函數(shù)奇偶性的逆向教學(xué)設(shè)計

張凡 董濤

函數(shù)奇偶性的學(xué)習(xí)與函數(shù)的概念、函數(shù)的其它性質(zhì)密切相關(guān)，同時也是后續(xù)學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)的一個關(guān)鍵知識點.逆向教學(xué)設(shè)計為函數(shù)奇偶性的教學(xué)提供了一種全新的教學(xué)設(shè)計模式，著重突出了學(xué)習(xí)目標(biāo)的可操作性，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實，促使教師聚焦數(shù)學(xué)基本問題.在實際教學(xué)中，我們通常習(xí)慣先入為主，從輸入端即教師開始思考教學(xué)目標(biāo)，而非從輸出端即學(xué)生開始思考學(xué)習(xí)目標(biāo).逆向教學(xué)設(shè)計則是一種以終為始，以學(xué)生的學(xué)為本，從學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)，逆向設(shè)計教學(xué)過程，在課堂中再正向?qū)嵤┑慕虒W(xué)模式.這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到關(guān)鍵的作用.

1逆向教學(xué)設(shè)計的實施過程

函數(shù)的奇偶性作為函數(shù)的一個特殊性質(zhì)，是函數(shù)概念與函數(shù)性質(zhì)的深化學(xué)習(xí).函數(shù)奇偶性逆向教學(xué)設(shè)計過程如下.

1.1確定預(yù)期效果

基于課程標(biāo)準(zhǔn)和核心素養(yǎng)的教學(xué)理念，結(jié)合高一學(xué)生的學(xué)情，確定如下目標(biāo)：（1）學(xué)生可以結(jié)合具體的函數(shù)了解奇偶性的含義;（2）學(xué)生運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)奇偶性，用符號表達(dá)奇偶性的定義.

學(xué)習(xí)目標(biāo)還需進(jìn)一步分解成具體的問題，以學(xué)習(xí)目標(biāo)為中心，問題為框架，從而幫助學(xué)生掌握重要內(nèi)容，實現(xiàn)對知識的遷移.例如函數(shù)的奇偶性教學(xué)中可以列出以下問題：（1）為什么要研究函數(shù)圖象的對稱性？（2）函數(shù)圖象的對稱性特征為什么要符號化？（3）圖象的對稱性如何轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)之間的關(guān)系？（4）如何用函數(shù)自身的語言刻畫這種對稱性？（5）如何一般性論證經(jīng)歸納概括所得的這一結(jié)論？（6）如何反向說明這一結(jié)論的逆命題也是成立的？

基于上述問題，進(jìn)一步預(yù)判學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，包括學(xué)生所能掌握的知識與技能，學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)的知識遷移以及最終養(yǎng)成的核心素養(yǎng).例如函數(shù)的奇偶性教學(xué)中可以列出以下預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果：（1）學(xué)生掌握函數(shù)的奇偶性這一性質(zhì)，理解用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)奇偶性的意義;（2）學(xué)生能類比研究偶函數(shù)的思想方法去研究奇函數(shù);（3）學(xué)生通過對函數(shù)的奇偶性的研究，掌握對函數(shù)性質(zhì)的研究方法;（4）學(xué)生能利用函數(shù)的奇偶性考查和解決實際問題.

1.2確定合適的評估證據(jù)

與傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計有別，逆向教學(xué)設(shè)計要求教師從一個“評估員”的角度進(jìn)行思考，而非直接考慮教學(xué).為了證明學(xué)生達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果，需要收集一些合適的評估證據(jù)，來表明學(xué)生已獲得了重要的知識與技能，實現(xiàn)了對知識的遷移.為此，在函數(shù)的奇偶性教學(xué)中設(shè)計了以下表現(xiàn)性任務(wù)：（1）觀察函數(shù)f（x）=x和g（x）=|x|的圖象，描述其共同特征;（2）結(jié)合圖、表，用自然語言描述圖象特征;（3）用符號語言定義偶函數(shù);（4）類比研究偶函數(shù)的思想方法給出奇函數(shù)的定義.

除了表現(xiàn)性任務(wù)，“證據(jù)集”還包括傳統(tǒng)的評估方式如：課堂對話（學(xué)生對每一個基本問題的及時反饋）、課堂探究（類比研究偶函數(shù)的思想方法研究奇函數(shù)）以及隨堂檢測（判斷函數(shù)的奇偶性、利用函數(shù)的奇偶性繪圖等）.

另一方面，學(xué)生的自我評價和反饋也很重要，學(xué)生不僅需要自評對函數(shù)奇偶性的理解，還需要互評對函數(shù)性質(zhì)的研究方法，讓學(xué)生及時反思自己的學(xué)習(xí)理解情況.

