基于圖Laplacian的多機(jī)編隊(duì)目標(biāo)跟蹤方法

張 毅,方國(guó)偉,楊秀霞

(1.海軍航空大學(xué)航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264001;2.海軍航空大學(xué)岸防兵學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264001)

0 引 言

無人機(jī)(unmanned aerial vehicle,UAV)已日漸成為現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中十分重要的裝備[1]。UAV被應(yīng)用于執(zhí)行一些特殊任務(wù),其中對(duì)地面或海面目標(biāo)進(jìn)行跟蹤就是一項(xiàng)重要任務(wù)[2-4]。然而由于UAV自身機(jī)載傳感器的限制和戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境的復(fù)雜性,使得單架UAV的任務(wù)執(zhí)行能力有限。因此,研究多無人機(jī)(multiple unmanned aerial vehicles,UAVs)協(xié)同執(zhí)行任務(wù)成為了當(dāng)前的熱門問題。

對(duì)于UAVs協(xié)同目標(biāo)跟蹤問題,前期許多學(xué)者通過矢量場(chǎng)導(dǎo)引各UAV到預(yù)定軌道的方式實(shí)現(xiàn)了UAVs協(xié)同目標(biāo)跟蹤[5-7]。這種方法首先利用矢量場(chǎng)導(dǎo)引UAVs至目標(biāo)周圍的圓上,再控制各UAV間的相位差,實(shí)現(xiàn)UAVs對(duì)目標(biāo)的協(xié)同跟蹤。但該方法存在各UAV間的相位協(xié)同時(shí)間長(zhǎng),且對(duì)于跟蹤目標(biāo)速度有較大限制的問題。文獻(xiàn)[6]更是明確指出被跟蹤目標(biāo)不得超過UAV速度的30%,當(dāng)目標(biāo)速度超過UAV速度30%時(shí),就會(huì)導(dǎo)致UAV無法跟蹤目標(biāo),顯然這種情況無法滿足實(shí)際的作戰(zhàn)需求。針對(duì)上述問題,更多的學(xué)者將目光投向了通過編隊(duì)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤的方法,以克服矢量場(chǎng)導(dǎo)引方法的弊端[8-11]。

當(dāng)前對(duì)于編隊(duì)控制的研究主要有領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者法[12-13]、虛擬結(jié)構(gòu)法[14-15]、人工勢(shì)場(chǎng)法[16-17]、基于行為法[18]以及一致性編隊(duì)控制法[19-20]。無論采用何種編隊(duì)控制思想,其根本目的都是使UAV編隊(duì)能夠生成并保持預(yù)期的編隊(duì)隊(duì)形進(jìn)行飛行。然而在面對(duì)復(fù)雜作戰(zhàn)環(huán)境以及不同任務(wù)條件時(shí),編隊(duì)往往需要處于時(shí)變的狀態(tài),即動(dòng)態(tài)編隊(duì)狀態(tài),以應(yīng)對(duì)在飛行環(huán)境發(fā)生變化時(shí)能夠視情況改變隊(duì)形。因此,設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的編隊(duì)控制器是保證UAV執(zhí)行任務(wù)的關(guān)鍵。參照當(dāng)前多智能體控制的研究現(xiàn)狀,關(guān)于如何確定特定的編隊(duì)隊(duì)形主要有4種方法:基于絕對(duì)位置[21]、相對(duì)位置[22]、UAV間的距離[23]以及UAV間的方位[24]?？梢园l(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的4種確定編隊(duì)形狀的方法在旋轉(zhuǎn)、平移和縮放3種簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)下,編隊(duì)的隊(duì)形并非是不變的。例如，基于UAV間距離的編隊(duì)隊(duì)形控制方法,在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與平移運(yùn)動(dòng)下編隊(duì)隊(duì)形是不變的,但是在縮放運(yùn)動(dòng)下并不是不變的,因此編隊(duì)隊(duì)形控制的方法也是本文的一個(gè)重要內(nèi)容。

