基于Mogi-Coulomb準(zhǔn)則的圓形巷道圍巖塑性區(qū)分析

歐陽(yáng)蕊燦,王衛(wèi)軍

(湖南科技大學(xué) 資源環(huán)境與安全工程學(xué)院,湖南 湘潭 411201)

巷道圍巖的穩(wěn)定性與其塑性區(qū)有著本質(zhì)的關(guān)聯(lián),塑性區(qū)的大小和形態(tài)決定著巷道的穩(wěn)定性,因此研究塑性區(qū)的范圍對(duì)圍巖支護(hù)設(shè)計(jì)有重要意義.國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于塑性區(qū)的研究已有了豐富的成果.張小波等[1]以彈塑性力學(xué)為理論,在考慮中間主應(yīng)力的基礎(chǔ)上對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)展開(kāi)了研究;王衛(wèi)軍等[2]在M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了非等壓條件下圓形巷道塑性區(qū)邊界方程;郭曉菲等[3]通過(guò)塑性區(qū)邊界方程得到了塑性區(qū)的形態(tài)變化規(guī)律;袁超等[4]研究了巖石力學(xué)特性等對(duì)塑性區(qū)范圍和形態(tài)的影響;陳立偉等[5]通過(guò)巖石的統(tǒng)一強(qiáng)度理論得到了可以描述塑性區(qū)邊界形態(tài)的方程;張常光等[6-7]推導(dǎo)了理想彈塑性體塑性區(qū)圍巖應(yīng)力與位移的新解;馬念杰等[8]通過(guò)研究圍巖偏應(yīng)力的分布規(guī)律得出了偏應(yīng)力作用下的塑性區(qū)半徑表達(dá)式;李宇翔等[9]研究了在非均勻應(yīng)力場(chǎng)下中間主應(yīng)力對(duì)塑性區(qū)的影響并得到了塑性區(qū)邊界方程的近似隱式解;駱開(kāi)靜等[10]在考慮蠕變下建立了軟化模型,并根據(jù)此軟化模型對(duì)塑性區(qū)展開(kāi)了研究;陳梁等[11]基于D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則,結(jié)合考慮巖石流變等對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)與破裂區(qū)進(jìn)行了分析討論;董海龍等[12]在考慮峰后軟化的條件下推導(dǎo)了塑性區(qū)邊界方程,并結(jié)合總荷載不變理論提供了塑性區(qū)半徑的近似解.這些研究成果對(duì)塑性區(qū)的研究有著重要的意義.本文基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則研究巖石巖性與中間主應(yīng)力對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)形態(tài)與大小的作用，研究結(jié)果對(duì)巷道圍巖支護(hù)設(shè)計(jì)具有重要意義.

1 Mogi-Coulomb準(zhǔn)則

目前大多數(shù)學(xué)者一般采用Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則研究地下工程問(wèn)題,實(shí)際上,地下工程巖體處于三維應(yīng)力狀態(tài),而Mogi-Coulomb準(zhǔn)則[13-16]是基于大量的真三軸實(shí)驗(yàn)所得,采用Mogi-Coulomb準(zhǔn)則研究地下工程問(wèn)題更加符合實(shí)際情況.Mogi-Coulomb準(zhǔn)則在σ2=σ3(σ2為中間主應(yīng)力,σ3為最小主應(yīng)力)時(shí)則退化成Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則.Mogi-Coulomb準(zhǔn)則表示為

τoct=a+bσm,2;

(1)

(2)

(3)

式中:τoct為八面體剪應(yīng)力；a,b為材料參數(shù);σm,2為作用在剪切面上平均有效正應(yīng)力.通過(guò)式(2)可知,Mogi-Coulomb準(zhǔn)則考慮了中間應(yīng)力σ2的作用.Mogi-Coulomb準(zhǔn)則的外形函數(shù)與Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則密切相關(guān),其外形函數(shù)可由圖1表示.

圖1 Mogi-Coulomb準(zhǔn)則的外形函數(shù)

當(dāng)σ2=σ3時(shí),由Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則可以得到:

(4)

式中:φ為巖石的內(nèi)摩擦角;c為巖石的內(nèi)聚力.

為了更好地研究中間主應(yīng)力的影響,設(shè)定中間主應(yīng)力系數(shù)的表達(dá)式為式(5),且0≤d≤1,當(dāng)d=0時(shí),為軸對(duì)稱的三軸壓縮狀態(tài);當(dāng)d=1時(shí),為軸對(duì)稱三軸拉伸狀態(tài);當(dāng)0

(5)

由式(5)變形可得σ2=dσ1+(1-d)σ3,將表達(dá)式代入式(1)整理后得到Mogi-Coulomb準(zhǔn)則如下:

σ1=Aσ3+B.

(6)

(7)

式中:T1=2[2(d2-d+1)]1/2,當(dāng)中間主應(yīng)力系數(shù)d=0或1時(shí),則沒(méi)有考慮中間主應(yīng)力的影響.

