以“數(shù)”解“形”，以“形”助“數(shù)”

姚慧

教學(xué)內(nèi)容：人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級上冊第107頁例1。

教學(xué)目標(biāo)：1.通過從不同的角度觀察圖形，發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)和式的規(guī)律，能用數(shù)和式來表達圖形的規(guī)律，感悟形的問題中包含著數(shù)的規(guī)律;2.根據(jù)數(shù)或式，聯(lián)想與之對應(yīng)的圖形，能借助圖形來解釋數(shù)和式的規(guī)律，感悟數(shù)的問題也借助形來解決;3.借助數(shù)形結(jié)合，探索發(fā)現(xiàn)從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和與“正方形數(shù)”的關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合解決問題的優(yōu)越性。

教學(xué)重點：充分感受數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合思想。

教學(xué)難點：借助數(shù)形結(jié)合，探索發(fā)現(xiàn)從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和與“正方形數(shù)”的關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合解決問題的優(yōu)越性。

教學(xué)準(zhǔn)備：課件、圓片圖、探究學(xué)習(xí)卡。

一、談話引入

（一）引出華羅庚名言

師：同學(xué)們，認(rèn)識他嗎？對，他就是我國偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚先生。

師：華羅庚先生曾說過這樣一段話，一起來讀一讀吧。

（課件出示：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。——華羅庚）

師：誰能說說你對這段話的理解？（生答略）

師：正如你們所說，這段話的意思就是說：只有數(shù)，沒有形，不夠形象直觀，只有形，沒有數(shù)又難以分析得細致入微。數(shù)和形相輔相成，密不可分。

師：既然數(shù)與形的關(guān)系如此密切，今天，我們就一起來探究數(shù)與形的奧秘。

（師板書：數(shù)與形）

（二）解讀“數(shù)”與“形”

師：在小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里，其實我們每天都與“數(shù)”和“形”朝夕相處。那你們覺得“數(shù)”包含什么？

生：自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)……

師：你們說得不錯。不過，這里的“數(shù)”不僅包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)這樣的數(shù)，它包含的內(nèi)容更廣。想想看數(shù)與數(shù)還可以組成什么呢？

生：算式、等式、不等式……

師：對了。像數(shù)列、算式、等式、不等式等等同樣屬于“數(shù)”的范疇。

師：“形”又包含什么呢？

生：平面圖形、立體圖形……

師：除了平面圖形、立體圖形、想想看，我們還接觸過哪些圖形？……

生：線段圖、統(tǒng)計圖……

師：是的，這里的“形”包含的內(nèi)容也很很廣泛，還包括我們接觸過的點子圖、線段圖、統(tǒng)計圖等等。

二、以“數(shù)”解“形”：用“數(shù)”或“式”表達“形”中的規(guī)律

（一）借助“三角形”點子圖 想 “數(shù)”和“式”

師：說到點子圖，我們在一年級認(rèn)識數(shù)的時候就接觸過。今天，我們就借助它來探尋隱藏在圖形中的規(guī)律。

1.用“數(shù)”表達“形”

如果用1個小圓點代表1，請看，這是哪個數(shù)？這個呢……

（師逐個課件出示4個“三角形”點子圖，并結(jié)合生回答出示對應(yīng)的4個“數(shù)”）

生：1、3、6、10。

2.用“算式”表達“形”

師：那如果用“算式”來 表達 小圓點的個數(shù)，可以怎么表達？第1幅圖對應(yīng)的算式就是？第2、3、4幅圖呢？

生：1、1+2、1+2+3、1+2+3+4。

（師結(jié)合生回答課件逐個出示4個“三角形”點子圖對應(yīng)的4個“算式”）

師：我們就以最后這幅圖為例，說說你是怎么觀察得出算式的？

生：橫看或斜看。（左斜、右斜）

師：那第4幅圖對應(yīng)的算式就是？第3、2、1幅圖呢？（生答略）

（過渡）師：剛才我們從不同角度觀察 一組圖形，卻都得出了同樣的算式。是不是所有的圖形都是如此呢？

（二）借助“正方形”點子圖 想 “數(shù)”和“式”