1.3設(shè)計學(xué)習(xí)體驗和教學(xué)

為了達(dá)到預(yù)期效果，該如何安排教與學(xué)的體驗來幫助學(xué)生獲得所需知識和技能？如何創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境引導(dǎo)學(xué)生的思維？基于逆向教學(xué)設(shè)計的模板，設(shè)計出函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵教學(xué)活動.

創(chuàng)設(shè)情境、引入概念

問題1 哪些函數(shù)圖象也具有對稱性？（討論過后幾何畫板展示f（x）=x和g（x）=|x|的圖象）.

設(shè)計意圖 喚醒學(xué)生的已有知識，在描述其共同特征的過程中引入“對稱”的概念，為后續(xù)教學(xué)提供感性材料.

新知探究、建構(gòu)概念

問題2 請同學(xué)們觀察函數(shù)h（x）=0.0000001x+1的圖象，能否從圖象上判斷出它是否為偶函數(shù)？（幾何畫板展示h（x）=0.0000001x+1的圖象）

追問 有沒有其他的判斷方法呢？

設(shè)計意圖 基于先前分解出的問題“函數(shù)圖象的對稱性特征為什么要符號化？”來設(shè)計這個問題，主要是為了引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會到利用圖象判斷函數(shù)的奇偶性雖然較為直觀方便，但有時候不夠精確.同時也啟發(fā)學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性概念的方法，從數(shù)與式的角度去解釋“對稱”這一特征.

問題3 對函數(shù)f（x）=x和g（x）=|x|，請同學(xué)們以小組的形式，通過列表的方法，觀察自變量的值與相應(yīng)函數(shù)值的規(guī)律.

設(shè)計意圖 圍繞問題“圖象的對稱性如何轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)之間的關(guān)系”，回歸學(xué)生熟悉的函數(shù)f（x）=x和g（x）=|x|，通過列表啟發(fā)學(xué)生得到對稱圖形的實質(zhì)是點的對稱，從而去研究對稱點的坐標(biāo).這一過程開辟了從定性研究到定量研究的大門，幫助學(xué)生將研究的視角從整體轉(zhuǎn)移到局部;同時讓學(xué)生體驗了由“形”到“數(shù)”的過程，鍛煉學(xué)生的直觀想象能力.

問題4 能否用函數(shù)自身的語言去刻畫這種對稱性呢？

設(shè)計意圖 由具體x的值和對應(yīng)的函數(shù)值，抽象出這種對稱性的符號表達(dá).由具體函數(shù)的特征分析抽象概括出一般函數(shù)的性質(zhì)定義.

即時鞏固、理解概念

問題5 請同學(xué)們思考兩個問題（PPT展示問題）

題1 對于定義在R上的函數(shù)f（x），請同學(xué)們判斷以下命題是否正確.

（1）若f（x）是偶函數(shù)，則f（1）=f（-1）;

（2）若f（2）=f（-1），則f（x）是偶函數(shù);

（3）若f（1）≠f（-1），則f（x）不是偶函數(shù).

題2 函數(shù)f（x）=x，x∈[-3，2]是偶函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖 題1主要是為了幫助學(xué)生加深對偶函數(shù)概念的理解，從正反兩面設(shè)計問題，利用邏輯的雙向性幫助學(xué)生辨析定義，深化認(rèn)識.題2主要是為了引導(dǎo)學(xué)生牢牢把握“定義域優(yōu)先”的要點，奇偶性是函數(shù)在它的定義域上的整體性質(zhì)，所以判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先明確它的定義域.

引導(dǎo)探究、深化概念

問題6 請同學(xué)們再次以小組的形式，類比剛剛的研究過程，觀察函數(shù)f（x）=x和g（x）=1/x（x≠0），嘗試用符號語言描述它們的共同特征.

設(shè)計意圖 類比研究偶函數(shù)的思想方法給出奇函數(shù)的定義，幫助學(xué)生發(fā)展邏輯思維能力與養(yǎng)成言必有據(jù)的科學(xué)態(tài)度.

學(xué)以致用、鞏固概念

問題7 判斷函數(shù)f（x）=x+x的奇偶性.圖2是函數(shù)f（x）=x+x圖象的一部分，你能根據(jù)f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？

設(shè)計意圖 幫助學(xué)生理解函數(shù)奇偶性定義的內(nèi)涵，考查學(xué)生是否把握奇（偶）函數(shù)圖象的性質(zhì).

總結(jié)反思、提升能力

問題8 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，如果已知y=f（x）為奇（偶）函數(shù)，那么我們怎樣簡化對它的研究？

設(shè)計意圖 回顧對函數(shù)的奇偶性的研究，組織學(xué)生討論對函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法，不僅可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)奇偶性的內(nèi)涵和外延，也可以使學(xué)生在總結(jié)的過程中有意識地思考所學(xué)知識在知識體系中的地位和作用.