2 圓形巷道圍巖塑性區(qū)邊界方程計(jì)算

2.1 力學(xué)模型

巷道圍巖結(jié)構(gòu)復(fù)雜,為了便于理論分析,對(duì)巷道圍巖提出以下基本假設(shè):

1)圍巖是滿足Mogi-Coulomb準(zhǔn)則的連續(xù)、均勻、各向同性的理想彈塑性材料.

2)巷道為深埋巷道且巷道截面為圓形,巷道半徑為R0,巷道無(wú)限長(zhǎng),按平面應(yīng)變問(wèn)題處理.

3)巷道圍巖處于兩向非等壓應(yīng)力場(chǎng),P0與kP0分別為作用在巷道圍巖上的垂直與水平應(yīng)力,k為側(cè)壓力系數(shù),Rp表示塑性區(qū)半徑,支護(hù)力Pi視為均勻分布,r為圍巖中任一質(zhì)點(diǎn)到巷道中心的距離.力學(xué)模型如圖2所示.

圖2 力學(xué)模型

2.2 塑性區(qū)邊界方程求解

目前大多數(shù)研究采用近似隱式法來(lái)求巷道圍巖塑性區(qū)的邊界方程,采用近似隱式法求解的巷道圍巖塑性區(qū)可以得到不同側(cè)壓系數(shù)下塑性區(qū)的形態(tài),圓巷圍巖塑性形態(tài)的變化規(guī)律可由其較好地反映出來(lái).所以本文通過(guò)近似隱式法求圓形巷道圍巖塑性區(qū)邊界方程[17].

當(dāng)前還沒(méi)有精確的解析能分析非均勻應(yīng)力條件下的圓形巷道圍巖的彈塑性區(qū).大多數(shù)國(guó)內(nèi)與國(guó)外的學(xué)者均是通過(guò)假設(shè)巷道開(kāi)挖后圍巖仍然處于彈性應(yīng)力狀態(tài)這一條件，結(jié)合彈性理論的基礎(chǔ)上研究圓形巷道處于非均勻應(yīng)力場(chǎng)開(kāi)挖后的圍巖彈性應(yīng)力,其表達(dá)式為

(8)

彈性力學(xué)中,求解主應(yīng)力的表達(dá)式為

(9)

在實(shí)際工程中，巷道圍巖受力問(wèn)題可以作為平面問(wèn)題處理,利用轉(zhuǎn)化公式可得到用極坐標(biāo)表示的各應(yīng)力關(guān)系式為

(10)

圍巖應(yīng)力達(dá)到起塑條件后滿足Mogi-Coulomb準(zhǔn)則方程:

f=σ1-Aσ3-B.

(11)

將σ1,σ3代入式(11)后令f=0可得

(12)

通過(guò)化解后得到塑性區(qū)邊界隱形方程為

(13)

式中:

m0=1/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2(k-1)2P02-[(T1+3b)/(T1-3b)-1]2(k+1)2P02-[(T1+3b)/(T1-3b)-1][6a/(T1-3b)](k+1)P0-[6a/(T1-3b)]2；

m1=1/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2[2(k-1)P0(2Pi-kP0-P0)cos 2θ-4(k-1)2P02(2cos22θ-1)]+[(T1+

3b)/(T1-3b)-1]2(k2-1)P02cos 2θ+2[(T1+3b)/(T1-3b)-1][6a/(T1-3b)](k-1)P0cos 2θ；

m2=1/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2[(kP0+P0-2Pi)2+4(k-1)P0(kP0+P0-2Pi)cos 2θ+2(k-1)2P02(6cos22θ-1)]-[(T1+3b)/(T1-3b)-1]2(k-1)2P02cos22θ；

m3=3/2[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2(k-1)P0[-(k+1)P0cos 2θ+2Picos 2θ-2(k-1)P0]；

m4=9/4[(T1+3b)/(T1-3b)+1]2(k-1)2P02.

式(13)即為基于Mogi-Coulomb準(zhǔn)則下的近似隱式法所得的巷道圍巖塑性區(qū)邊界方程.將側(cè)壓力系數(shù)k=1代入式(13),即可得到均勻應(yīng)力場(chǎng)下塑性區(qū)邊界方程,當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)k≠1時(shí)可求出非均勻應(yīng)力場(chǎng)下的塑性區(qū)半徑表達(dá)式.