1.用“數(shù)”表達“形”

師：大家看，這幅圖可以表示哪個數(shù)？這個呢？這個呢？

生：1、4、9、14。

（師逐個板貼4個“正方形”點子圖，并結(jié)合生回答板書對應(yīng)的4個“數(shù)”）

（板書）

1

4

9

16

2.用“算式”表達“形”

（1）自主探究

師：仔細觀察，你還能分別用“算式”來表達每個圖形小圓點的個數(shù)嗎？

下面請大家先獨立思考，完成探究學(xué)習(xí)卡1。（課件出示活動要求）

（生探究學(xué)習(xí)，師巡視指導(dǎo)，選取代表性作業(yè)單）

（2）分享交流

師：老師邀請了幾位同學(xué)上臺分享，請分享的同學(xué)重點以最后一幅圖為例，給大家說說你們是怎樣觀察和思考的。

①方法1：橫向觀察或豎向觀察。（如圖所示：或）

1×1、2×2、3×3、4×4

1、2+2、3+3+3、4+4+4+4

12、22、32、42

師：這些算式的觀察角度一樣嗎？表達的意義一樣嗎？

生：一樣，都是橫向或豎向觀察，都表示的是幾行幾列的正方形點子圖。

師：來。我把你們的成果板書在黑板上。請所有同學(xué)一起，一邊用手勢比劃這種觀察的方法，一邊說出對應(yīng)算式。

師：你們很不錯，通過橫向觀察、豎向觀察，用 乘法算式 表達了圖形的規(guī)律。

②方法2：斜向觀察。（左斜或右斜）（如圖所示：? ? ? ?或? ? ? ? ?）

1+2+1、1+2+3+2+1、1+2+3+4+3+2+1。

師：我也把你們的成果也板書在黑板上。請所有同學(xué)一起，一邊用手勢比劃這種觀察的方法，一邊說出對應(yīng)算式。

師：你們很有想法。通過斜向觀察，用這樣的加法算式表達了圖形的規(guī)律。

③方法3：折向觀察。（如圖所示：或或或）

1+3、1+3+5、1+3+5+7。

師：這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律比較獨特，請你也以最后這個圖為例，分享一下你是怎樣觀察思考的。

生：第一幅圖形中有1個圓形，用1表示;第二幅圖形是在1個的基礎(chǔ)上增加了一個“┐”字形，增加了3個……

師：你們眼光可很犀利，還還想到這樣 拐著彎來觀察，用另一種加法算式 表達了圖形的規(guī)律。

師：我把你的成果也板書在黑板上。請所有同學(xué)一起，一邊用手勢比劃這種觀察的方法，一邊說出對應(yīng)算式。

（3）鞏固觀察方法

師：借助劃線的方法，我們能很直觀地就看出了每個算式表達的規(guī)律。現(xiàn)在根據(jù)劃出的線，你能很快速地說出相應(yīng)的算式嗎？（課件動畫出示各種劃出1根線標(biāo)出觀察方向的“正方形”點子圖）

（4）溝通“數(shù)”、“算式”和“形”的聯(lián)系

師：你們看。同樣的圖形，觀察的角度不同，得出的算式就不一樣。這些算式又有什么關(guān)系嗎？

生：相等。

師：是的，這些算式都相等，而且都等于？

生：16。

師：為什么這些算式不同，結(jié)果卻又完全相等呢？

生：那是因為這些算式都對應(yīng)著同一副點子圖。

師：那黑板上面的這幾組算式結(jié)果相等嗎？

生：相等，都等于9或4或1。

（過渡）師：形的問題包含著數(shù)的規(guī)律。那么，數(shù)的問題是否也可以借助形來思考呢？

（師板書）

三、以“形”助“數(shù)”：由“數(shù)”或“式”想“形”