2啟示

通過對函數(shù)奇偶性這節(jié)課逆向教學(xué)設(shè)計的研究與探索，我們可以發(fā)現(xiàn)，奇偶性概念蘊(yùn)含著“轉(zhuǎn)化思想”，本節(jié)課的教學(xué)重點是如何依靠思維的加工，把“形”的特征符號化、形式化，從而獲得“理性的抽象”.下面以WHERETO元素（見表1）作為活動編碼，談?wù)勀嫦蚪虒W(xué)設(shè)計的好處.

2.1教學(xué)設(shè)計的出發(fā)點從“教師中心”轉(zhuǎn)向“學(xué)生中心”

在逆向教學(xué)設(shè)計中，學(xué)生在學(xué)習(xí)開始前就有明確的學(xué)習(xí)方向與預(yù)期結(jié)果，即W.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，函數(shù)的奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)，它從對稱的角度對函數(shù)做了分類.如問題1的拋出，正是基于我們由學(xué)習(xí)目標(biāo)分解出的一個問題即為什么要研究函數(shù)圖象的對稱性？我們希望學(xué)生在觀察函數(shù)圖象的過程中能夠引入“對稱”的概念，為后續(xù)教學(xué)提供思路.真正的基本問題是經(jīng)得住不斷問索的，教師的任務(wù)就是不斷地挑戰(zhàn)簡單、單一的理解，促進(jìn)學(xué)生的深入思考，即R.本節(jié)課的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生從符號的角度去解釋這一分類，而問題2的設(shè)計，不僅是為了引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，同時也希望啟發(fā)學(xué)生另辟蹊徑，從數(shù)與式的角度去解釋“對稱”這一特征.函數(shù)奇偶性的逆向教學(xué)設(shè)計真正體現(xiàn)了“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展貫穿整個教學(xué)設(shè)計的始終.

2.2教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計更加注重激活學(xué)生思路，幫助學(xué)生獨立思考

不同于傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計，逆向教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)的是一種為目標(biāo)而學(xué)的教學(xué)方式.在上述教學(xué)設(shè)計中，把握住了以下幾個問題.①教師要把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，即H.如問題1、2、3激活了學(xué)生思路;②為保證所有的教學(xué)活動都是在為最終目標(biāo)做準(zhǔn)備，教師要設(shè)計幫助學(xué)生體驗和探索的問題，即E.如問題3的設(shè)計，就是讓學(xué)生體驗了“函數(shù)解析式→函數(shù)圖象→函數(shù)圖象的特征→點與點之間的位置關(guān)系→點的坐標(biāo)之間的關(guān)系”這一由“形”到“數(shù)”的過程，鍛煉學(xué)生的直觀想象能力.問題4是為了引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)由直觀分析到演繹證明、從自然語言到符號表示，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)研究是一條從感性走向理性、從粗糙走向精細(xì)的發(fā)展之路，并為后續(xù)奇函數(shù)的研究做了鋪墊;③為確保教學(xué)效果的最優(yōu)化，教師可以通過對比學(xué)生能力與預(yù)判目標(biāo)的差距及時調(diào)整相應(yīng)的教學(xué)活動，合理安排學(xué)習(xí)體驗順序，即O.

2.3教學(xué)關(guān)注塑造學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

通過緊扣主要問題與基本方法，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).如問題2、3、4，引導(dǎo)學(xué)生由“數(shù)”想到形，由“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，由具體函數(shù)的特征分析抽象概括出一般函數(shù)的性質(zhì)定義，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象能力.問題6引導(dǎo)學(xué)生通過類比得出奇函數(shù)的定義，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力.

2.4教學(xué)評價由終結(jié)性評價轉(zhuǎn)向?qū)崟r評價，提供持續(xù)性的反饋

逆向教學(xué)設(shè)計修正了傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計滯后評價的缺點，更加重視評估的完整性.因此，我們考慮在教學(xué)設(shè)計中制造學(xué)生自我評估的機(jī)會，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)有效學(xué)習(xí)策略并應(yīng)用于自身的學(xué)習(xí)中，即E.如問題5、6的提出，主要是希望通過自主探究，幫助學(xué)生發(fā)展邏輯思維能力，同時以動態(tài)的評價為導(dǎo)航及時對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反饋，有效地促進(jìn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)科核心素養(yǎng)在課堂中的落實.此外，教師還應(yīng)根據(jù)學(xué)生的發(fā)展需求、學(xué)習(xí)風(fēng)格、先前知識和學(xué)習(xí)興趣來調(diào)整設(shè)計，即T.如問題8的設(shè)計，回顧對函數(shù)的奇偶性的研究，組織學(xué)生討論對函數(shù)性質(zhì)的一般研究方法.在這一教學(xué)過程中，不僅幫助學(xué)生實現(xiàn)了知識的遷移，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng).