電動舵機極限環(huán)機理分析和抑制措施

周志明,林 凡,姚曉先,宋曉東

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)

0 引 言

舵機作為導(dǎo)彈上的執(zhí)行機構(gòu),通過跟蹤制導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)出的制導(dǎo)指令來調(diào)整舵片位置,從而改變導(dǎo)彈姿態(tài)和過載,控制導(dǎo)彈飛行。電動舵機作為一種比例式舵機,具有良好的伺服跟蹤性能,廣泛應(yīng)用于各類型導(dǎo)彈上。

目前,國內(nèi)外一般將舵機模型簡化為二階系統(tǒng)[1-4],其中不僅未考慮舵機傳動過程中的摩擦作用,也沒有考慮傳動機構(gòu)的非線性因素。為更精確地描述舵機真實的狀態(tài),更多學(xué)者對舵機模型中諸如控制死區(qū)、傳動間隙、摩擦力等因素進(jìn)行考慮,建立了更接近舵機實際狀態(tài)的模型[5-8]。

舵機間隙屬于典型的機械傳動間隙,針對機械傳動過程中的間隙,Nordin[9]等系統(tǒng)地闡述了不同的建模方法以及多種線性和非線性控制策略。針對傳統(tǒng)間隙補償方法,Dean[10]等人通過實驗表明間隙逆模型補償方法容易導(dǎo)致系統(tǒng)振顫。應(yīng)用狀態(tài)反饋極點配置的方法,Yang[11-12]等抑制了雙慣量伺服驅(qū)動系統(tǒng)中傳動間隙誘導(dǎo)的極限環(huán),但是難以同時保持系統(tǒng)的伺服性能。目前,對于間隙非線性的分析多采用基于描述函數(shù)法的思路[13-17]或者基于李雅普諾夫的分析方法[18-21]。其中,模型自適應(yīng)控制[22-25]和模型預(yù)測控制[26-28]研究更為廣泛,但是多為理論層面分析,實際系統(tǒng)中應(yīng)用較少。另外,工程上常采用多電機驅(qū)動消除間隙的影響,但是理論分析較少,針對多電機驅(qū)動系統(tǒng),控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和電機電壓控制等問題都有待進(jìn)一步深入研究[29-30]。

本文建立了電動舵機包含傳動間隙的非線性動力學(xué)模型,并且創(chuàng)新性地考慮了減速器剛度模型,提出了一種在工程上易于實踐的負(fù)反饋力矩的方法,分析了該負(fù)反饋力矩對系統(tǒng)性能的影響,給出了該反饋系數(shù)的選取準(zhǔn)則,并且仿真驗證了該方法可以在保證不影響舵機伺服性能的情況下有效地抑制極限環(huán)的產(chǎn)生,對工程實踐具有一定的指導(dǎo)意義。

1 電動舵機模型

一般的電動舵機傳動結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 電動舵機傳動結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of electric actuator

電動舵機的工作原理是電機在控制器的控制下,帶動減速器,驅(qū)動舵片旋轉(zhuǎn),反饋電位計將舵片位置反饋給控制器。舵機傳動過程中,減速器并非一個剛度無限大的傳動結(jié)構(gòu),而是電機帶動減速器轉(zhuǎn)動,發(fā)生形變從而對舵片施加相應(yīng)的傳動力矩。由于減速器一般為金屬制作,剛度很大,產(chǎn)生的形變角相對于舵機系統(tǒng)需要相應(yīng)的跟蹤指令來說,可以忽略不計。但是對于一個有傳動間隙的舵機系統(tǒng)來說,考慮減速器剛度有助于分離舵片的受力,從而便于分析舵機在傳動非線性下的運動模態(tài)。針對傳統(tǒng)的舵機建模未考慮減速器剛度和舵片所受摩擦力的問題,本文建立如下模型。

電機的轉(zhuǎn)矩方程為

(1)

式中,Jm為電機轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量;φ為電機轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角;Te為電機的電磁驅(qū)動力矩;Ts為減速器形變產(chǎn)生的負(fù)載力矩。舵片的轉(zhuǎn)矩方程為

(2)

式中,Jl為舵片轉(zhuǎn)動慣量;δ為舵偏角;k為舵片摩擦力矩系數(shù),這里認(rèn)為在一定的小角度范圍內(nèi)，舵片所受的阻力力矩與舵片的運動速度成正比。減速器形變產(chǎn)生的扭矩方程為

Ts=Ks(φ-Nδ)

(3)

式中,Ks式為減速器等效剛度;N為減速器的傳動比。電機的電壓方程為

(4)

式中,U為輸入電壓;L為電感;R為電阻;E為反電動勢,反電動勢可以表示為

(5)

式中,Ke為反電動勢系數(shù)。忽略電感和動態(tài)過程,電機的驅(qū)動力矩和電流成正比,其可表示為

Te=KmI

(6)

綜合以上各式可以得出

(7)

式中,

B(s)=(JmRs2+KeKms)(Jls2+ks+KsN2)+KsR(Jls2+ks)