（一）根據(jù)算式，想圖形、平方數(shù)、其它算式

師：那現(xiàn)在如果給出1+3+5+7+9這個算式，你會想到什么？把你想到的都記錄在探究學(xué)習(xí)卡2上。

（生探究學(xué)習(xí)，師巡視指導(dǎo)，選取代表性作業(yè)單）

師：你想到了什么？你是怎樣想的？

生1：我會想到邊長為5的點子圖。1對應(yīng)著邊長為1的點子圖……1+3+5+7+9應(yīng)該對應(yīng)著邊長為5的點子圖。

師：你能想到算式對應(yīng)的圖形，真棒。

生2：我想到了1+3+5+7+9=52。因為1+3+5+7+9這個算式對應(yīng)的應(yīng)該是4行4列的“正方形”點子圖，所以，點子的總個數(shù)就是52。

師：你想到了借助圖形來思考，真不錯！

生3：我會想到1+3+5+7+9=5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1。我是先想到邊長為5的正方形圖，然后從橫向觀察就可以得到5×5，斜向觀察就可以得到1+2+3+4+5+4+3+2+1。

師：你不僅聯(lián)想到了算式對應(yīng)的圖形，而且還借助圖形從不同的角度觀察思考得出了其它的算式，真厲害。

（師結(jié)合生回答，動畫出示課件）

師小結(jié)：正是因為1+3+5+7+9對應(yīng)的圖形是一個5行5列的點子圖，邊長為5，所以，它的總個數(shù)就是5×5=52=25個。

（二）根據(jù)平方數(shù)，想圖形、和其它算式

師：這次提高難度，不動筆，看見62，你又會想到什么？（課件出示：62）

生1：62=36。

生2：看見62，我會想到邊長為6的點子圖。

生3：我還想到一個有6個加數(shù)的算式。1+3+5+7+9+11=62=36

生4：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62=36。

（師結(jié)合生回答，動畫出示課件）

（小結(jié)）師：同學(xué)們，你們真不錯，你們都能由數(shù)或算式聯(lián)想到圖形。同時，再借助這個圖形，又聯(lián)想到了它對應(yīng)的其它算式。由數(shù)想形，又由形想數(shù)，實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。

（三）以形解數(shù)、探尋規(guī)律

1.觀察算式，體會規(guī)律

師：現(xiàn)在看看我們剛才研究的過程，（下轉(zhuǎn)第24版）? ? （上接第23版）左邊的算式有什么相同的特征？ 左邊的算式和與右邊的平方數(shù)之間又有什么聯(lián)系呢？（同桌交流）

課件出示：

生1：幾個奇數(shù)相加，和就是幾的平方。

生2：都是從1開始的。

師：我們結(jié)合圖形想一想，如果加數(shù)不從“1”開始，圖形會是怎樣？結(jié)果還會是奇數(shù)個數(shù)的平方嗎？

生3：而且還是連續(xù)的奇數(shù)相加。

師：我們再結(jié)合圖形想一想，如果不是連續(xù)奇數(shù)相加，圖形又會是怎樣？結(jié)果還會是奇數(shù)個數(shù)的平方嗎？

（課件演示：從1開始 的幾個 連續(xù) 奇數(shù)的和 = 奇數(shù)個數(shù)2）

2.以形助數(shù)、驗證規(guī)律

師：是不是這樣呢？我們借助點子圖再來看一看。（PPT動畫演示）

1個小圓點，1個奇數(shù)，對應(yīng)邊長為1的正方形，總個數(shù)是12，

1+3個小圓點，2個奇數(shù)，對應(yīng)邊長為2的正方形，總個數(shù)是22，

1+3+5個小圓點，3個奇數(shù)，對應(yīng)邊長為3的正方形，總個數(shù)是32，

1+3+5+7，4個奇數(shù)，邊長為4，總個數(shù)是42 。

繼續(xù)這樣下去，這個結(jié)論正確嗎？

師追問：那正方形的邊長到底與算式中的什么有關(guān)系呢？

生：奇數(shù)的個數(shù)。

師：是的，我們會發(fā)現(xiàn)，有幾個從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加，就能排成一個邊長為幾的正方形點子圖，它的總個數(shù)就是幾的平方。

