節(jié)的式(31)和式(32)組成了索桿滑移結(jié)構(gòu)的基本方程組。由于新增的式(31)～式(32)的數(shù)量與新增變量數(shù)相等，方程組閉合。

2.4 解析方程組的求解技術(shù)

對(duì)于非線性方程組的求解，現(xiàn)有數(shù)學(xué)方法已經(jīng)比較成熟，精度可以定量控制。本文采用Newton-Raphson 迭代求解方程組。另外，也可使用MATLAB自帶的方程組求解函數(shù)fsolve 等直接求解非線性方程組。

對(duì)于平面索桿滑移結(jié)構(gòu)的方程組，將變量寫為列向量形式X=[HslcXYT]T。注意到自重下的多跨連續(xù)索只包含上述X中的第一項(xiàng)，集中力下的多跨連續(xù)索只包含前4項(xiàng)。將方程組改寫為函數(shù)形式F(X)，使用Newton-Raphson 迭代法求解非線性方程組，需要相應(yīng)的Jacobi 矩陣，可根據(jù)定義推導(dǎo)。方程組形式統(tǒng)一，Jacobi 矩陣F′(X)形式簡(jiǎn)潔，為了方便，也可直接使用MATLAB 的jacobian函數(shù)直接推導(dǎo)。利用下式進(jìn)行迭代：

式中，n為迭代次數(shù)。

迭代時(shí)，以X增量的二范數(shù)作為精度的控制參數(shù)。由于各個(gè)方程組和變量的明確性和統(tǒng)一性，本文的理論計(jì)算方法與文獻(xiàn)[19]同理，可以編制通用分析程序。與通用有限元軟件類似，在可視化界面定義索段、坐標(biāo)等信息后，由軟件自動(dòng)形成方程組，并分析求解。

3 算例分析與討論

3.1 兩跨滑移索結(jié)構(gòu)

一個(gè)兩跨滑移索結(jié)構(gòu)如圖6所示。在結(jié)構(gòu)中，索只能在點(diǎn)(2)處滑動(dòng)。跨1和跨2的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)分別為8.02 m 和12.02 m。索的彈性模量E為170 GPa，橫截面積A為67.4 mm2。兩跨均承受沿索曲線的均布荷載q=0.2 kN/m。本例不考慮滑移點(diǎn)處的摩擦力，求該結(jié)構(gòu)的滑移平衡態(tài)。

圖6 兩跨滑移索結(jié)構(gòu) /m Fig.6 Two-span sliding cablestructure

根據(jù)本文方法，編制了MATLAB 程序，得到滑動(dòng)平衡狀態(tài)下該結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果如表1所示。表1也給出了唐建民和卓家壽[18]兩跨理論解和其他數(shù)值模擬方法的結(jié)果。其中，Liu 等[22]的方法基于直線索單元；而聶建國(guó)等[13]和Cai 等[15]基于懸鏈線索單元；俞鋒等[9]利用的是有限質(zhì)點(diǎn)法。

文獻(xiàn)[18]理論解與本文的誤差主要是其對(duì)單索幾何非線性分析的近似處理。結(jié)果表明，聶建國(guó)等[13]和Cai 等[15]的數(shù)值方法具有較高的精度，而Liu 等[22]的方法的精度相對(duì)較低。這主要是由于Liu 等[22]的方法利用桿單元代替懸鏈線單元，與索實(shí)際構(gòu)型不同。Cai 等[15]的方法中，采用無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)的高精度近似算法，造成了與本文方法很小的誤差。相比文獻(xiàn)[9,22]的數(shù)十個(gè)直線單元，本文只需要三個(gè)變量和方程組，省去了索內(nèi)部單元?jiǎng)澐值牟襟E。此外，由于每跨的對(duì)稱性，各跨左右兩端的張力應(yīng)該相等。表1的結(jié)果表明，本文和Cai等[15]的方法計(jì)算的結(jié)果均滿足這一點(diǎn)。

表1 兩跨滑移索結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculated results of the two-span sliding cables

3.2 三跨滑移索結(jié)構(gòu)

