具有導數(shù)項的分數(shù)階微分方程解的存在唯一性

溫世林，韓 偉，桑彥斌

（中北大學 理學院，太原 030051）

1 相關進展

分數(shù)階微分方程已經(jīng)廣泛應用于物理、化學、生物、工程等各個領域［1－3］，對分數(shù)階微分方程的研究具有重要的理論和應用價值。特別是具有多種邊界條件的分數(shù)階微分方程，近年來引起人們的極大興趣，對其研究主要集中在非線性分數(shù)微分方程邊值問題正解的存在性、多重性和唯一性。LI等［4］研究了如下非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性，其中Dα0＋，Dv0＋為標準的Riemann Liouville分數(shù)階導數(shù)：

Wang等［5］利用格林函數(shù)的性質和錐理論，討論了如下高階非線性奇異分數(shù)階微分方程的唯一存在準則：

Jleli等［6］利用混合單調算子方法對以下任意階非線性分數(shù)階微分方程正解的存在唯一性進行了研究，其中n＞3（n∈N），f、g為連續(xù)函數(shù)。

本文中將研究如下具有導數(shù)項的分數(shù)階微分方程正解的存在唯一性：

其中：Dα0＋，Dβ0＋，Dv0＋為標準的Riemann Liouville分數(shù)階導數(shù)，0＜t＜1，n－1＜α≤n（n∈N，n≥2），n－2＜β≤v≤n－1，0≤b≤1，ξ∈（0，1），α－v－1≥0，0≤bξα－v－1＜1。應用文獻［7］中算子方程，其中A，B，C∶P×P→P是混合單調算子：

2 預備知識和相關引理

本節(jié)簡單介紹了一些定義、符號和已知結果［8－10］。

定義1 A∶P×P→P是1個混合單調算子，如果A（x，y）在x上遞增，在y上遞減，則x（x∈P）為A的不動點［11］。

定義2 A∶D（A） E→E，若對 x，y∈D（A），x≤y，t∈（0，1），有A（tx＋（1－t）y）≤tAx＋（1－t）Ay，稱A為凸算子。若A為凸算子，則－A為凹算子［12］。

集合E＝｛x｜x∈C［0，1］，D0β＋x∈C［0，1］｝為實Banach空間，定義它的范數(shù)為： x（t） ＝max｛t∈m［a0，x1］｜x（t）｜，t∈m［a0，x1］D0β＋｜x（t）｜｝。E被賦予一個半序關系：若u（t）≤v（t），D0β＋u（t）≤D0β＋v（t），那么u v。設P E，定義：P＝｛x∈E∶x（t）≥0，D0β＋x（t）≥0， t∈［0，1］｝，顯然P是1個正規(guī)錐且Ph∈E。

引理1 P是E中的1個正規(guī)錐，假設A，B，C∶P×P→P是3個混合單調算子，并且滿足如下條件：

3）對y∈P中任一點，C（·，y）∶P→P為凹算子；對x∈P中任一點，C（x，·）∶P→P為凸算子；

4）-h∈P，h＞θ使A（h，h）∈Ph，B（h，h）∈Ph，C（h，h）∈Ph；

6）存在常數(shù) δ0＞0，對于 x，y∈Ph，B（x，y）＋C（x，y）≤δ0A（x，y）；

那么算子方程（2）在P中有唯一正解x ，滿足μh≤x ≤λh，λ、μ為2個正實數(shù)。對任意的初始值x0，y0∈Ph，依次構造如下序列：在E中，n→∞時，xn→x ，yn→x 。

3 主要結果

許多問題都可轉化為算子方程（2）［13－18］。本節(jié)將研究方程（1）正解的存在唯一性。

其中

引理2 G（t，s）滿足如下性質：

式（2）后半部分不等式的右邊由0≤b≤1和0＜d＝1－bξα－v－1≤1易得。下面證明左邊：

當0≤s≤min｛t，ξ｝＜1時，

當0＜ξ≤s≤t≤1時，由0＜d＝1－bξα－v－1≤1，

當0＜t≤s≤ξ≤1時，

當0≤max｛t，ξ｝≤s≤1時，

定理1 假設如下條件成立：

5）存在常數(shù) δ0＞0，對 t∈［0，1］，u，v∈［0，＋∞），g（t，u，v）＋k（t，u，v）≤δ0f（t，u，v）；那么方程（1）在P中存在唯一正解u ，滿足 μtα－1≤u ≤λtα－1，t∈［0，1］，λ、μ為2個正實數(shù)。

證明：從文獻［5］可知方程（1）解的積分公式如下，其中G（t，s）在式（5）已給出。

其中X＝A，B，C，p＝f，g，k。

容易證明當且僅當u＝A（u，u）＋B（u，u）＋C（u，u）時，u是方程（1）的解。

從假設條件1）和引理2可以得出，A（u，v）≥0，Dβ0＋A（u，v）≥0，即A∶P×P→E。同理可得B，C∶P×P→E。下面證明A，B，C是混合單調算子：

對于固定的t∈［0，1］和v∈［0，＋∞）， a∈（0，1），u1，u2∈P，

同理可得：

同理可得Dβ0＋C（θ，lh（t））≥cDβ0＋C（lh（t），θ），即滿足引理1的條件5）。從定理1的條件5）可知，u，v∈P

同理，D0β＋（B（u，v）（t）＋C（u，v）（t））≤δ0D0β＋A（u，v）（t），所以算子A滿足引理1的條件6）。因此定理1的條件滿足引理1。證畢。