挖掘一道“華約”自主招生題的含義

江蘇省鹽城市教育局教科院 吳 彤 (郵編：224000)

挖掘一道“華約”自主招生題的含義

江蘇省鹽城市教育局教科院 吳 彤 (郵編：224000)

1 試題呈現(xiàn)

該試題取材于高中生都熟悉的“五局三勝制”，然而它不落俗套，提出了概率差的函數(shù)問(wèn)題，具有較強(qiáng)的實(shí)際意義，本文將結(jié)合這道試題的解答與結(jié)論，力求透視出試題所隱含的深層意義.2 解題與反思

3 歸納與猜想

為了便于敘述，我們把采用只比賽一局、三局兩勝制、五局三勝制、…、甲獲勝的概率依次記為f1(p)、f3(p)、f5(p)、…、f2n-1(p)(n∈N*)，容易得到：

……

∴f3(p)-f1(p)=3p2-2p3-p=2p2-2p3+p2-p=p(1-p)(2p-1)，

∴f5(p)-f3(p)=6p5-15p4+12p3-3p2=3p2(2p3-2p2-3p2+3p+p-1)

=3p2(1-p)2(2p-1)，

歸納猜想 甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)比賽，已知甲贏一局的概率為p，如果采用只比賽一局、三局兩勝制、五局三勝制、…、甲獲勝的概率依次記為f1(p)、f3(p)、f5(p)、…、f2n-1(p)(n∈N*). 那么

4 猜想的論證

該猜想就是要證明f2n-1(p)(n∈N*)的單調(diào)性，因而只要能求出f2n+1(p)-f2n-1(p)的正負(fù)即完成證明，根據(jù)上文有：

注意到p與1-p的指數(shù)關(guān)系，筆者思考的是，不急于直接化簡(jiǎn)f2n+1(p)-f2n-1(p)，而是先求f2n+1(p)-pf2n-1(p)，則

即f2n+1(p)-pf2n-1(p)

于是f2n+1(p)-pf2n-1(p)

所以f2n+1(p)-pf2n-1(p)

即p[f2n+1(p)-f2n-1(p)]

該結(jié)論說(shuō)明甲、乙兩人進(jìn)行比賽，如果只比賽一局，甲贏的概率大(小)，那么增加比賽的局?jǐn)?shù)，甲贏的概率會(huì)更大(小)

2015-04-08)