文獻(xiàn)[25]基于領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者編隊(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了編隊(duì)目標(biāo)跟蹤制導(dǎo)律,通過設(shè)計(jì)領(lǐng)導(dǎo)者UAV的制導(dǎo)律,使得UAV編隊(duì)實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的跟蹤,并克服了對(duì)被跟蹤目標(biāo)的速度限制。然而其雖實(shí)現(xiàn)了UAV間的相位協(xié)同,但各UAV僅僅與領(lǐng)導(dǎo)者UAV間相位協(xié)同,而非與目標(biāo)間的相位協(xié)同,因此并不能達(dá)到對(duì)目標(biāo)協(xié)同跟蹤的目的。

綜上所述,固定翼UAV編隊(duì)協(xié)同目標(biāo)跟蹤的難點(diǎn)主要在于:① 如何在跟蹤目標(biāo)初期,在UAV滿足飛行約束的情況下,設(shè)計(jì)一種能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)態(tài)編隊(duì)飛行的控制方法,并使其具有更強(qiáng)的魯棒性,以保證在遇到不同的飛行條件時(shí),編隊(duì)隊(duì)形可精確變換;② 如何使UAV編隊(duì)在目標(biāo)跟蹤過程中,實(shí)現(xiàn)UAV均勻分布在目標(biāo)周圍進(jìn)行協(xié)同跟蹤,使跟蹤效果更佳;③ 如何克服對(duì)跟蹤目標(biāo)速度的限制。

本文采用基于UAV 3種運(yùn)動(dòng)方式的編隊(duì)生成策略,提出了一種可隨時(shí)間變化的UAV編隊(duì)動(dòng)態(tài)目標(biāo)跟蹤方法。首先在雙積分模型的基礎(chǔ)上,提出一種以旋轉(zhuǎn)、平移和縮放3種運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的UAV編隊(duì)控制方法,設(shè)計(jì)了生成UAV編隊(duì)的控制律,并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性證明;其次將編隊(duì)控制的思想轉(zhuǎn)化到UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤問題上,使各UAV能夠保持相位協(xié)同并對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤;最后通過仿真,驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤算法的有效性。

1 問題描述

1.1 UAV模型建立

本文主要研究二維平面上的UAVs編隊(duì)目標(biāo)跟蹤問題。設(shè)計(jì)UAVs二維質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型為

(1)

為便于下文分析,此處將式(1)簡(jiǎn)化表述為

(2)

式中,pi=[xi,yi]T;ui(t)=[uix,uiy]T。

1.2 圖論相關(guān)概念

定義有向圖G=(V,ε),其中V為頂點(diǎn)的集合,ε為邊的集合。若有向圖的邊(i,j)∈ε,則表示i能夠傳輸信息至j,且稱i是j的鄰居,兩者是鄰接的。i的鄰居集合可表示為Ni={j:(i,j)∈ε,j∈V,i≠j}。定義鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N,其中aij代表邊(i,j)的權(quán)值,且

(3)

在有向圖G中,分別定義頂點(diǎn)i的權(quán)值入度為

(4)

定義有向圖G的Laplacian矩陣L∈RN×N為

L=[lij]=D-A

(5)

式中,D=diag{d1,d2,…,dN}∈RN×N為權(quán)值入度矩陣。

考慮到本文所建立的UAV模型中,UAV的狀態(tài)是二維的,進(jìn)一步定義鄰接矩陣A=(Aij)∈RnN×nN,其中Aij=aijOij;Oij∈SO(2);SO(2)表示單位正交矩陣,定義為{Q∈Rn×n:det(Q)=1}。

2 編隊(duì)控制方法

2.1 基于3種運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)控制方法

若要實(shí)現(xiàn)UAV編隊(duì)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,首先需要對(duì)UAV編隊(duì)的形成進(jìn)行研究。為更好地描述UAV編隊(duì)的控制問題,本文引入了兩架虛擬UAV,作為UAV編隊(duì)的參考量與基準(zhǔn)量,分別記作UAVl和UAVb,定義UAVl的動(dòng)態(tài)模型為

(6)

式中,pl=(xl,yl)T表示UAVl的位置;vl和ul分別為UAVl的速度與控制輸入。

定義UAVb的動(dòng)態(tài)模型為

(7)

