例談抽象函數(shù)的周期性

江蘇省如皋中學(xué) 嚴(yán)循躍 (郵編：226500)

解題方法

例談抽象函數(shù)的周期性

江蘇省如皋中學(xué) 嚴(yán)循躍 (郵編：226500)

抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．其作為初等數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)的銜接點，既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，又能體現(xiàn)新課標(biāo)對知識和技能考核的要求，特別受到高考的青睞．由于抽象函數(shù)具有概念抽象、構(gòu)思新穎、隱蔽性強(qiáng)、靈活性大、綜合程度高等特點．而函數(shù)的周期性是一類特殊函數(shù)的一個重要性質(zhì)，特別是抽象函數(shù)的周期性問題，在學(xué)習(xí)中不少學(xué)生倍感困惑．下面舉例介紹幾種解決抽象函數(shù)的周期性問題，力求使抽象函數(shù)周期問題的求解有“法”可依．

1 定義法

函數(shù)的周期性定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期．

即對?x∈R，都有f(x+2a)=f(x)成立．所以f(x)為周期函數(shù)，且2a是它的一個周期．

注 如果題設(shè)函數(shù)方程中只有一邊含有不為零的常數(shù)a，另一邊與a無關(guān)，這時周期T應(yīng)取決于a，假設(shè)T能被a整除，就分別試算f(x+2a)、f(x+3a)、f(x+4a)、…、當(dāng)出現(xiàn)f(x+T)=f(x)(T≠0)的形式時，就可知T是f(x)的周期．

2 變量代換法

對于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變元較多的數(shù)學(xué)問題 ，引入一些新的變量進(jìn)行代換，以簡化其結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到解決問題的目的這種方法叫做變量代換法.

例3 若函數(shù)f(x)定義域為R，且對于任意x都有f(5+x)=f(5-x)，f(7+x)=f(7-x)，試問f(x)是不是周期函數(shù)．若是，求出它的一個周期；若不是，說明理由．

解 在f(5+x)=f(5-x)中以5-x代x得f(x)=f(10-x)

①

在f(7+x)=f(7-x)中以7-x代x得f(x)=f(14-x)

②

由①和②得f(10-x)=f(14-x)，以10-x代x得f(x+4)=f(x)．所以f(x)為周期函數(shù)，且4是它的一個周期．

(1)證明：g(x)∈M;

分析 對(2)考慮以下兩點：①由g(x)是周期為6的周期函數(shù)，猜測f(x)也是周期為6的周期函數(shù)；

由f(x)+f(x+2)=f(x+1)得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2)，從而

f(x)+f(x+2)+f(x+3)=f(x+2)，即f(x+3)=-f(x)，

3 特殊值法

通過設(shè)題中某個未知量為特殊值，從而通過簡單的運算，得出最終答案的一種方法．若問題的選擇對象是針對一般情況給出的，則可選擇合適的特殊數(shù)、特殊點、特殊數(shù)列、特殊圖形等對結(jié)論加以檢驗，從而做出正確判斷．對于有情況討論的題目，可以代入相應(yīng)的特殊值，結(jié)合排除法進(jìn)行.這個特殊值必須滿足三個條件：首先，無論這個量的值是多少，對最終結(jié)果所要求的量的值沒有影響；其次，這個量應(yīng)該要跟最終結(jié)果所要求的量有相對緊密的聯(lián)系；最后，這個量在整個題干中給出的等量關(guān)系是一個不可或缺的量．

所以令x1=x+π,x2=x，則有

因此可得f(x)是周期函數(shù)且有一個周期為2π．

4 遞推法

遞推法，就是根據(jù)題目的特點，構(gòu)造出遞推關(guān)系解題的一種方法，解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造遞推關(guān)系．

解 由題可知

f(x+2)=f(x+4)+f(x)

①

以x+2代換上式x得

f(x+4)=f(x+6)+f(x+2)

②

5 結(jié)構(gòu)類比法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常會有“似曾相識”的感覺，而且在不同分支、不同領(lǐng)域中會感到某種類似的成份．如果我們把這些類似進(jìn)行比較，加以聯(lián)想的話可能出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法，這種把類似進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學(xué)對象已知特殊性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個對象的性質(zhì)的方法就是類比法．它不僅是一種以特殊到特殊的推理方法，也是一種尋求解題思路，猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法．

分析 因涉及周期函數(shù)，可聯(lián)想到三角中的和差化積公式

因此可得f(x)是周期函數(shù)且有一個周期為2π．

6 公式法

例8 已知y=f(x)(x∈R)的圖象是連續(xù)的曲線，且f(x)不為常數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b對稱(a

⑴求證：f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x);

⑵求證：f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一個正周期．

從而f(x)=f(x+2b-2a)，因為a0且為常數(shù)．所以f(x)是周期函數(shù)，2b-2a為它的一個正周期．

一般地，若函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=a和直線x=b對稱(a

2015-04-09)