圖7為三跨滑移索結(jié)構(gòu)，其中點(diǎn)(1)和點(diǎn)(4)是錨固點(diǎn)，連續(xù)索可以在點(diǎn)(2)和點(diǎn)(3)處滑動(dòng)。索的橫截面積、彈性模量、自重q均同例3.1?？?、跨2和跨3的無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)分別為8.26 m、12.52 m 和16.64 m。本例中考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r，假定兩個(gè)滑移點(diǎn)處的摩擦系數(shù)μ1=μ2=0.1。索在點(diǎn)(1)左端張拉，由此可以確定摩擦力方向。

圖7 三跨滑移索結(jié)構(gòu) /m Fig.7 Three-span sliding cable structure

為了便于比較，表2首先給出了不考慮摩擦的三跨滑移索結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果。表2也列出了魏建東[14]和Cai 等[15]基于懸鏈線索單元和滑移剛度的有限元法的計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明，他們的兩者的計(jì)算結(jié)果與本文方法非常接近。這主要是因?yàn)樗麄兌际褂脩益溇€理論，并基于ITUL 特性。

表2 不考慮摩擦的三跨索結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculated results of the three-span sliding cables without considering friction

表3列出了該結(jié)構(gòu)考慮摩擦的滑動(dòng)平衡狀態(tài)下的計(jì)算結(jié)果。對(duì)比表2和表3，得出考慮摩擦后，第一跨的左端張力增大了5.4%，且連續(xù)索索力變得更不均勻。表3也給出了有限質(zhì)點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與其他方法有明顯不同，這是由于它不考慮張拉引起摩擦力方向改變引起的。在文獻(xiàn)[10]中，說(shuō)明了摩擦力作為非保守力，其對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響與加載路徑有關(guān)，滑移索分析應(yīng)準(zhǔn)確考慮施工過程。因此，摩擦對(duì)滑移索結(jié)構(gòu)的內(nèi)力峰值和分布有明顯影響，實(shí)際工程中應(yīng)根據(jù)施工準(zhǔn)確考慮。

表 3考慮摩擦的三跨索結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果Table3 Calculated results of the three-span sliding cablesconsidering friction

3.3 纜索吊裝系統(tǒng)模擬

宜賓小南門金沙江大橋施工的纜索吊裝系統(tǒng)的簡(jiǎn)圖如圖8所示。該結(jié)構(gòu)的主纜在兩個(gè)塔架頂部可以滑動(dòng)。主纜的彈性模量75.6 GPa，橫截面積33.73 cm2，自重31.716 kg/m。設(shè)計(jì)起吊重量為40 t，包含吊具重6 t。設(shè)計(jì)的最大垂度23.42 m，最大索力1470 kN。文獻(xiàn)[16]采用兩個(gè)三節(jié)點(diǎn)滑移單元近似模擬了該結(jié)構(gòu)。已知吊具安裝后位于跨中，吊點(diǎn)垂度16.047 m。現(xiàn)有文獻(xiàn)未考慮接觸摩擦，本文考慮摩擦?xí)r，兩個(gè)摩擦系數(shù)均取0.2。

圖8 纜索吊裝系統(tǒng)/m Fig.8 Cablelifting system

纜索吊裝系統(tǒng)通常已知吊具安裝后吊點(diǎn)的垂度，而非無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。對(duì)于有限元法[16]，只能通過假設(shè)，反復(fù)試算得到設(shè)計(jì)參數(shù)。而本文的理論方法可直接求解方程組，準(zhǔn)確得到。本文2.2節(jié)的方程組中，由于索的參數(shù)l、c全部已知，方程組剩下式(24)、式(25)、式(28)、式(30)中的8個(gè)方程，變量為8個(gè)各索段水平張力及其無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)。求解方程組，迭代4次收斂。表4給出了本文和文獻(xiàn)[16]吊具安裝后的狀態(tài)參數(shù)?？紤]摩擦?xí)r，由于吊重較大，兩個(gè)邊跨向中跨滑動(dòng)，由此可確定摩擦力方向。由表4可知本文與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果較接近；考慮摩擦與不考慮摩擦的靜力響應(yīng)差別較大。

表4 纜索吊裝系統(tǒng)吊具安裝后的狀態(tài)參數(shù)Table4 Parametersof cablelifting system afterinstallation of the spreader