需要注意的是,與UAVl不同,此處UAVb為編隊(duì)的基準(zhǔn)量,非實(shí)際意義的UAV,ub為預(yù)定參數(shù),pb和vb受ub的控制,pb和vb在此處分別代表基準(zhǔn)向量和基準(zhǔn)變化向量,而不作為UAVb的位置與速度量。

假設(shè) 1UAVl和UAVb均至少存在一條到達(dá)所有UAVi的有向信息流,且各UAV之間關(guān)于UAVl和UAVb的信息傳遞是相同的，如圖1所示。

圖1 編隊(duì)通信拓?fù)涫疽鈭DFig.1 Formation communications topology

本文放棄采用以各UAV相對(duì)位置或相對(duì)方位的方法對(duì)編隊(duì)隊(duì)形進(jìn)行描述,提出一種基于平移、縮放和旋轉(zhuǎn)3種基本運(yùn)動(dòng)的編隊(duì)控制方法。

為使UAV編隊(duì)隊(duì)形可以被唯一表示,此處構(gòu)造編隊(duì)參數(shù)組為

(pl(t),pb(t),r1(t),R1(t),r2(t)，R2(t),…,rN(t),RN(t))

(8)

式中,UAVi的平移運(yùn)動(dòng)由pl控制;縮放運(yùn)動(dòng)由縮放因子ri控制,且ri∈R,ri>0;旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)由旋轉(zhuǎn)因子Ri控制,且Ri∈SO(2)。在3種運(yùn)動(dòng)中,UAV編隊(duì)隊(duì)形主要取決于ri與Ri控制,而編隊(duì)移動(dòng)主要取決于pl控制。為了簡(jiǎn)化表達(dá),設(shè)編隊(duì)因子為

Ci(t)=ri(t)Ri(t),i∈Θ

(9)

此時(shí),式(8)可變換為

(pl(t),pb(t),C1(t),C2(t),…,CN(t))

(10)

以下給出基于3種運(yùn)動(dòng)的UAV編隊(duì)控制問題的具體定義。

定義 1對(duì)于任意的初始狀態(tài),若滿足:

(11)

則稱通過式(10)實(shí)現(xiàn)了對(duì)UAV編隊(duì)隊(duì)形的控制。

本文考慮的縮放運(yùn)動(dòng)是UAVi以pb為基準(zhǔn),通過縮放因子ri進(jìn)行控制;而旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是指UAVi以pb為軸,旋轉(zhuǎn)一定的角度,這也是將UAVb作為編隊(duì)基準(zhǔn)的原因。除此之外,定義1描述的是剛性編隊(duì),UAV編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)取決于pl,可將其UAVl視作編隊(duì)的虛擬長(zhǎng)機(jī)。

為了更清晰地闡明定義1中所表述的控制意義,利用圖2所示的編隊(duì)控制示意圖進(jìn)行具體說明。

圖2 編隊(duì)控制示意圖Fig.2 Formation control schematic

設(shè)編隊(duì)的UAV數(shù)量N=4,采用圖1所示的編隊(duì)間通信拓?fù)潢P(guān)系?？紤]pl是時(shí)變的,

顯然,Ri∈SO(2)是滿足條件的。此處設(shè)θ(t)=0,即pb=[0,1]T,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)pb確定后,編隊(duì)中所有UAV將會(huì)沿著pb逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度θi,到達(dá)各自位置,說明UAV編隊(duì)的隊(duì)形可由式(10)控制形成。同時(shí)也說明,pb是可以時(shí)變的。

從這個(gè)例子中可以發(fā)現(xiàn),即使pl是時(shí)變的,但pl并未對(duì)UAV編隊(duì)的隊(duì)形變化產(chǎn)生任何影響,而僅作為整個(gè)UAV編隊(duì)的中心位置,控制編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。同時(shí),更改pb的值對(duì)于編隊(duì)隊(duì)形的形狀也不會(huì)產(chǎn)生影響,僅會(huì)導(dǎo)致編隊(duì)相對(duì)于空間的位置發(fā)生變化。因此,UAVl與UAVb并不會(huì)對(duì)UAV編隊(duì)隊(duì)形產(chǎn)生影響。

