一類3階非線性時滯微分方程振動解的存在性

趙玉萍，傅 華

（1．青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，西寧 810007；2．福建警察學(xué)院，福州 350007）

微分方程在生物藥學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計算數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。微分方程的研究越來越受到人們的關(guān)注。近年來，關(guān)于微分方程振動性的研究成果很豐富［1－5］，對于1階、2階微分方程振動解的存在性研究也不少［6－9］，但對于3階非線性時滯微分方程振動解的存在性、漸進(jìn)性研究較少［10］。BACULIK OVAA B等［1］只研究了3階非線性微分方程解振動的充分條件，并沒有考慮解的存在性問題。

利用分析法和Schauder Tychonoff不動點(diǎn)定理研究一類3階非線性時滯微分方程

振動解的存在性。同時，研究了式（2）的特殊形式

振動解的存在性。這里r（t）∈C1（［t0，＋∞），R＋），q（t），g（t）∈C（［t0，＋∞），R），f（t）∈C（［t0，＋∞），是奇正整數(shù)之商，α≥1。

1 主要結(jié)果

定理 設(shè)存在常數(shù)η＞0，當(dāng)r（t）＞η時，

證明 利用Schauder Tychonoff不動點(diǎn)定理進(jìn)行證明。由式（4）和（5），對任意r＞0，-Tr＞t0，當(dāng)t＞Tr時

設(shè)C［T0，∞］是區(qū)間［T0，∞］的緊子空間上具有拓?fù)湟恢率諗康乃羞B續(xù)函數(shù)組成的局部凸空間。這里，T0＝inft≥t0g（t）。

顯然對 x∈S，（Fx）（t）在［T0，∞］連續(xù)。由式（8）和（9）

所以F在S上連續(xù)。當(dāng)t2，t1≥T0時，

另外，由式（6）和（7）

下面討論式（3）解的存在性：

證明 （u）＝uα，由式（4）和式（5），對任意r＞0，-Tr＞t0，當(dāng)t＞Tr時

定義算子

例1 考慮3階微分

這里，

例2 考慮3階微分