傳染病在噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上引起的同步

張曉磊，劉茂省

（中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051）

如今，許多現(xiàn)實(shí)世界的系統(tǒng)可以用復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)描述，如互聯(lián)網(wǎng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，生物系統(tǒng)。研究并探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的不同動(dòng)態(tài)行為之間的相互作用是增強(qiáng)對(duì)其理解與運(yùn)用的有效舉措［1］。在不同的動(dòng)態(tài)行為中，網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體應(yīng)對(duì)傳染病引起的集體行為和傳染病傳播之間的關(guān)系已經(jīng)引起大多數(shù)人的關(guān)注。隨著傳染病的傳播，個(gè)體會(huì)收到來自政府、媒體或人與人之間等其他途徑得知的傳染病信息來適應(yīng)性地改變各自的行為，即采取集體行為以避免被感染，如經(jīng)常用清水洗手，避免去擁擠地方等，以提高自我保護(hù)，這意味著在傳染病傳播的過程中，個(gè)體之間有關(guān)傳染病信息的傳播可以自發(fā)地誘發(fā)集體行為，這表明網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體應(yīng)對(duì)傳染病引起的集體行為和傳染病傳播，可以同時(shí)發(fā)生并自適應(yīng)地相互作用。

在過去的幾年中，復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題受到廣泛關(guān)注，如在小世界［2］和無標(biāo)度動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)［3］中，推導(dǎo)出了動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)完全同步的準(zhǔn)則，其中指出網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)之間的相互作用對(duì)于網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)完全同步十分重要。就傳染病傳播過程中的同步研究，李科贊等［4］集中在傳染病傳播如何影響個(gè)體的集體行為方面開展研究，提出了基于異質(zhì)平均場(chǎng)（HMF）理論的SIS（易感－感染－易感）和SIS（易感－感染－恢復(fù)）傳染病同步模型，得出傳染病的傳播會(huì)引發(fā)個(gè)體行為的變化，進(jìn)而影響傳染病的演變。李科贊等［5］研究了在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體行為的同步和傳染病傳播之間的相互作用，即不僅研究傳染病傳播對(duì)個(gè)體行為同步的影響，還研究個(gè)體行為同步對(duì)傳染病傳播的影響，更分析了傳染病傳播的控制問題。孫孟鋒等［6］在傳染病傳播過程中，引入了在個(gè)體之間傳染病信息傳播與傳染病傳播之間的耦合時(shí)滯，構(gòu)建了3種不同（無時(shí)滯、耦合時(shí)滯和雙重時(shí)滯）的數(shù)學(xué)模型，并分別研究了在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體行為的同步與傳染病傳播之間的相關(guān)性，分析了傳染病同步數(shù)學(xué)模型的局部和全局穩(wěn)定性。李俊民等［7］研究了具有未知周期時(shí)變耦合和隨機(jī)噪聲擾動(dòng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題，得到了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件。

然而，目前對(duì)傳染病傳播過程中個(gè)體行為同步的研究大都是不受噪聲影響的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，為了更好地評(píng)估復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中傳染病傳播與個(gè)體行為之間的相互作用，研究了在受隨機(jī)噪聲擾動(dòng)影響的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，個(gè)體應(yīng)對(duì)傳染病引起的集體行為與傳染病傳播之間存在的相互作用的問題。在受噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中觀察到的自適應(yīng)機(jī)制，通過向網(wǎng)絡(luò)上節(jié)點(diǎn)添加合適的控制器，構(gòu)造傳染病同步的數(shù)學(xué)模型來研究受控噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題。

1 模型的建立

基于文獻(xiàn)［5］的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型（1），建立具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的受噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（4），

其中xi（t）＝［xi1（t），xi2（t），…，xin（t）］T∈Rn，代表第i個(gè)節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的狀態(tài)變量，t∈［0，＋∞），f∶Rn×R→Rn是一個(gè)連續(xù)非線性向量值函數(shù)，描述節(jié)點(diǎn)的局部動(dòng)態(tài)；ci（t）＞0表示耦合強(qiáng)度；Γ＝diag（γ1，γ2，…，γn）∈Rn×n代表內(nèi)部耦合矩陣，是一個(gè)正定對(duì)角矩陣；A＝（aij）N×N是網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣，若節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j（i≠j）之間有連接，則aij＝aji＝1，否則aij＝aji＝0。基于鄰接矩陣A，網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣L＝（lij）N×N可表示為

Laplacian矩陣L＝（lij）N×N的對(duì)角元素滿足以下等式：

這里kai表示節(jié)點(diǎn)i的度。假設(shè)L是不可約矩陣，意味網(wǎng)絡(luò)是強(qiáng)連通，沒有孤立集群。根據(jù)文獻(xiàn)［8］可知0是L矩陣的重?cái)?shù)為1的最小特征值，并且其他特征值都嚴(yán)格為正。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型（1）可用Laplacian矩陣表示為