如若考慮動(dòng)態(tài)編隊(duì)隊(duì)形,則需控制Ri與ri為時(shí)變的,即控制θi與ri為時(shí)變的,ri的變化將使得UAVi與UAVl間的相對(duì)距離發(fā)生變化,即使得編隊(duì)隊(duì)形大小發(fā)生變化。

2.2 編隊(duì)控制律設(shè)計(jì)

為了令編隊(duì)能夠在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)隊(duì)形,以下給出一種基于圖Laplacian方法的編隊(duì)控制律。

考慮到編隊(duì)控制主要取決于編隊(duì)中各UAV位置pi和速度vi,為此分別設(shè)計(jì)速度與位置控制律:

(12)

(13)

則UAV編隊(duì)控制律為

ui=upi+uv i=χi-

(14)

此處在假設(shè)UAVl與UAVb均明確自身信息的前提下,給出估計(jì)值的狀態(tài)更新律:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

式中,?為Kroneckr積；Ml=L′+l;Mb=L′+

結(jié)合式(20)和式(21),可得式(16)～式(20)的表達(dá)形式:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

式中,

給出定理1前,介紹本文所應(yīng)用到的相關(guān)引理,便于后續(xù)證明。

引理 1[26]在假設(shè)1成立的前提下,滿足:①M(fèi)k,k∈{l,b}是非奇異的;②Mk的所有特征根均有正實(shí)部;③M-1存在且為非負(fù)的;④ 存在正對(duì)角矩陣Q=[q1,q2,…,qN],使得QMk+(QMk)T是正定的且為嚴(yán)格對(duì)角的。

引理 2[27]考慮二次多項(xiàng)式

f(λ)=λ2+a1λ+a2

(27)

式中,a1與a2均為復(fù)數(shù),則使f(λ)=0的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部,當(dāng)且僅當(dāng)滿足:

(28)

定理 1對(duì)于任意的

(29)

證明對(duì)于式(23),選取Lyapunov函數(shù)

(30)

對(duì)V1求導(dǎo)可得

(31)

顯然,存在正實(shí)數(shù)T1>0,使得t>T1時(shí),el=0。

取T0=max{T1,T2,T3,T4},即存在T0>0,對(duì)于t>T0,el=ep=ev=eb=0。

證畢

將式(14)代入式(2),可得

(32)

式中,

M0=L+b?I2

C=diag{C1,C2,…,CN}

定理 2基于假設(shè)1和定理1,若滿足:

(33)

(34)

(35)

Al的特征多項(xiàng)式為

(36)

(37)

由于A為時(shí)變的,因此式(37)為線性時(shí)變系統(tǒng)。由文獻(xiàn)[28]可知,當(dāng)t≥T0時(shí),

綜上所述,式(14)可精準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)編隊(duì)隊(duì)形的控制。

證畢

值得注意的是,k1和k2數(shù)值大小的選擇不僅與系統(tǒng)穩(wěn)定性相關(guān)(滿足式(33)的要求),而且與UAV編隊(duì)的收斂速度也密切相關(guān)。

3 基于編隊(duì)控制的目標(biāo)跟蹤算法

基于第2節(jié)編隊(duì)隊(duì)形控制的思想,本節(jié)對(duì)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤問題進(jìn)研究。

3.1 編隊(duì)目標(biāo)跟蹤模型

當(dāng)前按照UAV跟蹤目標(biāo)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方式,主要將跟蹤方式分為Standoff跟蹤[5,29]與Persistent跟蹤[30]。其中Persistent跟蹤是使被跟蹤對(duì)象持續(xù)保持在UAV傳感器的有效觀測(cè)范圍內(nèi)的一種方式;Standoff跟蹤是UAV在目標(biāo)周圍保持定距盤旋跟蹤的一種方式。兩種跟蹤方式主要區(qū)別在于是否存在盤旋運(yùn)動(dòng)。