3 算列分析

3.1 內(nèi)聚力對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)的影響

設(shè)定一定的圓形巷道圍巖力學(xué)參數(shù):取巷道半徑R0=2 m,原巖地應(yīng)力P0=18 MPa,支護(hù)力Pi=0.75 MPa,內(nèi)摩擦角φ=25°,中間主應(yīng)力系數(shù)d=0,將參數(shù)代入式(13)可以得到側(cè)壓系數(shù)k=1,k=0.7,k=0.3這3個(gè)不同條件下的內(nèi)聚力對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)的影響如圖3所示.由圖3可知,在相同側(cè)壓力系數(shù)下,隨著內(nèi)聚力的增大,塑性區(qū)形態(tài)沒(méi)有發(fā)生改變但巷道圍巖塑性區(qū)的半徑減小,且隨著內(nèi)聚力增大,塑性區(qū)半徑減小的速度增大.此外,相同內(nèi)聚力條件下,隨著側(cè)壓系數(shù)k的增大,水平軸上的塑性區(qū)半徑越來(lái)越大,豎軸上的塑性區(qū)半徑越來(lái)越小.

圖3 內(nèi)聚力與巷道圍巖塑性區(qū)的關(guān)系

3.2 內(nèi)摩擦角對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)的影響

巷道半徑R0=2 m,原巖地應(yīng)力P0=18 MPa,支護(hù)力Pi=0.75 MPa,內(nèi)聚力c=2 MPa,中間主應(yīng)力系數(shù)d=0,將各力學(xué)參數(shù)代入式(13)可以得到側(cè)壓系數(shù)k=1,k=0.7,k=0.3這3個(gè)不同條件下的內(nèi)摩擦角與巷道圍巖塑性區(qū)的關(guān)系如圖4所示.由圖4可知,內(nèi)摩擦角的變化不改變塑性區(qū)的形態(tài)但影響塑性區(qū)的大小,內(nèi)摩擦角與塑性區(qū)的大小變化趨勢(shì)相反,并且隨著內(nèi)摩擦角的增大,塑性區(qū)半徑減小的速度減小.

圖4 內(nèi)摩擦角與巷道圍巖塑性區(qū)的關(guān)系

3.3 中間主應(yīng)力系數(shù)對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)的影響

巷道半徑R0=2 m,原巖地應(yīng)力P0=18 MPa,支護(hù)力Pi=0.75 MPa,內(nèi)摩擦角φ=25°,側(cè)壓力系數(shù)k=1.將參數(shù)代入式(13)可得到中間主應(yīng)力系數(shù)與塑性區(qū)半徑的關(guān)系如圖5所示.由圖5可知,當(dāng)0≤d≤0.7時(shí),隨著中間主應(yīng)力系數(shù)的增加,塑性區(qū)的半徑逐漸減小,當(dāng)c=2時(shí),塑性區(qū)半徑由3.688減小至3.088，c=2.4時(shí),塑性區(qū)半徑由3.563減小至3.012，c=3.2時(shí),塑性區(qū)半徑由3.265減小至2.789，c=4時(shí),塑性區(qū)半徑由2.851減小至2.445；當(dāng)0.7≤d≤1時(shí),隨著中間主應(yīng)力系數(shù)的增加,塑性區(qū)的半徑卻呈現(xiàn)出增長(zhǎng)趨勢(shì),當(dāng)c=2時(shí),塑性區(qū)半徑由3.088減增加至3.153，c=2.4時(shí),塑性區(qū)半徑由3.012增加至3.061，c=3.2時(shí),塑性區(qū)半徑由2.789增加至2.845，c=4時(shí),塑性區(qū)半徑由2.445增大至2.493.說(shuō)明中間主應(yīng)力對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)半徑的影響具有區(qū)間效應(yīng).因此，在一定范圍內(nèi)增大中間主應(yīng)力系數(shù)對(duì)巷道圍巖的變形與塑性區(qū)的擴(kuò)展具有一定的抑制作用.

圖5 中間主應(yīng)力系數(shù)與塑性區(qū)半徑的關(guān)系

4 結(jié)論

1)內(nèi)聚力與內(nèi)摩擦角均不改變圍巖塑性區(qū)的形態(tài)但對(duì)塑性區(qū)的大小產(chǎn)生不同的影響.內(nèi)聚力與內(nèi)摩擦角均與塑性區(qū)的大小呈負(fù)相關(guān),但是隨著內(nèi)聚力的增大,塑性區(qū)半徑減小的程度越大.而隨著內(nèi)摩擦角的增大,塑性區(qū)半徑減小的程度越來(lái)越緩慢.

2)中間主應(yīng)力對(duì)巷道圍巖塑性區(qū)有重要影響,當(dāng)中間主應(yīng)力系數(shù)小于0.7時(shí),塑性區(qū)半徑隨著中間主應(yīng)力系數(shù)的增大而減小,當(dāng)中間主應(yīng)力系數(shù)大于0.7時(shí)塑性區(qū)半徑隨著中間主應(yīng)力系數(shù)的增大而增大.因此在一定范圍內(nèi)增大中間主應(yīng)力系數(shù)對(duì)巷道圍巖的變形與塑性區(qū)的擴(kuò)展具有一定的抑制作用.