當(dāng)不考慮舵片摩擦力,即k=0,且減速器剛度足夠大時,式(7)可以化簡為

(8)

式(8)即是文獻(xiàn)[2-4]中所采用的舵機模型,當(dāng)考慮舵片摩擦力和減速器剛度時,系統(tǒng)傳遞函數(shù)變?yōu)樗碾A?？紤]舵機系統(tǒng)常用的PD控制器及傳動中的間隙，用死區(qū)模型來分析舵機傳動中的間隙。將所有的間隙都等效到減速器輸出端到舵片之間,舵機的傳動結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 舵機傳動結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of actuator’s transmission structure

圖3 簡化的舵機結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of simplified actuator

其中,

θs為減速器形變扭轉(zhuǎn)角;θd為減速器末端與舵片的差分角,當(dāng)滿足θd=φ-Nδ≥b時,傳動齒輪和負(fù)載舵片處于正向嚙合,電機帶動舵片正向運動,當(dāng)滿足θd=φ-Nδ≤-b時,傳動齒輪和負(fù)載舵片處于負(fù)向嚙合,電機帶動舵片負(fù)向運動。圖3中N(A)為死區(qū)非線性的描述函數(shù)：

(9)

式中,A為輸入信號幅值;2b為死區(qū)大小。線性部分的傳遞函數(shù)為

G2(s)=(Kp+Kds)Gp(s)H(s)

(10)

2 極限環(huán)求解

根據(jù)極限環(huán)存在性定理,假設(shè)本文中的舵機模型存在極限環(huán)振蕩,則應(yīng)該有

(11)

注意到死區(qū)的描述函數(shù)是關(guān)于輸入幅值A(chǔ)的單值函數(shù),值域是實數(shù),所以其負(fù)倒描述函數(shù)的圖像必定位于實軸上。假設(shè)系統(tǒng)存在極限環(huán),則極限環(huán)的頻率必定使得線性部分的傳遞函數(shù)的虛部為零。即

ImG2(jω)=0

(12)

不考慮舵片摩擦力時,即k=0時,可解得

(13)

ReG2(jω)<-1

(14)

可求得

(15)

式中,

當(dāng)考慮舵片所受摩擦力,即k≠0時,類似前述方法,假設(shè)存在極限環(huán),忽略微分系數(shù)的影響,可求得極限環(huán)振蕩頻率為

(16)

將所求的交點頻率代回實部,并且求解ReG2(jω)<-1成立的條件,其解析表達(dá)式過于冗長復(fù)雜,無法從中提取信息來分析系統(tǒng)極限環(huán)存在條件。但是通過分析和數(shù)值仿真可知,相比于不考慮舵片所受摩擦力的模型,考慮摩擦力作用的模型相當(dāng)于系統(tǒng)添加了額外的阻尼作用,該阻尼作用可以一定程度上可抑制極限環(huán)的產(chǎn)生。但是由于摩擦力一般較小,其阻尼作用有限,所以在較大的控制系數(shù)下,系統(tǒng)依然會產(chǎn)生極限環(huán)振蕩。然而過小的控制系數(shù)會導(dǎo)致伺服系統(tǒng)跟蹤性能變差,并且出現(xiàn)嚴(yán)重的“平頂”現(xiàn)象。

3 極限環(huán)的抑制措施

本文提出一種負(fù)反饋力矩方法來抑制傳動間隙的影響。在舵片上添加一個負(fù)反饋力矩,其大小正比于舵偏角,即

Tf=-fδ

(17)

工程上可以在圖1中減速器與舵片的連接處加裝一個緊固發(fā)條,或者在舵片兩側(cè)各加裝一個彈簧,并且連接到舵機殼體上,由于舵機指令通常較小,可近似認(rèn)為舵片偏轉(zhuǎn)后產(chǎn)生的回零力矩與偏轉(zhuǎn)角度成正比。因此,舵片的轉(zhuǎn)矩方程變?yōu)?/p>

(18)

(19)

特征根為

(20)

在引入力矩負(fù)反饋后,不僅改變了舵機在間隙區(qū)間的運動狀態(tài),也改變了舵機系統(tǒng)的增益和零極點。引入反饋后,從舵片輸出到指令的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(21)

式中,

A(s)=KsNKm(Kds+Kp)
B(s)=(Jls2+ks+f+KsN2)(JmRs2+KmKes)+
KsR(Jls2+ks+f)+KsNKm(Kds+Kp)

當(dāng)f=0時,不管系統(tǒng)的控制參數(shù)取值如何,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益為1。當(dāng)f≠0時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益變?yōu)?/p>

(22)

可以看出,隨著f增大,系統(tǒng)的靜差增大,為保證伺服系統(tǒng)的跟蹤性能,f有一個上限值,實際舵機系統(tǒng)中,可取f使得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差小于3%。可以看到,引入的力矩負(fù)反饋對系統(tǒng)零點沒有影響,對系統(tǒng)極點也基本沒有影響,從而保證了系統(tǒng)的伺服跟蹤性能。然而,要保證負(fù)反饋力矩作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于摩擦力作用,需要在量級上滿足f?k,這就需要在抑制振蕩和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)增益之間取折中。