從第2節(jié)的分析中可知,通過引入兩架虛擬UAVl與UAVb的概念,對(duì)編隊(duì)控制設(shè)立了參考量與基準(zhǔn)量,實(shí)現(xiàn)了對(duì)編隊(duì)隊(duì)形控制。UAVl作為整個(gè)編隊(duì)的領(lǐng)導(dǎo)者,決定了整個(gè)編隊(duì)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),UAVb作為基準(zhǔn)者,充當(dāng)了整個(gè)編隊(duì)隊(duì)形控制的基準(zhǔn)量。

基于第2節(jié)的編隊(duì)控制思想,本節(jié)通過考慮以UAVl模擬追蹤目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的方法,同時(shí)保留編隊(duì)基準(zhǔn)UAVb,最終形成以目標(biāo)為中心的編隊(duì)跟蹤方法,從而將UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤問題轉(zhuǎn)換為以目標(biāo)為中心的UAV編隊(duì)隊(duì)形控制問題。UAVl模擬追蹤目標(biāo)運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示,為了更好地說明問題,此處以目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行描述,UAVl以

為運(yùn)動(dòng)方向不斷逼近目標(biāo),在時(shí)刻4追蹤上目標(biāo),之后保持與目標(biāo)同步運(yùn)動(dòng)。

圖3 UAVl模擬目標(biāo)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.3 UAVl simulates target motion

本文研究的是固定翼UAV編隊(duì)對(duì)目標(biāo)的跟蹤問題,但由于固定翼UAV不同于旋翼UAV,其在飛行速度以及轉(zhuǎn)彎半徑上具有明確的約束,如下所示：

(38)

因此就必須要考慮到UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤期間的飛行情況[31]。其中,‖vmin‖、‖vmax‖、‖rmin‖分別代表固定翼UAV飛行速度的上下約束范圍以及最小飛行轉(zhuǎn)彎半徑。

為了實(shí)現(xiàn)UAV對(duì)目標(biāo)的持續(xù)跟蹤,在考慮UAV與目標(biāo)飛行速度vt關(guān)系的前提下,以下主要從UAV飛行速度約束層面,分兩種情況對(duì)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤問題進(jìn)行了研究。

3.2 不同目標(biāo)速度下的模型分析

3.2.1 ‖vt‖<‖vmin‖

為避免失速墜毀,UAV飛行速度不得小于最小飛行速度‖vmin‖。然而當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度‖vt‖<‖vmin‖時(shí),此時(shí)若只考慮以時(shí)不變的UAV編隊(duì)隊(duì)形對(duì)目標(biāo)實(shí)施跟蹤,則UAV只能通過降低飛行速度‖vi‖保持跟蹤,但這將可能導(dǎo)致UAV的失速墜毀。

針對(duì)這種情況,結(jié)合Standoff跟蹤與編隊(duì)控制方法,提出一種基于編隊(duì)旋轉(zhuǎn)因子Ci的UAV編隊(duì)Standoff跟蹤新方法。

考慮Standoff跟蹤要求UAV與目標(biāo)間保持一定的距離rs,并需在目標(biāo)周圍做持續(xù)盤旋運(yùn)動(dòng),將這個(gè)問題轉(zhuǎn)換為UAV編隊(duì)隊(duì)形控制問題式(11)上,即對(duì)編隊(duì)因子Ci(t)進(jìn)行討論,根據(jù)式(9)分別對(duì)縮放因子ri(t)與旋轉(zhuǎn)因子Ri(t)進(jìn)行討論。

對(duì)于ri(t)而言,其大小決定了編隊(duì)隊(duì)形的大小。在編隊(duì)控制中，ri(t)控制了UAVi與UAVl的距離,而在此處ri(t)的大小決定了UAVi與目標(biāo)間的距離rs的大小,考慮到rs是個(gè)定值,因此,此處僅考慮ri(t)為一個(gè)常值,即

ri(t)=rs/‖pb‖

(39)

