應用極端原理解決與圓有關的中考最值問題

浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛(wèi)兵 (郵編：315100)

應用極端原理解決與圓有關的中考最值問題

浙江省寧波市鄞州實驗中學 蔡衛(wèi)兵 (郵編：315100)

中考壓軸題中頻繁出現有關最值問題，常讓很多同學束手無策，望而生畏.其實與圓有關的中考最值問題大多由動點而產生，找出動點(相應動線)的極端位置，常常能確定最值.因為許多事物的性質和矛盾,最容易在其臨界情況和極端狀態(tài)下體現和暴露出來,所以在解決數學問題時,常常利用極端、臨界的元素為"突破口",進行探索、推理論證,使"變動"轉化為"確定",從而分散問題的難點使問題得到解決.2014年各地的中考試題有許多將圓的知識與最值問題綜合起來考查，我們可以采取“謀定而后動”的策略，把問題引向極端，考察“特殊位置”、“特殊圖形”，進而簡化解題，提高解題速度.本文試圖通過幾道中考壓軸題介紹極端性原理在解與圓有關的中考最值問題中的具體運用，供參考.

1 “連心線與圓的交點”為“到圓上動點距離之最值”的極端位置

例1 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是______.

例2 在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動．連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P也隨之運動，若AD=2，試求出線段CP的最小值.

例3 如圖∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為______.

2 “弧的中點”為“圓上動點到定線距離之最值”的極端位置

例4 如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是______．

解析 過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連結OA、OB、DA、DB、EA、EB，如上圖.

∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，∴當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運動到D點，N點運動到E點，

例5 如圖，已知在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，P在過A、E、D三點的圓上，則△APE面積的最大值是______.

解析 設圓心為O，由垂徑定理得，點P在AE的垂直平分線上時，點P到AE的距離最大，△APE面積的最大，過點E作EF⊥AD于F，連接AO.設圓的半徑為r，

∵點E是BC的中點，∴BE=4，

在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2， 即r2=42+(8-r)2， 解得r=5.

3 “切線切點”為“有關角度之最值”的極端位置

例7 我們規(guī)定：線段外一點和這條線段兩個端點連線所構成的角叫做這個點對這條線段的視角.如圖 ，在平面直角坐標系xOy中，已知點D(0，4)，E(0，1).點G為x軸正半軸上的一個動點，當點G對線段DE的視角∠DGE最大時，求點G的坐標.

圖1

圖2 圖3

(1)當⊙O的半徑為1時，①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是______；

②過點F作直線交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P(m，n)是⊙O的關聯點，求m的取值范圍；

(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

解析 (1) ①D、E；

∴若P點為圓C的關聯點；則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；

由上述證明可知，考慮臨界位置的P點，如圖2：點P到原點的距離OP=2×1=2；

易得點P1與點G重合，過P2作P2M⊥x軸于點M，易得∠P2OM=30°，

4 “直徑為圓中最長弦”為“有關線段之最值”的極端情形

例9 如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為______．

例10 如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上的兩個動點(點C、D與點A、B不重合)，在運動過程中弦CD長始終保持不變，M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P．若CD=3，AB=5，PM=l，則l的最大值是______．

綜上所述，解決圓有關的中考最值問題，若能靈活地利用常見的極端、臨界的元素為“突破口”，便有簡潔、明快的解題效果.

2015-03-25)