3.歸納推理，總結(jié)規(guī)律

師：像這樣從1開始10個連續(xù)奇數(shù)相加，它們的和等于多少？ 50個呢？100個呢？

師：像這樣從1開始，n個連續(xù)奇數(shù)相加，就能聯(lián)想到一個邊長為幾的正方形？得數(shù)就是？

生：邊長為n，得數(shù)是n2。

板書：

師：要想快速求出從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加的和，關(guān)鍵是要關(guān)注什么？

生：奇數(shù)的個數(shù)。

師：有幾個奇數(shù)它們的和就是？

生：幾的平方。

（小結(jié)）師：同學(xué)們，不知不覺中，其實剛才我們運用“正方形”點子圖幫助我們解決了從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和問題。

通過剛才的學(xué)習(xí)我們發(fā)現(xiàn)，原來形中有數(shù)，數(shù)中有形，數(shù)與形是相互關(guān)聯(lián)的，這就是我們今天研究的“數(shù)與形”。

四、拓展延伸：數(shù)史介紹

微課視頻：同學(xué)們，你們知道嗎？正是因為1、4、9、16、25這些數(shù)都對應(yīng)著正方形的點陣圖，古希臘數(shù)學(xué)家 畢達哥拉斯 把它們形象地稱為“正方形數(shù)”，又叫平方數(shù)。我們再來看，課前，我們用1個、3 個、6 個、10 個小圓片剛好都能排成三角形。因此 1、3、6、10、……這樣的數(shù)被形象地稱為三角形數(shù)。以9這個正方形數(shù)為例，如果將這個正方形一分為二，你會發(fā)現(xiàn)三角形數(shù)和正方形數(shù)之間還有著奇妙的聯(lián)系。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，同學(xué)們還可以認(rèn)識到更多有趣的數(shù)，比如，梯形數(shù)、五邊形數(shù)等等。而且這些數(shù)與形之間也有著奇妙的聯(lián)系，等待著同學(xué)們進一步地去發(fā)現(xiàn)。

五、課堂小結(jié)

（一）知識回顧

師：形的問題包含著數(shù)的規(guī)律，數(shù)的問題也可以通過形來解決，這就是數(shù)形結(jié)合的思想。請同學(xué)想一想，我們曾經(jīng)還學(xué)過什么樣的知識是數(shù)與形相聯(lián)系的呢？

生1：我們借助圖形理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義，

生2：我們利用圖形轉(zhuǎn)化的方法，推導(dǎo)平行四邊形的面積計算公式。

生3：我們借助圖形尋找植樹問題中棵樹和間隔數(shù)的關(guān)系。

生4：這學(xué)期，我們借助長方形模型理解分?jǐn)?shù)乘、除法的算理。

師：同學(xué)們說得非常好，你們看，其實數(shù)形結(jié)合的例子無處不在、比比皆是。而在今后的學(xué)習(xí)中，我還將繼續(xù)利用數(shù)形結(jié)合思想來解決更多的問題。

（二）暢談收獲

師：再次回顧華羅庚先生的這段話，你能結(jié)合本節(jié)課中你印象最深刻的例子，談?wù)勀愕氖斋@嗎？

生1：通過今天的學(xué)習(xí)，我學(xué)會了借助圖形來思考問題，比如，連續(xù)奇數(shù)求和的算式，直接計算很麻煩，但如果能聯(lián)想到它對應(yīng)的正方形圖，就能很快得出答案。