由于‖vt‖<‖vmin‖,因此UAV需要在目標(biāo)周圍進(jìn)行盤旋運(yùn)動(dòng)以保證UAV在不失速的前提下能夠?qū)δ繕?biāo)進(jìn)行持續(xù)跟蹤。而對(duì)于Ri(t)而言,它控制了UAVi相對(duì)UAVb的旋轉(zhuǎn)角度,而在Standoff跟蹤問題上,UAV需要圍繞著目標(biāo)進(jìn)行盤旋飛行,因此必須考慮Ri(t)為時(shí)變的,即θi(t)為時(shí)變的,此處令

(40)

式中,θi(t)=ωi(t-t0)+θ0i;ωi為UAVi的旋轉(zhuǎn)角速度;θ0i為盤旋飛行前的角度;t0為盤旋運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻。由于UAVi在目標(biāo)周圍保持勻速的圓周盤旋運(yùn)動(dòng),因此這里考慮ωi為常值,使得θi(t)隨時(shí)間線性變化,從而控制UAVi的盤旋運(yùn)動(dòng)是勻速的。

在UAV對(duì)目標(biāo)進(jìn)行Standoff跟蹤期間,UAV主要包含對(duì)目標(biāo)的盤旋運(yùn)動(dòng)與對(duì)目標(biāo)的跟蹤兩個(gè)方面,因而考慮UAVi的速度為

(41)

為了保證‖vi‖≥‖vmin‖,則旋轉(zhuǎn)角速度需滿足

(42)

在式(10)的作用下,UAV編隊(duì)可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的Standoff跟蹤。

3.2.2 ‖vt‖≥‖vmin‖

當(dāng)‖vmin‖≤‖vt‖≤‖vmax‖時(shí),UAV對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤期間無需降低飛行速度,且‖vt‖在UAV速度約束范圍內(nèi),此時(shí)設(shè)定UAV對(duì)目標(biāo)跟蹤期間僅保持編隊(duì)飛行,不再進(jìn)行盤旋運(yùn)動(dòng),即此時(shí)僅需考慮UAV編隊(duì)Persistent跟蹤即可。

以下基于式(9)對(duì)編隊(duì)因子Ci進(jìn)行討論。在‖vt‖≥‖vmin‖的情況下,對(duì)于縮放因子ri(t)而言,僅需滿足:

0

(43)

式中,rc為UAV間的有效通信距離,即僅需保證UAV通信要求,ri(t)的取值不受過多約束。

與‖vt‖<‖vmin‖情況不同,一是由于編隊(duì)不再需要在目標(biāo)周圍繼續(xù)做盤旋運(yùn)動(dòng),因而考慮旋轉(zhuǎn)因子Ri(t)可以保持時(shí)不變狀態(tài),即θi∈R;二是考慮到編隊(duì)中各UAV需保持均勻的相位,以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的協(xié)同跟蹤,因此需要對(duì)各UAV的Ri進(jìn)行前期約定,此處設(shè)定式(40)中的θi(t)為

(44)

即各架UAV均勻地保持在目標(biāo)周圍的圓形軌道上,實(shí)現(xiàn)協(xié)同目標(biāo)跟蹤。

值得注意的是,對(duì)于‖vt‖≥‖vmin‖的情況,實(shí)際上與編隊(duì)隊(duì)形控制無異,均是以時(shí)不變的編隊(duì)隊(duì)形實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的持續(xù)跟蹤。在式(10)的作用下,UAV編隊(duì)可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的Persistent跟蹤。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提的編隊(duì)控制方法和目標(biāo)協(xié)同跟蹤算法設(shè)計(jì)的合理性與有效性,本節(jié)令N=4,即利用4架UAV組成的編隊(duì)為例,對(duì)在兩種不同目標(biāo)速度vt下的編隊(duì)跟蹤問題進(jìn)行仿真驗(yàn)證,同時(shí)對(duì)不同取值的k1和k2對(duì)UAV編隊(duì)性能影響進(jìn)行仿真驗(yàn)證,以及對(duì)文獻(xiàn)[6]的方法與本文所提的方法進(jìn)行仿真對(duì)比。