具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的受噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如下所示：

對(duì)于（4）與（1）（3）相比，除多了最后一項(xiàng)gi（x1，x2，…，xN）dωi（t）以外，其他符號(hào)表示一致，其中g(shù)i∈C（Rn×… ×Rn，Rn×n）是噪聲強(qiáng)度函數(shù)矩陣，ωi（t）＝（ωi1，ωi2，…，ωin）T∈Rn是n維向量Wiener過程，當(dāng)i≠j時(shí)，假設(shè) ωi（t）和 ωj（t）是相互獨(dú)立的過程。

對(duì)于一個(gè)孤立節(jié)點(diǎn)的解s（t）滿足

由于傳染病的信息傳遞具有時(shí)滯或其他特殊原因?qū)е聜魅静”┌l(fā)時(shí)，人們不能在短時(shí)間內(nèi)對(duì)其做出相應(yīng)的反應(yīng)，此時(shí)，對(duì)人們的行為進(jìn)行一些指導(dǎo)，包括在醫(yī)院獲得治療和隔離，或經(jīng)常洗手和休息等，以達(dá)到抑止傳染病爆發(fā)的目的。這種行為的指導(dǎo)都可在反饋控制器下實(shí)現(xiàn)，本文中，通過在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上增加一個(gè)反饋控制器ui（t）來控制個(gè)體的行為，以便傳染病在網(wǎng)絡(luò)中傳播期間實(shí)現(xiàn)所期望的行為同步。受控噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)描述如下：

如果對(duì)于任何給定的初始狀態(tài)向量xi（0），受控噪聲影響復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)（4）的解滿足以下條件，則稱其在均方意義下實(shí)現(xiàn)漸近同步，

SIS模型是一種典型的傳染病傳播模型，在這種傳染病傳播模型中每個(gè)節(jié)點(diǎn)處于易感或感染這2種狀態(tài)中的一種。感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)為易感節(jié)點(diǎn)，易感節(jié)點(diǎn)以感染率為λ被其鄰居感染，變?yōu)楦腥竟?jié)點(diǎn)?？紤]復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上標(biāo)準(zhǔn)SIS模型，其中ρk（t）表示在t時(shí)刻度為k的感染節(jié)點(diǎn)的密度，則度為k的節(jié)點(diǎn)的演化方程可描述為

這里θ（t）為從一節(jié)點(diǎn)出發(fā)與其他節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連邊，與感染節(jié)點(diǎn)相連的概率表易感節(jié)點(diǎn)連接到感染節(jié)點(diǎn)，它被感染的概率。在實(shí)際中個(gè)體會(huì)根據(jù)傳染病信息適應(yīng)性地改變各自的行為（減少個(gè)體間接觸的頻率，并更經(jīng)常地采取集體保護(hù)措施）以避免被感染，因此這樣會(huì)導(dǎo)致感染率變化，用 （t）來量化這種影響，感染率λ變?yōu)棣?（t）。對(duì)于個(gè)體根據(jù)傳染病信息適應(yīng)性地改變各自的行為以避免被感染的情況，可以看作是個(gè)體受到同步信息（即當(dāng)傳染病傳播開來，政府、媒體發(fā)出公示或個(gè)體互相交流信息：如果采取某種行為可以預(yù)防或減少被感染的風(fēng)險(xiǎn)）進(jìn)而采取同步行為的影響，同時(shí) （t）＝（1－α）E（t）＋α，α∈（0，1）也可看作是準(zhǔn)入率［9］，作為同步的信息，可以被認(rèn)為是個(gè)人意識(shí)（或風(fēng)險(xiǎn)認(rèn)知），即如果一個(gè)人在公共場(chǎng)合做出同步行為來達(dá)到感染控制的目的，這時(shí)由于一個(gè)人的反應(yīng)有一種集體化，就可能會(huì)使這種同步行為更容易被接受，進(jìn)而有更多的人去效仿，最終有利于感染得到控制，在整個(gè)過程中體現(xiàn)了個(gè)體由于受到同步的信息影響進(jìn)而引起行為的同步。所有個(gè)體實(shí)現(xiàn)同步時(shí)，t→∞，E（t）→0，準(zhǔn)入率 （t）達(dá)到最小值α。參數(shù)α值越小，相對(duì)應(yīng)感染率λ （t）則變小，說明對(duì)集體行為的感知程度越高，當(dāng)α＝1表示傳染病傳播不會(huì)受到同步的影響。

在制定具體的傳染病同步模型之前，做出以下基本假設(shè)［4－5］：

1）當(dāng)傳染病開始傳播時(shí)，動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)中的個(gè)體之間存在弱線性耦合；