生2：今天的學(xué)習(xí)讓我充分體會了數(shù)與形之間的聯(lián)系，比如，看到一個數(shù)，我會去聯(lián)想它對應(yīng)的圖形，看到一個圖形，我也會試著去觀察圖形的規(guī)律，并用數(shù)或算式去表達這個規(guī)律。

師：的確。把數(shù)和形結(jié)合起來解決問題，可以使抽象的問題變得更直觀，使復(fù)雜的問題變得更簡單。而有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想 還需要同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中不斷地探索和應(yīng)用，相信它一定會成為你們學(xué)習(xí)的好伙伴。

板書設(shè)計：

五、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩大研究領(lǐng)域，兩者有著千絲萬縷的聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合的思想對于小學(xué)生而言，在之前的學(xué)習(xí)中有所感知，但這種感知往往只是滲透在某個教學(xué)環(huán)節(jié)中。而數(shù)學(xué)廣角——“數(shù)與形”，以一個章節(jié)的篇幅出示，我想其目的就是要幫助學(xué)生更好地建立數(shù)和形聯(lián)系的紐帶。

通過仔細研讀教材和教參，筆者發(fā)現(xiàn)，人教版教材《數(shù)與形》這一章節(jié)的編排不管是數(shù)，還是形，都突出對規(guī)律的探索。于是，在筆者的第一次教學(xué)設(shè)計中，筆者也將教學(xué)重點定位于：引導(dǎo)學(xué)生探究和發(fā)現(xiàn)“正方形方格圖”中蘊含的多種規(guī)律，并通過數(shù)形結(jié)合，探索發(fā)現(xiàn)從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和算式和正方形數(shù)（即平方數(shù)）之間的關(guān)系。但是，在磨課后，筆者意識到如此定位教學(xué)重點有失偏頗，因為過重地強調(diào)了規(guī)律的探索，就會使感悟數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標(biāo)流于形式。于是，筆者重新對本課進行了結(jié)構(gòu)性的調(diào)整。

（一）整合資源，合理定位教學(xué)重點

在磨課過程中，筆者又研讀了其它版本的教材，例如，北師大版教材在五年級上冊——圖形中的規(guī)律 這一章節(jié)中，也有“數(shù)與形”這一內(nèi)容，但北師大教材與人教版教材的編排有很大的不同，人教版教材這一章節(jié)名為《數(shù)與形》，但卻注重探索規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，而北師大版教材這一章節(jié)名為《圖形中的規(guī)律》，但卻更注重于“由形想數(shù)”，突出從不同角度觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并得出不同的算式。兩種版本的教材各有所長，各有側(cè)重。

思考再三，筆者決定各取所長，為“我”所用。筆者認(rèn)為，揭示數(shù)和形之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生充分感悟數(shù)形結(jié)合的思想才是本節(jié)課的立足之本和核心目標(biāo)。規(guī)律的探索雖然不能作為本課的教學(xué)重點，但可以作為數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用之一，借此讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合在解決有些特定問題時的優(yōu)越性，從而更深刻地感受數(shù)與形的密切關(guān)系?；谏鲜鏊伎?，筆者最終將教學(xué)重點定位為：充分感受數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合思想。

（二）追根溯源，精心選擇教學(xué)素材

對比人教版和北師大版的教材，在教學(xué)素材的選取上，人教版教材使用了小正方形圖，而北師大版教材選擇了點子圖;到底如何取舍呢？通過查閱相關(guān)資料，筆者了解到“正方形數(shù)”其實有著深厚的文化背景，它是兩千多年前古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯研究正整數(shù)時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。“形數(shù)”原意為“石子”，畢達哥拉斯就是通過把小石子擺成不同的幾何圖形，然后從不同的角度來數(shù)出幾何形體中的石子數(shù)， 從而發(fā)現(xiàn)了三角形、正方形數(shù)、多邊形數(shù)等更多形數(shù)的特征。于是，筆者決定追根溯源，選擇了用點子圖作為本課的教學(xué)素材。