仿真之初,對(duì)UAV與目標(biāo)的初始狀態(tài)進(jìn)行設(shè)定。設(shè)定UAV的最小飛行速度為6 m/s,令4架UAV初始位置分別為(-500,0) m、(0,500) m、(0,-500) m和(500,0) m;初始速度vi為[20,0]Tm/s;UAVl的初始位置為4架UAV位置的中心點(diǎn),速度為[20,0]Tm/s;目標(biāo)初始位置為(200,200) m。同時(shí)設(shè)系統(tǒng)參數(shù)k1=3;k2=2;k3=k4=k5=k6=1;α1=α2=α3=α4=0.5;ri=200,i∈Θ;旋轉(zhuǎn)因子R中參數(shù)θ=[π,π/2,3π/2,0];pb=[0,1]T。

4.1 情況1:‖vt‖<‖vmin‖時(shí)編隊(duì)目標(biāo)跟蹤

設(shè)定目標(biāo)速度vt為[4,4]Tm/s,由式(42)可得最小旋轉(zhuǎn)角速度ωi=1/150 rad/s?！瑅t‖<‖vmin‖時(shí)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤如圖4所示。

圖4 ‖vt‖<‖vmin‖時(shí)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤Fig.4 Target tracking when ‖vt‖<‖vmin‖

圖4(a)展現(xiàn)了4架UAV從各自位置出發(fā),在追蹤目標(biāo)的過程中生成圓形編隊(duì),隨后保持編隊(duì)飛行狀態(tài)對(duì)目標(biāo)實(shí)施追蹤,在UAV編隊(duì)追蹤到目標(biāo)后,由于目標(biāo)速度‖vt‖未達(dá)到固定翼UAV最小飛行速度‖vmin‖,因此UAV編隊(duì)在目標(biāo)周圍保持定距Standoff跟蹤。圖4(b)為UAV編隊(duì)生成前后的誤差ei=pi-pl-Cipb的圖像,從圖中可以發(fā)現(xiàn),約在10.8 s時(shí)編隊(duì)誤差趨于0,這是UAV間已形成預(yù)期的編隊(duì)狀態(tài);在19.7 s時(shí)誤差曲線出現(xiàn)小幅抖動(dòng),但在24.4 s時(shí)誤差重新趨于0,這是由于在19.7 s時(shí),UAV編隊(duì)已跟蹤上目標(biāo),但由于目標(biāo)速度較小使得UAV的速度不得不進(jìn)行調(diào)整,這個(gè)誤差是由于速度變化導(dǎo)致的,在24.4 s時(shí)UAV編隊(duì)完成速度調(diào)整,誤差重新為0。

4.2 情況2:‖vt‖≥‖vmin‖時(shí)編隊(duì)目標(biāo)跟蹤

設(shè)定目標(biāo)速度vt為[10,10]Tm/s,‖vt‖≥‖vmin‖時(shí)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤如圖5所示。

圖5 ‖vt‖≥‖vmin‖時(shí)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤Fig.5 Target tracking when ‖vt‖≥‖vmin‖

圖5(a)展現(xiàn)了4架UAV以編隊(duì)狀態(tài)對(duì)目標(biāo)實(shí)施跟蹤的軌跡,由于目標(biāo)速度‖vt‖大于固定翼UAV最小飛行速度‖vmin‖,因此UAV編隊(duì)無需在目標(biāo)周圍進(jìn)行盤旋飛行,僅需在目標(biāo)周圍保持相位對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。圖5(b)為UAV編隊(duì)的誤差‖ei‖圖像,同‖vt‖<‖vmin‖一致,在10.8 s時(shí),UAV間形成預(yù)期的編隊(duì)隊(duì)形,編隊(duì)誤差趨于0;在48.3 s時(shí)誤差曲線出現(xiàn)小幅抖動(dòng),但在52.4 s時(shí)誤差重新趨于0,這種情況同樣是因?yàn)閁AV的速度調(diào)整導(dǎo)致的。

4.3 不同k1和k2的影響

為了驗(yàn)證本文所提方法對(duì)于機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤效果以及不同數(shù)值的k1和k2選擇對(duì)編隊(duì)收斂速度的影響。此處令目標(biāo)初始速度為[6,6]Tm/s;加速度為[4 cost,4 sint]Tm/s2;選擇兩組k1和k2參數(shù)值,分別為3和2,以及6和8,即令增加倍數(shù)κ為1.5;其余參數(shù)不變。