3）當(dāng)集體保護(hù)行為顯著增加時(shí)，個(gè)人之間的保護(hù)信息交流將因達(dá)成保護(hù)協(xié)議而變得飽和。因此，耦合強(qiáng)度變化同步間的比例關(guān)系始終保持有效。

在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上，用模型（8）描述傳染病傳播的特征，用模型（6）描述傳染病傳播過程中個(gè)體保護(hù)行為的演化過程，然后可以構(gòu)造如下SIS傳染病同步模型：

2 受噪聲影響的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病同步的穩(wěn)定性

定義1 系統(tǒng)（9）的同步流形可定義為

設(shè)Ω＝｛（S1，ρ1，…，Sd，ρd）∈R2d＋0≤Sk≤1，Sk＋ρk＝1，k＝1，…，d｝，Ω為系統(tǒng)（8）是正不變集，Ω0在Ω的內(nèi)部。

從上式可以看出θ＝0是該方程的一個(gè)平凡解，下面導(dǎo)出該方程存在正解0＜θ＜1的條件，為了分析θ（t）的性質(zhì)，構(gòu)造輔助函數(shù)F（θ）：

經(jīng)計(jì)算可以得到，

從R0的推導(dǎo)可知當(dāng)R0＞1，則傳染病模型（8）存來，將考慮無病平衡點(diǎn)E0的全局穩(wěn)定性。

其中Nk（ρ）＝－kλ （t）ρk（t）θ（t），則傳染病模型（8）可寫為： ρ＝Bρ＋N（ρ），

令B＝－I＋珟B，I表示單位矩陣，

已知Ω為傳染病模（8）是正不變集，且Ω0在Ω的內(nèi)部，所以只需要考慮解在Ω0的全局漸近穩(wěn)定，對(duì)傳染病模（8）的兩邊同時(shí)乘以kp（k），并求和得：

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

沿著傳染病模型（8）求導(dǎo)，得

為得到定理2，接下來給出以下數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)。

假設(shè)1 在受噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)（4）中，假設(shè)存在li＞0，滿足

假設(shè)2 存在非負(fù)常數(shù)rij，i，j∈1，2，…，N，使得

定義2 （It formula）對(duì)于n維隨機(jī)微分系統(tǒng)

V（x（t），t）∈C2，1（Rn×R＋；R＋），這里C2，1（Rn×R＋；R＋）表示所有非負(fù)函數(shù)的簇，它們關(guān)于x是2次連續(xù)可微的，關(guān)于t是一次可微的。算子LV（x（t），t）被定義為

引理1［11］考慮系統(tǒng)（14）設(shè)q1、q2、q3為正數(shù)，假設(shè)存在函數(shù)C2，1（Rn×R＋；R＋），使得

那么平衡點(diǎn)x＝0在均方意義下是全局隨機(jī)漸近穩(wěn)定的。此外，對(duì)于任何∞＞t＞t0≥0，只要積分的期望值存在，則有

考慮受噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（4）的同步，為了實(shí)現(xiàn)同步目標(biāo)（7），每個(gè)節(jié)點(diǎn)上增加的自適應(yīng)控制器ui（t），（ki（t）是自適應(yīng)參數(shù)）如下所示：

將控制器（17）應(yīng)用于（6），通過ei（t）＝xi（t）－s（t），則受控噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的誤差系統(tǒng)可表示為

以下定理描述了受控網(wǎng)絡(luò)（6）全局漸近同步的一個(gè)充分條件。

定理2 當(dāng)R0＞1，傳染病模型（8）的地方病平衡點(diǎn)E ，它在Ω0內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，在假設(shè)1、2下系統(tǒng)（4），通過控制器（17）和自適應(yīng)律（18）可保證受控網(wǎng)絡(luò)（6）在均方意義下全局漸近同步，也就是傳染病同步模型（9）的動(dòng)態(tài)行為網(wǎng)絡(luò)的同步流形是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：因?yàn)镾i（t）＋ρi（t）＝1，i＝1，2，…，d，則傳染病模型（8）可表示為

定義如下矩陣：

對(duì)于V1（t），沿系統(tǒng)（8）的解對(duì)t求導(dǎo)，相似的分析過程可參考文獻(xiàn)［13］，可以得到對(duì)于函數(shù)V1（t）＝

對(duì)于

從上兩式和假設(shè)1、2下，可得

從引理1和式（24），可知

根據(jù)引理1，可知誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（19）在均方意義下是全局漸近穩(wěn)定的，網(wǎng)絡(luò)（4）在均方意義下實(shí)現(xiàn)漸近同步。