（三）數(shù)形結(jié)合，溝通數(shù)與形的聯(lián)系

具體又從“由形想數(shù)”和“由數(shù)想形”兩個方面來展開。

1.以“數(shù)”解“形”

（1）由“三角形”點陣圖，想“數(shù)”和“式”

首先，給出一組“三角形”點陣圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形得出數(shù)和算式，目的是讓學(xué)生把從不同角度觀察圖形的經(jīng)驗順勢遷移到觀察“正方形”點陣圖中。

（2）由“正方形”點陣圖，想“數(shù)”和“式”

其次，給予學(xué)生充分的時間和空間自主觀察探究“正方形”點陣圖， 有了觀察“三角形”點陣圖的經(jīng)驗，學(xué)生能自然聯(lián)想到從橫向、豎向、斜向，甚至倒L的方向等不同的角度觀察圖形， 由此獲得不同的式的規(guī)律，而使學(xué)生觀察問題的角度和思考問題的思維更加寬廣、更加靈活。

2.以“形”助“數(shù)”

由數(shù)想形這個環(huán)節(jié)分為三個層次：

（1）根據(jù)算式，想圖形，平方數(shù)、甚至其它算式

首先，提出問題“由1+3+5+7+9這個式子，你會想到什么？”放手讓學(xué)生展開聯(lián)想，自主完成探究學(xué)習(xí)卡2，進而發(fā)現(xiàn)了圖形、算式、及平方數(shù)之間的聯(lián)系。

（2）根據(jù)平方數(shù)，想圖形和其它算式

給出62，讓學(xué)生繼續(xù)聯(lián)想到對應(yīng)的圖形和其它算式，由數(shù)想形，同時又借形想數(shù)，實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合。

（3）以形助數(shù)、探尋規(guī)律。

最后，帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧前面得出的一組算式，通過生生、師生的交流互動，初步得出這組算式的規(guī)律，然后，通過圖形驗證得到的結(jié)論，推廣到一般，發(fā)現(xiàn)蘊含在圖形中的數(shù)學(xué)規(guī)律，最終，得出 從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和，與邊長為n的正方形存在著聯(lián)系，并且計算結(jié)果是n2。以此，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識和能力，也進一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

（四）數(shù)史介紹，有機滲透數(shù)學(xué)文化

1.課前由華羅庚的名言引入，直奔主題，讓學(xué)生初步體會數(shù)與形的關(guān)系;課末，通過再次回顧華羅庚先生的這段話，讓學(xué)生能結(jié)合本節(jié)課中印象最深刻的例子，暢談收獲。這樣首尾呼應(yīng)，使學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)合思想的感悟得以升華。

2.出示課題“數(shù)與形”后，引導(dǎo)學(xué)生說詞解字，同時，傳遞給學(xué)生一個理念：“數(shù)”與“形”的涵義遠比我們原來理解的范疇更廣泛。

3.引導(dǎo)學(xué)生感受三角形數(shù)和正方形數(shù)的奇妙聯(lián)系，做到一圖多用，再次感受數(shù)形結(jié)合思想，同時，通過介紹各種“形數(shù)”，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化獨特的魅力。

4.通過簡單回顧學(xué)生小學(xué)六年以來經(jīng)歷的與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián)的知識，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合無處不在， 為學(xué)生今后更好的利用數(shù)形結(jié)合思想打下基礎(chǔ)。

回顧全課，本課從“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”這兩個方面入手，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了“由形想數(shù)”，又“由數(shù)想形”的完整過程，自然而然地發(fā)現(xiàn)了形中有數(shù)，數(shù)中有形、通過數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系相互印證結(jié)果，使學(xué)生的思維在切實體會數(shù)與形的緊密聯(lián)系，感受數(shù)形結(jié)合的思想中一步步頓悟、提升，最終升華。

參考文獻：

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