圖6展示了在k1和k2取不同數(shù)值時(shí)UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤的情況,圖6中，虛線為k1=3和k2=2時(shí)的仿真曲線,實(shí)線為k1=6和k2=8時(shí)的仿真曲線。從圖6(a)可以看出,在兩組參數(shù)下,UAV編隊(duì)均實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤。從圖6(b)可以看出，兩組參數(shù)下的編隊(duì)誤差曲線變化,顯然,在其他條件不變的情況,可以發(fā)現(xiàn)實(shí)線的收斂速度要快于虛線部分,也就是說增大k1和k2的數(shù)值將加快UAV編隊(duì)的收斂速度,也驗(yàn)證了前文中對(duì)k1和k2數(shù)值大小的分析。

圖6 不同k1和k2仿真對(duì)比圖Fig.6 Comparison of different k1 and k2

4.4 仿真對(duì)比

圖7 本文方法仿真結(jié)果圖Fig.7 Simulation results of this method

比較圖7與圖8的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):① 由于文獻(xiàn)[6]方法的局限性,使得UAV飛行速度被削減,導(dǎo)致跟蹤上目標(biāo)的時(shí)刻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于本文所給出的方法;② 本文的方法保證了UAVs相位快速協(xié)同,當(dāng)編隊(duì)跟蹤上目標(biāo)時(shí)就滿足了相位協(xié)同的要求;而通過圖5(b)和圖8(c)可以發(fā)現(xiàn),文獻(xiàn)[6]則是在各UAV均跟蹤上目標(biāo)后,在Standoff跟蹤圓上進(jìn)行相位調(diào)整,導(dǎo)致實(shí)現(xiàn)UAVs對(duì)目標(biāo)協(xié)同跟蹤的整個(gè)過程耗時(shí)長(zhǎng)。

圖8 文獻(xiàn)[6]方法仿真結(jié)果圖Fig.8 Simulation results in method of [6]

綜上分析可以得出:本文所提方法主要在兩個(gè)方面表現(xiàn)出算法的優(yōu)越性,一是滿足了UAVs組成編隊(duì)進(jìn)行飛行的同時(shí),各架UAV均能以目標(biāo)為中心,實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的協(xié)同跟蹤觀測(cè);二是本文算法實(shí)現(xiàn)了協(xié)同跟蹤速度快,用時(shí)短的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)和縮放3種基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)形態(tài),基于圖Laplacian方法提出一種分布式固定翼UAV編隊(duì)目標(biāo)跟蹤的方法。首先,基于3種運(yùn)動(dòng)形態(tài)提出一種由兩架虛擬引導(dǎo)UAV的編隊(duì)控制方法,通過設(shè)計(jì)UAV運(yùn)動(dòng)參數(shù)組來實(shí)現(xiàn)所需的特定編隊(duì)隊(duì)形,該方法能夠滿足動(dòng)態(tài)編隊(duì)隊(duì)形變化需求,實(shí)際價(jià)值大。其次,通過考慮編隊(duì)隊(duì)形參數(shù)組的變化,結(jié)合UAV飛行約束條件,將編隊(duì)控制方法應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤問題,成功克服了UAVs協(xié)同目標(biāo)跟蹤帶來的協(xié)同時(shí)間長(zhǎng)和跟蹤目標(biāo)速度受限的問題,并改善了UAV編隊(duì)對(duì)目標(biāo)的相位協(xié)同性問題。最后,通過仿真證實(shí)了本文方法的有效性和優(yōu)勢(shì)。值得一提的是,本文方法不僅能夠應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤,同時(shí)也能夠應(yīng)用于編隊(duì)避障、隊(duì)形重構(gòu)等問題,拓展研究?jī)r(jià)值大。

同時(shí),本文在設(shè)計(jì)控制律的過程中假定UAV間信息傳輸不存在時(shí)間延遲的問題,因此下一步將考慮在時(shí)延情況下的UAV編隊(duì)跟蹤問題。