同步流形S也是全局漸近穩(wěn)定的。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證上述結(jié)果，對(duì)SIS傳染病同步模型（9）進(jìn)行數(shù)值研究，嵌入模型（9）中的網(wǎng)絡(luò)被看成大小為N＝200的BA無標(biāo)度（優(yōu)先連接）網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是從m0＝4的初始網(wǎng)絡(luò)演變而來的，我們給每一個(gè)新節(jié)點(diǎn)添加m＝3新邊。不失一般性，假設(shè)模型（9）中的f為混沌洛倫茲振蕩，盡管從實(shí)際傳染病傳播過程的角度來看，這一假設(shè)很難證明是正確的，只是將其用于數(shù)值模擬。這種振蕩可以描述為

在這里a1＝10，a2＝28，a3＝8／3，Γ看作是單位矩陣，其他參數(shù)為 δ＝0．001，α＝0．5，di＝0．01。噪聲強(qiáng)度函數(shù)矩陣gi（x）＝diag（xi1－xi＋1，1，xi2－xi＋1，2，xi3－xi＋1，3），其中xN＋1，3＝x11，i＝1，…，N。xi的狀態(tài)初值是從服從均勻分布的［0，1］中隨機(jī)選取的，初始耦合強(qiáng)度為ci＝0．001，初始感染密度為 ρ1＝ρ2＝0．01，ρi＝0，i＝1，…，d，初始自適應(yīng)參數(shù)為ki＝di＝0．01。

圖1中（a）、（b）表示模型（9）的 λ分別等于0．2，0．8時(shí)，同步誤差E（t），感染密度 ρ（t）和耦合強(qiáng)度

圖1 同步誤差E（t），感染密度 ρ（t），耦合強(qiáng)度ci（t）分別在 λ＝0．2，0．8時(shí)的變化

從圖1（a）可知：當(dāng)λ＝0．2時(shí)，傳染病不會(huì)爆發(fā)，沒有形成地方病，此時(shí)E（t）不等于0，意味著同步?jīng)]有實(shí)現(xiàn)，個(gè)體沒有表現(xiàn)出集體行為，但是從圖上可以看出當(dāng)傳播過程中， （t）滿足以下條件α≤ （t）＜1， （t）＝α?xí)r，個(gè)體之間存在同步信息，此時(shí)傳染病感染密度收斂為0的速度比 （t）＝1時(shí)個(gè)體之間不存在同步信息要快，說明個(gè)體之間同步信息的存在會(huì)加速傳染病的滅絕。從圖1（b）可知：當(dāng)λ＝0．8時(shí)， （t）＝1傳染病感染密度曲線表明個(gè)體之間由于不存在同步信息傳染病會(huì)爆發(fā)，但是由于模型中存在自適應(yīng)控制器導(dǎo)致傳染病生成的規(guī)模不是很明顯，但此時(shí)可以明顯看到個(gè)體之間存在同步信息，傳染病感染密度收斂為0，同時(shí)E（t）等于0，意味著同步實(shí)現(xiàn)，同步信息的存在會(huì)使個(gè)體表現(xiàn)出集體行為，說明個(gè)體的集體行為可以抑制流行病傳播行為，反之，這種流行病傳播行為可以加速個(gè)體的集體行為。

圖2是當(dāng)λ＝0．8時(shí)，自適應(yīng)控制器ui的變化曲線和自適應(yīng)參數(shù)ki的變化曲線。

圖3 （a）、（b）表示模型（9）的 λ分別等于1．2，2時(shí)，同步誤差E（t），感染密度 ρ（t）和耦合強(qiáng)度ci（t）的變化。

從圖3（a）可知：當(dāng)λ＝1．2時(shí)，由于模型中存在自適應(yīng)控制器ui的原因?qū)е聜魅静∩傻囊?guī)模不明顯，從圖3（b）可知：當(dāng)λ＝2時(shí)，盡管模型中存在自適應(yīng)控制器ui，若個(gè)體之間不存在同步信息，傳染病會(huì)爆發(fā)，說明模型中的自適應(yīng)控制器只在感染率在一定范圍內(nèi)才有效，但此時(shí)可以明顯看到若個(gè)體之間存在同步信息，傳染病感染密度收斂為0，同時(shí)E（t）等于0，意味著同步實(shí)現(xiàn)，同步信息的存在會(huì)使個(gè)體表現(xiàn)出集體行為，從而抑制傳染病的傳播。

4 結(jié)論

研究了受噪聲影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上由傳染病動(dòng)力學(xué)引起的個(gè)體同步行為，構(gòu)建了能刻畫這類現(xiàn)象的傳染病同步數(shù)學(xué)模型，研究了模型的感染率與同步穩(wěn)定性之間的關(guān)系，得到了同步模型的全局穩(wěn)定性條件。數(shù)值模擬結(jié)果表明：集體行為可以抑制傳染病的傳播行為，反之，這種傳染病的傳播行為可以加速集體行為，這一結(jié)論與實(shí)際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病的傳播特征吻合。因此，在研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病同步問題時(shí)，本研究可為更好地理解和控制這類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)提供基本框架。