4 仿真驗證

本文以某型小型電動舵機為例,仿真時使用的參數(shù)如表1所示。仿真中沒有考慮反饋電位計測量噪聲。先驗證本文預(yù)測的極限環(huán)的準(zhǔn)確性,采用simulink搭建圖1中仿真模型,不考慮舵片摩擦力,令Kd=0,設(shè)置不同的比例參數(shù),在給定參考信號下觀察舵偏角輸出響應(yīng)如圖4所示。對上述舵機響應(yīng)進(jìn)行快速傅里葉變換,進(jìn)行頻譜分析可得,當(dāng)Kp=10時,舵機響應(yīng)包含頻率為1 Hz的基波和頻率為47.6 Hz的諧波,當(dāng)Kp=40時,舵機響應(yīng)包含頻率為1 Hz的基波和頻率為101.5 Hz的諧波。其中1 Hz信號為舵機所響應(yīng)的指令信號,高頻諧波為傳動間隙引起的極限環(huán)振蕩。由式(13)所預(yù)測的極限環(huán)頻率分別為57.4 Hz和114.9 Hz,與實際仿真結(jié)果有一定的偏差。這是由于描述函數(shù)法本身就是一種近似方法,用非線性環(huán)節(jié)對輸入信號響應(yīng)的一次諧波近似代替其真實響應(yīng),但是對于工程上預(yù)測和避免極限環(huán)振蕩依然具有指導(dǎo)意義。考慮舵片所受摩擦力情況下,令k=0.001 Nm·s/rad,Kd=0,設(shè)置不同的比例參數(shù),在給定的參考信號下觀察舵偏角輸出響應(yīng)如圖5所示。當(dāng)Kp=20時,可以看到,系統(tǒng)沒有產(chǎn)生振蕩,但是出現(xiàn)了“平頂”現(xiàn)象,原因在第3節(jié)已有闡述。另外,較小的控制參數(shù)導(dǎo)致舵機的跟蹤性能下降,相位滯后明顯。為減小平頂?shù)膶挾群蜁r間,提高比例系數(shù)至Kp=200?？梢钥吹?系統(tǒng)出現(xiàn)了極限環(huán)振蕩,通過快速傅里葉分析可得其振蕩頻率為74 Hz,通過式(16)求得的極限環(huán)頻率為94 Hz。

表1 仿真參數(shù)表Table 1 Parameter used in the simulation

圖4 不同比例系數(shù)下舵機響應(yīng)Fig.4 Response of the actuator under different coefficients

圖5 考慮摩擦力下不同比例系數(shù)舵機響應(yīng)Fig.5 Response of the actuator under different coefficients with the friction considered

與圖5對比,在Kp=200時引入力矩負(fù)反饋,在保證系統(tǒng)靜差3%的條件下,取f=0.2 N·m/rad,觀察舵機輸出以及減速器和舵片的差分角如圖6所示。

圖6 引入負(fù)反饋后的舵機響應(yīng)和差分角的變化Fig.6 Response of the actuator and the differential angle under the feedback moment

可以看到,在引入力矩負(fù)反饋后,系統(tǒng)沒有產(chǎn)生極限環(huán)振蕩,與第3節(jié)分析吻合。當(dāng)舵片穿越零位時,由于反饋力矩的方向改變,舵片運動進(jìn)入間隙,并且迅速穩(wěn)定。從舵片與減速器差分角θd可以看出,舵片與減速器始終一側(cè)嚙合,當(dāng)穿越間隙時,由于負(fù)反饋力矩的存在,舵片以較大的速度快速穿越間隙,嚙合上另一側(cè)。由于負(fù)反饋力矩的作用,舵片無法到達(dá)指令峰值,但是通過合理的選取反饋系數(shù)可以使得該靜差在可接受的范圍內(nèi)。

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了包含傳動間隙的電動舵機模型,分析了系統(tǒng)存在極限環(huán)的條件,并且給出了極限環(huán)振蕩的頻率和幅值特性。分析表明,在沒有摩擦力影響情況下,系統(tǒng)極限環(huán)的頻率與比例系數(shù)的二分之一次方成正比。系統(tǒng)中的摩擦力對極限環(huán)有抑制作用,分析和仿真結(jié)果解釋了實際舵機系統(tǒng)測試過程中出現(xiàn)“平頂”現(xiàn)象的原因。

引入負(fù)反饋力矩機制后,有效地抑制了系統(tǒng)極限環(huán)振蕩。分析和仿真結(jié)果表明,負(fù)反饋力矩使得舵片與減速器之間的差分角迅速切換并且穩(wěn)定,使得舵片與減速器平穩(wěn)地穿過間隙,從而抑制了極限環(huán)振蕩。負(fù)反饋力矩系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的有一定的影響,給出了系數(shù)選取準(zhǔn)則。