圖9和圖10分別為左錨固點(diǎn)索力與吊點(diǎn)位置的關(guān)系。由圖可知，本文和文獻(xiàn)[16]的結(jié)果高度一致，文獻(xiàn)[16]的精度較高；摩擦對(duì)索力的影響較大，對(duì)垂度的影響較小，實(shí)際工程應(yīng)準(zhǔn)確考慮。

3.4 平行式預(yù)應(yīng)力鋼桁架模擬

圖9 左錨固點(diǎn)索力與吊點(diǎn)位置的關(guān)系Fig.9 The relationship between cable forces at the left anchoring point and location of thelifting point

圖10 吊點(diǎn)垂度與吊點(diǎn)位置的關(guān)系Fig.10 Therelationship between sagsof the lifting point and itslocation

平行式預(yù)應(yīng)力鋼桁架由兩片平面結(jié)構(gòu)組成，計(jì)算時(shí)取一側(cè)的平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行，如圖11所示。桿件采用箱形截面，面積為46.79 cm2，彈性模量為200 GPa，鋼材重度為78.5 kN/m3。下部由一根連續(xù)拉索施加預(yù)應(yīng)力，拉索橫截面積為9.186 cm2，彈性模量為170 GPa，自重荷載為80 N/m。施工時(shí)，在左錨固點(diǎn)左側(cè)張拉，張拉完成后在每個(gè)上弦節(jié)點(diǎn)施加豎直向下20 kN 的后期荷載，參考文獻(xiàn)[14]，兩個(gè)滑移點(diǎn)的摩擦系數(shù)取0.4。

圖11 預(yù)應(yīng)力鋼桁架/m Fig.11 Prestressed steel truss

圖12和圖13分別為索力與上弦中心上拱量隨張拉力變化的關(guān)系圖。由圖可知，隨著張拉力的增大，索力與上拱量均呈增大趨勢(shì)；本文的結(jié)果與文獻(xiàn)[14]高度吻合。后期荷載作用后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)如表5 所示。由表可知，文獻(xiàn)[14]的內(nèi)力和位移響應(yīng)均略大于本文的計(jì)算結(jié)果，但其精度較高。此外，通過該復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模擬，發(fā)現(xiàn)本文方法對(duì)迭代初值依賴很低。迭代十次左右即可達(dá)到0.000 01%的迭代精度。因此，可以得出：本文的理論解分析索桿滑移結(jié)構(gòu)時(shí)，準(zhǔn)確可靠、效率較高，能給有限元方法提供精度評(píng)價(jià)。

圖12 索力與張拉力的關(guān)系Fig.12 The relationship between cable forces and tensile force

圖13 上弦中心上拱量與張拉力的關(guān)系Fig.13 The relationship between cambers on the center of the top chordsand tensile force

表5 后期荷載作用后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Table 5 Structural responses under service loads

4 結(jié)論

本文基于懸鏈線理論、Euler 摩擦公式，采用解析法建立了滑移索結(jié)構(gòu)的解析方程組。利用精度可以定量控制的Newton-Raphson 迭代求解方程組，通過編程對(duì)算例進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明：

(1)本文建立的考慮溫度效應(yīng)的單索無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)解析式只包含水平張力一個(gè)變量，方便用于索結(jié)構(gòu)分析理論的建立。以該解析式為核心建立的滑移索結(jié)構(gòu)的理論解合理可行。

(2)本文建立的自重、集中荷載下的多跨連續(xù)索結(jié)構(gòu)和索桿滑移結(jié)構(gòu)的解析方程組形式統(tǒng)一，變量意義明確，易于編程。

(3)摩擦對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)力峰值有明顯的影響，使得內(nèi)力分布更不均勻，實(shí)際工程中應(yīng)根據(jù)施工方案在結(jié)構(gòu)分析時(shí)準(zhǔn)確計(jì)入摩擦。

(4)本文的理論計(jì)算方法克服了數(shù)值模擬方法的誤差及一般解析法的局限性，計(jì)算精度高，具有較好的適應(yīng)性和可靠性，可為索支承橋及預(yù)應(yīng)力張拉結(jié)構(gòu)等的滑移問題分析提供理論依據(jù)。